परिमाप और क्षेत्रफल
एनसीईआरटी प्रश्नावली 11.3 का हल भाग2
प्रश्न (9) शाझली 44 cm लम्बाई वाली एक तार लेती है और उसे वृत्त के आकार में मोड़ देती है। उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए। इसका क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए। यदि तार को दुबारा एक वर्ग के आकार में मोड़ा जाता है, तो इसकी प्रत्येक भुजा की लम्बाई क्या होगी? (π = `22/7` लीजिए)
हल:
दिया गया है,
तार की लम्बाई = 44 cm
चूँकि तार को मोड़कर वृत्त बनाया जाता है,
अत: वृत्त की परिधि = तार की लम्बाई = 44 cm
अब चूँकि उसी तार को दुबार मोड़कर वर्ग बनाया जाता है,
अत: वर्ग का परिमाप = तार की लम्बाई = 44 cm
अत:,
अत: तार से बनाये गये वृत्त की त्रिज्या तथा क्षेत्रफल =?
तथा तार से बनाए गये वर्ग के प्रत्येक भुजा की लम्बाई = ?
कौन सी आकृत्ति वृत्त या वर्ग अधिक क्षेत्रफल घेरती है?
वृत्त की त्रिज्या तथा क्षेत्रफल की गणना
हम जानते हैं कि,
वृत्त की परिधि = 2π r
⇒ 44 cm = `2 xx 22/7 xx r`
⇒ `2 xx 22/7 xx r` = 44 cm
⇒ 2 × 22 × r = 44 × 7 cm
⇒ r = `(44 xx7)/(2 xx 22)` cm = 7 cm
दिये गये तार से बनाये गये वृत्त की त्रिज्या = 7 cm
अब, हम जानते हैं कि,
वृत्त का क्षेत्रफल = π r2
∴ दिये गये वृत्त का क्षेत्रफल = `22/7` × (7 cm)2
= `22/7` × 7 cm × 7 cm
= 22 × 7cm2
= 154 cm2
अत: दिये गये वृत्त का क्षेत्रफल = 154 cm2
दिए गये तार से बनाए गये वर्ग की भुजा तथा क्षेत्रफल की गणना
हम जानते हैं कि,
वर्ग का परिमाप = side × 4
⇒ 44 m = भुजा × 4
⇒ side × 4 = 44 m
⇒ side = `44/4` m = 11 m
अत: वर्ग की प्रत्येक भुजा = 11 m
हम जानते हैं कि वर्ग का क्षेत्रफल = side2
∴ अत: दिये गये तार से बनाए गये वर्ग का क्षेत्रफल = (11m)2
= 121 m2
अत: दिये गये तार से बनाए गये वर्ग का क्षेत्रफल = 121 m2 उत्तर
तथा बनाये गये वृत्त की त्रिज्या = 7 cm उत्तर
तथा बनाये गये वृत्त का क्षेत्रफल = 154 cm2 उत्तर
तथा बनाये गये वर्ग की एक भुजा = 11 cm उत्तर
चूँकि वर्ग का क्षेत्रफल = 121 cm2 तथा वृत्त की क्षेत्रफल = 154 cm2
अत: वृत्त अधिक क्षेत्रफल घेरेगी उत्तर
प्रश्न (10) 14 cm त्रिज्या वाली एक वृत्ताकार गत्ते की शीट में से, 3.5 cm त्रिज्या वाले दो वृत्तों को और 3 cm लम्बाई तथा 1 cm चौड़ाई वाले एक आयत को निकाल दिया जाता है (जैसा कि आकृत्ति में दिखाया गया है) शीट के शेष भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (`pi = 22/7` लीजिए)
हल:
दिया गया है,
वृत्ताकार शीट की त्रिज्या = 14 cm
निकाले जाने वाले वृत्त की त्रिज्या = 3.5 cm
निकाले जाने वाले आयत की लम्बाई = 3 cm
तथा निकाले जाने वाले आयत की चौड़ाई = 1 cm
अत: शीट के शेष भाग का क्षेत्रफल =?
