वर्ग सात गणित

परिमाप और क्षेत्रफल

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इन्हें कीजिए का हल: एनसीईआरटी अभ्यास 11.1

आयत और वर्ग के परिमाप और क्षेत्र से संबंधित महत्वपूर्ण सूत्र

आयत का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई

यदि आयत का क्षेत्रफल तथा चौड़ाई दिया गया है तो,

आयत की लम्बाई =class 7th math Perimeter and area आयत की लम्बाई का सूत्र

यदि आयत का क्षेत्रफल तथा लम्बाई दिया गया है तो,

आयत की चौड़ाई =class 7th math Perimeter and area आयत की चौड़ाई का सूत्र

वर्ग का क्षेत्रफल = भुजा × भुजा

या, वर्ग का क्षेत्रफल = भुजा2

वर्ग की एक भुजा =class 7th math Perimeter and area वर्ग की एक भुजा का सूत्र यदि वर्ग की परिमाप दी गई हो

आयत की परिमाप = 2 (लम्बाई + चौड़ाई)

आयत की लम्बाई =class 7th math Perimeter and area आयत की लम्बाई का सूत्र यदि आयत की परिमाप और चौड़ाई दी गई हो

आयत की चौड़ाई =class 7th math Perimeter and area आयत की चौड़ाई का सूत्र यदि आयत की परिमाप और लम्बाई दी गई हो

वर्ग की परिमाप = 4 × एक भुजा

वर्ग की एक भुजा =class 7th math Perimeter and area वर्ग की के भुजा का सूत्र यदि वर्ग की परिमाप दी गई हो

इन्हें कीजिए (11.1) का हल [एनसीईआरटी बुक ?गणित क्लास 7]

नीचे दिए गए प्रश्नों के उत्तर देने के लिए आपको क्षेत्रफल या परिमाप में से किसको ज्ञात करने की आवश्यकता होगी?

प्रश्न (1) एक श्यामपट कितनी जगह घेरता है?

उत्तर: क्षेत्रफल

ब्याख्या: एक श्यामपट द्वारा घेरे जाने वाले जगह को जानने के लिए, श्यामपट के क्षेत्रफल के गणना की आवश्यकता होती है।

प्रश्न संख्या (2) एक आयताकार फूलों की क्यारी के चारों ओर बाड़ लगाने के लिए आवश्यक तार की लम्बाई क्या है?

उत्तर: परिमाप

प्रश्न (3) एक तिकोने पार्क के चारों ओर दो बार चक्कर लगाने पर आप कितनी दूरी तय करेंगे?

उत्तर: परिमाप

ब्याख्या: एक तिकोने पार्क के चारों ओर चक्कर लगाने में तय की गई दूरी को जानने के लिए पार्क के परिमाप को गणना करने की आवश्यकता होगी। पार्क का परिमाप = पार्क के चारों ओर की दूरी

प्रश्न (4) एक आयताकार स्वीमिंग पूल को ढ़कने के लिए आपको कितनी प्लास्टिक शीट की आवश्यकता होगी?

उत्तर: क्षेत्रफल

ब्याख्या: एक आयताकार स्वीमिंग पूल को ढ़कने के लिए आपको कितनी प्लास्टिक शीट की आवश्यकता जानने के लिए स्वीमिंग पूल के क्षेत्रफल को निकालना होगा।

इन्हें कीजिए (11.2) का हल [एनसीईआरटी बुक गणित क्लास 7]

प्रश्न (1) ऐसी बहुत सारी आकृतियों और काटी गई आकृतियों का प्रयोग कीजिए। आप इनका उपयोग इन आकृतियोंको वर्गांकित शीटों पर बनाकर क्षेत्रफल और परिमाप ज्ञात करने के लिए कर सकेंगे।

उत्तर स्वयं करें

आप यह जान चुके हैं कि परिमाप में बढ़त का यह अर्थ नहीं है कि उसका क्षेत्रफल भी बढ़ेगा।

प्रश्न (2) दो ऐसे उदाहरण दीजिए जहाँ परिमाप के बढ़ने पर उसका क्षेत्रफल भी बढ़ जाए।

उत्तर जब एक आयत की लम्बाई या चौड़ाई बढ़ाई जाती है, तो उसका परिमाप तथा क्षेत्रफल बढ़ जाता है।

उदाहरण (i)

मान लिया कि ABCD एक आयत है।

class 7th math Perimeter and area question1 try these

जिसमें AB = लम्बाई = 5 m तथा चौड़ाई, BC = 3 m है।

क्षेत्रफल की गणना

हम जानते हैं कि,

आयत का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई

= 5 m × 3 m

= 15 m2

अत: दिए गए आयत का क्षेत्रफल = 15 m2

परिमाप की गणना

और, हम जानते हैं कि

आयत की परिमाप या परिमिति = 2(लम्बाई + चौड़ाई)

= 2( 5m + 3 m)

= 2 × 8 m

= 16 m

अत: दिए गये आयत की परिमिति या परिमाप = 16 m

class 7th math Perimeter and area question2 try these

अब, मान लिया कि दिए गये आयत की लम्बाई 5 m से बढ़कर 7 m हो जाती है।

अत: अब लम्बाई = 7 m

तथा चौड़ाई (पूर्ववत अर्थात पहले की तरह) = 3 m

क्षेत्रफल की गणना

अब,

हम जानते हैं कि आयत का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई

= 7 m × 3 m

= 21 m2

अत: लम्बाई बढ़ने के बाद आयत का क्षेत्रफल = 21 m2

परिमाप की गणना

अब हम जानते हैं कि आयत का की परिमिति या परिमाप = 2(लम्बाई + चौड़ाई)

= 2(7 m + 3 m)

= 2 × 10 m = 20 m

अत: लम्बाई बढ़ने के बाद आयत की परिमिति (परिमाप) = 20 m

अत: यह स्पष्ट है कि लम्बाई बढ़ने के कारण आयत की परिमिति (परिमाप) बढ़ने के साथ ही आयत का क्षेत्रफल भी बढ़ता है।

उदाहरण (ii)

मान लिया कि ABCD एक वर्ग है। जिसमें वर्ग की भुजा 5 cm है।

class 7th math Perimeter and area question2 example try these

वर्ग के परिमाप (परिमिति) की गणना

हम जानते हैं कि

वर्ग का परिमाप (परिमिति) = 4 × वर्ग की एक भुजा

= 4 × 5 cm

= 20 cm

अत: दिए गये वर्ग की परिमिति (परिमाप) = 20 cm

वर्ग के क्षेत्रफल की गणना

हम जानते हैं कि

वर्ग का क्षेत्रफल = (वर्ग की एक भुजा)2

अत: दिये गये वर्ग का क्षेत्रफल = (20 cm)2

= 400 cm2

अत: दिए गये वर्ग का क्षेत्रफल = 400 cm2

वर्ग के भुजा की लम्बाई बढ़ने पर क्षेत्रफल तथा परिमाप पर प्रभाव

अब मान लिया कि जब वर्ग की भुजा 2 cm बढ़ जाती है। अर्थात वर्ग की भुजा 5 cm से बढ़कर 5+2 = 7 cm हो जाती है।

class 7th math Perimeter and area question2 example_2 try these

वर्ग के परिमाप (परिमिति) की गणना

वर्ग का परिमाप (परिमिति) = 4 × एक भुजा

= 4 × 7 cm

= 28 cm

अत: वर्ग की परिमिति (परिमाप) = 28 cm

वर्ग के क्षेत्रफल की गणना

हम जानते हैं कि,

वर्ग का क्षेत्रफल = (वर्ग की एक भुजा)2

= (7 cm)2

= 49 cm2

अत: वर्ग का क्षेत्रफल = 49 cm2

अब यह स्पष्ट है कि उपरोक्त उदाहरण के अनुसार परिमिति के बढ़ने के साथ क्षेत्रफल भी बढ़ता है।

प्रश्न (3) ऐसे दो उदाहरण दीजिए जहाँ परिमाप के बढ़ने पर उसके क्षेत्रफल में बढ़तरी न हो।