वृत्ताकार शीट के क्षेत्रफल की गणना
हम जानते हैं कि,
वृत्त का क्षेत्रफल = π r2
∴ अत: दिये गये वृत्ताकार शीट का क्षेत्रफल = `22/7` × (14 cm) 2
= `22/7` × 14 cm × 14 cm
= 22 × 2 cm × 14 cm
= 22 × 28 cm2
= 616 cm2
अत: दिये गये वृत्ताकार शीट का क्षेत्रफल = 616 cm2
निकाले जाने वाले वृत्त के क्षेत्रफल की गणना
हम जानते हैं कि,
वृत्त का क्षेत्रफल = π r2
∴ निकाले जाने वाले वृत्त का क्षेत्रफल = `22/7` × (3.5 cm)2
= `22/7` × 3.5 cm × 3.5 cm
= 22 × 0.5 cm × 3.5 cm
निकाले जाने वाले एक वृत्त का क्षेत्रफल = 38.5 cm2
निकाले जाने वाले आयत के क्षेत्रफल की गणना
हम जानते हैं कि,
आयत का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
= 3 cm × 1 cm
= 3 cm2
& there4; अत: निकाले जाने वाले आयत का क्षेत्रफल = 3 cm2
अब शीट के शेष भाग का क्षेत्रफल
= वृत्ताकार शीट का क्षेत्रफल – [(2 × निकाले गये एक वृत्त का क्षेत्रफल) + निकाले गये आयत का क्षेत्रफल]
= 616 cm2 [(2 × 38. 5 cm2) + 3 cm2]
= 616 cm2 – (77 cm2 + 3 cm2)
= 616 cm2 – 80 cm2
= 536 cm2
अत:,
शीट के शेष भाग का क्षेत्रफल = 536 cm2 उत्तर
प्रश्न (11) 6 cm भुजा वाले एक वर्गाकार एल्युमिनियम शीट के टुकड़े में से 2 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त को काट दिया जाता है। शीट के शेष भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए? (π 3.14 लीजिए)
हल:
मान लिया कि दिया गया वर्गाकार एल्युमिनियम शीट ABCD है।
प्रश्न के अनुसार
दिया गया है, वर्गाकार शीट की भुजा = 6 cm
काट कर निकाले जाने वाले वृत्त की त्रिज्या = 2 cm
अत: शीट के शेष भाग का क्षेत्रफल = ?
अब,
हम जानते हैं कि
वर्ग का क्षेत्रफल = भुजा2
∴ दिये गये वर्गाकार एल्युमिनियम शीट का क्षेत्रफल
= (6 cm) 2
=36 cm2
अत: दिये गये वर्गाकार एल्युमिनियम शीट का क्षेत्रफल = 36 cm2
हम जानते हैं कि; वृत्त का क्षेत्रफल = π r2
∴ काट कर निकाले जाने वाले वृत्त का क्षेत्रफल = 3.14 × (2 cm)2
= 3.14 × 4 cm2
= 12.56 cm2
काट कर निकाले गये वृत्त का क्षेत्रफल = 12. 56 cm2
शीट के शेष भाग का क्षेत्रफल
= वर्गाकार एल्युमिनियम शीट का क्षेत्रफल – काट कर निकाले गये वृत्त का क्षेत्रफल
= 36 cm2 – 12.56 cm2
= 23.44 cm2
अत: एल्युमिनियम शीट के शेष भाग का क्षेत्रफल = 23.44 cm2 उत्तर
प्रश्न (12) एक वृत्त की परिधि 31.4 cm है। वृत्त की त्रिज्या और क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए? (π = 3.14 लीजिए)
हल:
दिया गया है,
वृत्त की परिधि = 31.4 cm
∴ त्रिज्या तथा क्षेत्रफल =?
हम जानते हैं कि,
वृत्त की परिधि = 2 pi;r
⇒ 31.4 cm = 2 × 3.14 × r
⇒ 2 × 3.14 × r = 31.4 cm
⇒ r = `(31.4)/(2 xx 3.14)` cm = 5 cm
अत: दिए गए वृत्त की त्रिज्या = 5 cm
हम जानते हैं कि,
वृत्त का क्षेत्रफल = π r2
∴ = 3.14 × (5 cm)2
= 3.14 × 25 cm2
= 78.5 cm2
अत: त्रिज्या = 5cm क्षेत्रफल = 78.5 cm2 उत्तर
प्रश्न (13) एक वृत्ताकार फूलों की क्यारी के चारों ओर 4 m चौड़ा पथ है तथा फूलों की क्यारी का व्यास 66 m है। इस पथ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए? (π = 3.14 लीजिए)
हल:
दिया गया है,
वृत्ताकार फूलों की क्यारी का व्यास = 66 m
फूलों की क्यारी के चारों ओर के पथ की चौड़ाई = 4 m
अत: फूलों की वृत्ताकार क्यारी का उसके चारों ओर बने पथ सहित त्रिज्या
= 66m + 4 m = 70 m
अत: क्यारी के चारों ओर के पथ का क्षेत्रफल = ?
हम जानते हैं कि,
वृत्त का क्षेत्रफल = π r2
∴ फूलों की क्यारी का क्षेत्रफल = 3.14 × (66 m)2
= 3.14 × 66 m × 66m
= 13677.84 m2
अत: फूलों की क्यारी का क्षेत्रफल = 13677.84 m2
पुन: हम जानते हैं कि,
वृत्त का क्षेत्रफल = π r2
∴ क्यारी का उसके चारों ओर पथ सहित क्षेत्रफल = 3.14 × (70 m)2
= 3.14 × 70 m × 70 m
= 15386 m2
अत:,
पथ सहित क्यारी का क्षेत्रफल = 15386 m2
अब,
फूलों की क्यारी के चारों ओर बने पथ का क्षेत्रफल = क्यारी का पथ के साथ क्षेत्रफल – क्यारी का क्षेत्रफल
= 15386 m2 – 13677.84 m2
= 1708.16 m2
अत: क्यारी के चारों ओर बने पथ का क्षेत्रफल = 1708.16 m2 उत्तर
प्रश्न (14) एक वृत्ताकार फूलों के बगीचे का क्षेत्रफल 314 m2 है। बगीचे के केन्द्र में घूमने वाला फव्वारा (Sprinkler) लगाया जाता है जो अपने चारों ओर 12m त्रिज्या के क्षेत्रफल में पानी का छिड़काव करता है। क्या फव्वारा पूरे बगीचे में पानी का छिड़काव कर सकेगा? (π = 3.14)
हल:
दिया गया है, वृत्ताकार बगीचे का क्षेत्रफल = 314 m2
क्षेत्रफल की त्रिज्या जिसमें फव्वारा छिड़काव करता है = 12 m
∴ क्या फव्वारा पूरे बगीचे में पानी का छिड़काव कर सकेगा?
हम जानते हैं कि,
वृत्त का क्षेत्रफल = π r2
∴ फव्वारा द्वारा छिड़काव करने का क्षेत्रफल = 3.14 × (12 m)2
= 3.14 × 144 m2
= 452.16 m2
चूँकि फव्वारा द्वारा छिड़काव किए जाने का क्षेत्रफल बगीचे के क्षेत्रफल से अधिक है, अत: फव्वारा पूरे बगीचे में छिड़काव कर सकेगा। अर्थात हाँ उत्तर
प्रश्न (15) आकृत्ति में, अ6त: और बाह्य वृत्तों की परिधि ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 लीजिए)
हल:
दिया गया है,
बाहरी वृत्त की त्रिज्या = 19 m
अंत वृत्त को हटाकर बाहरी वृत्त की चौड़ाई = 10 m
अत: अंत: वृत्त की त्रिज्या
= 19 m – 10 m = 9 m
∴ बाहरी तथा भीतरी वृत्तों की परिधि =?
हम जानते हैं कि,
वृत्त की परिधि = 2 π r
∴ अंत: वृत्त की परिधि
= 2 × 3.14 × 9 m = 56.52 m
तथा बाहरी वृत्त की परिधि = 2 × π × बाहरी वृत्त की त्रिज्या
= 2 × 3.14 × 19 m
= 119.32 m
अत: अंत वृत्त की परिधि = 56.52 m तथा बाहरी वृत्त की परिधि = 119.32 m उत्तर
प्रश्न (16) 28 cm त्रिज्या वाले एक पहिए को 352 m दूरी तय करने के लिए कितनी बार घुमाना पड़ेगा? (`pi = 22/7` लीजिए)
हल:
दिया गया है,
पहिए की त्रिज्या = 28 cm
352 m दूरी तय करने में पहिए को घुमाने की संख्या = ?
हम जानते हैं कि,
वृत्त की परिधि = 2 π r
∴ पहिए की परिधि = 2 × `22/7` × 28 cm
= 176 cm = `176/100` m =1.76 m
पहिए की परिधि के बराबर दूरी तय करने में पहिए को एक बार घूमाना पड़ता है।
अत: एक बार घूमने में पहिए द्वारा तय की गयी दूरी = 1.76 m
∵ 1.76 m तय करने में पहिए को घुमाने की संख्या = 1
∴ 1 m दूरी तय करने में पहिए को घुमाने की संख्या = `1/(1.76)`
∴ 352 m दूरी तय करने में पहिए को घुमाने की संख्या =
= `1/(1.76)` × 352 = 200
अत: दिये गये दूरी को तय करने में पहिए को घूमाने की संख्या = 200 उत्तर
प्रश्न (17) एक वृत्ताकार घड़ी की मिनट की सूई की लम्बाई 15 cm है। मिनट की सूई की नोक 1 घंटे में कितनी दूरी तय करती है। (π = 3.14 लीजिए)
हल:
दिया गया है,
मिनट की सूई की लम्बाई
= वृत्ताकार घड़ी की त्रिज्या
=15 cm.
∴ 1 घंटे मं मिनट की सूई द्वारा तय की गई दूरी =?
हम जानते हैं कि, एक घड़ी की मिनट की सूई एक घंटे में एक चक्कर पूरा करती है।
अत: मिनट की सूई की नोक द्वारा 1 घंटे में तय की गई दूरी
= मिनट की सूई की नोक द्वारा वनाए गये वृत्त की परिधि
हम जानते हैं कि,
वृत्त की परिधि = 2 π r
∴ मिनट की सूई की नोक द्वारा एक घंटे में तय की गई दूरी अर्थात बनाये गये वृत्त की परिधि
=2 × 3.14 × cm = 94.2 cm
मिनट की सूई की नोक द्वारा 1 घंटे में तय की गई दूरी = 94.2 cm उत्तर
संदर्भ (Reference):