उत्तर:

उदाहरण (i) परिमाप के बढ़ने पर क्षेत्रफल का नहीं बढ़ने का उदाहरण

class 7th math Perimeter and area question3 example_1 try these

मान लिया कि, ABCD एक आयत है, जिसकी लम्बाई (AB) = 5 cm

और चौड़ाई (BD)= 3 cm

आयत के क्षेत्रफल की गणना

हम जानते हैं कि आयत का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई

= 5 cm × 3 cm

= 15 cm2

अत: दिए गये आयत का क्षेत्रफल = 15 cm2

आयत के परिमिति (परिमाप) की गणना

हम जानते हैं कि, आयत की परिमिति (परिमाप) = 2(लम्बाई + चौड़ाई)

= 2 (5 cm + 3 cm)

= 2 × 8 cm

अत: आयत की परिमिति = 16 cm

अब मान लिया कि, आयत के AB वाली भुजा से एक 1cm भुजा वाला वर्ग काट लिया जाता है।

class 7th math Perimeter and area question3 example_1a try these हिन्दी

अब AB भुजा की लम्बाई

= (AB – 1 cm) + FG + HG + HB

= (5 cm – 1 cm) + 1 cm + 1 cm + 1 cm

= 4 cm + 3 cm

= 7 cm

तथा, AC = 3 cm, BD = 3 cm, CD = 5 cm

आयत के परिमाप (परिमिति) की गणना

अत इस नये आयत की परिमिति (परिमाप)

= ऊपर वाली भुजा AB की लम्बाई + AC + BD + CD

= 7 cm + 3 cm + 3 cm + 5 cm

= 18 cm

अत: आयत की एक भुजा से 1 cm के वर्ग काटने के बाद आयत की परिमिति (परिमाप) = 18 cm

आयत के क्षेत्रफल की गणना

दिये गये आयत का क्षेत्रफल (वर्ग के काटे बिना) = 15 cm2

(जैसा कि पूर्व में गणना की गई है)

अब काटे गये वर्ग का क्षेत्रफल = भुजा2

= (1 cm)2

= 1 cm2

अत: वर्ग को काटने के बाद आयत का क्षेत्रफल

= वर्ग सहित आयत का क्षेत्रफल – वर्ग का क्षेत्रफल

= 15 cm2 – 1 cm2

= 14 cm2

अत: आयत का क्षेत्रफल (बिना वर्ग के) = 14 cm2

तथा आयत का परिमाप (परिमिति) बिना वर्ग के = 18 cm

अत: यह स्पष्ट है कि इस स्थिति में परिमाप बढ़ने के साथ क्षेत्रफल नहीं बढ़ता है।

उदाहरण (2) परिमिति बढ़ने पर क्षेत्रफल नहीं बढ़ने का दूसरा उदाहरण

class 7th math Perimeter and area question3 example_1b try these

यहाँ आयत का क्षेत्रफल = 14 cm2

तथा आयत का परिमाप (परिमिति) = 18 cm

मान लिया कि दिये गये आयत के CD भुजा से 1 cm भुजा वाला दूसरा वर्ग MNOP काटा जाता है।

class 7th math Perimeter and area question3 example_1c try these

अब आयत की नई परिमिति (परिमाप)

= [(AB – EH) + EF + FG + HG] + AC + BD + [(CD Ó MN) + MP + PO + ON]

= [(5cm – 1cm) + 1cm + 1cm + 1cm] + 3cm + 3cm [(5cm – 1cm) + 1cm + 1cm + 1cm]

= 7 cm + 6 cm + 7cm

= 21 cm

तथा आयत का क्षेत्रफल उसमें से दूसरे वर्ग के काटने के बाद

= आयत का क्षेत्रफल एक वर्ग काटने के बाद – काटे गये वर्ग का क्षेत्रफल

= 14 cm2 – 1 cm2

= 13 cm2

अत: यहाँ यह स्पष्ट है कि परिमिति बढ़ने पर क्षेत्रफल नहीं बढ़ता है।

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संदर्भ (Reference):