परिमाप और क्षेत्रफल

एनसीईआरटी प्रश्नावली 11.4 का हल

प्रश्न संख्या (1) एक बगीचा 90 m लम्बा और 75 m चौड़ा है। इसके बाहर चारों ओर 5 m चौड़ा पथ बनाना है। पथ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। बगीचे का क्षेत्रफल हेक्टेयर में भी ज्ञात कीजिए।

हल:

class 7th math Perimeter and area solution of एनसीईआरटी प्रश्नावली 11.4 Q1

मान लिया कि ABCD दिया गया आयताकार बगीचा है।

जिसमें

लम्बाई, AB = DC = 90 m

तथा चौड़ाई, BC = AD = 75 m

चूँकि एक 5 m चौड़ा पथ इस बगीचे के चारों ओर बनाना है।

अत: पथ की चौड़ाई = 5 m

अब बगीचे की लम्बाई पथ के साथ = 90 m + 5m +5m = 100 m

तथा पथ के साथ बगीचे की चौड़ाई = 75 m + 5m +5m = 85 m

अत: पथ का क्षेत्रफल तथा बगीचे का क्षेत्रफल (हेक्टेयर में) = ?

हम जानते हैं कि, आयत का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई

अत: दिये गये बगीचे का क्षेत्रफल = 90 m × 75 m

⇒ दिये गये बगीचे का क्षेत्रफल = 6750 m²

अब बगीचे का क्षेत्रफल पथ के साथ = Length × Breadth

= 100 m × 85 m

⇒ अत: बगीचे का पथ के साथ क्षेत्रफल = 8500 m²

अब पथ का क्षेत्रफल = पथ के साथ बगीचे का क्षेत्रफल – बगीचा का क्षेत्रफल

= 8500 m² – 6750 m²

अत: पथ का क्षेत्रफल = 1750 m²

बगीचा का क्षेत्रफल (हेक्टेयर में)

∵ हम जानते हैं कि, 10000 m² = 1 hectare

∴ 1 m² = `1/10000` hectare

∴ 6750 m² = `1/10000xx6750` hectare = 0.675 hectare

अत: पथ का क्षेत्रफल = 1750 वर्ग मीटर तथा बगीचा का क्षेत्रफल 0.675 हेक्टेयर उत्तर

प्रश्न संख्या (2) 125 m लम्बाई और 65 m चौडाई वाले एक आयताकार पार्क के चारों ओर बाहर एक 3 m चौड़ा पथ बना हुआ है। पथ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल :

class 7th math Perimeter and area solution of एनसीईआरटी प्रश्नावली 11.4 Q2

मान लिया कि ABCD प्रश्न में दिया गया आयताकार पार्क है।

जिसमें

लम्बाई, AB = DC = 125 m

तथा चौड़ाई, BC = AD = 65 m

एक 3 m चौड़ा पथ पार्क के चारों ओर बना हुआ है।

अत: पथ की चौड़ाई = 3 m

अब पार्क का पथ के साथ लम्बाई = 125 m + 3m + 3m = 131 m

तथा पार्क का पथ के साथ चौड़ाई = 65 m + 3m + 3m = 71 m

अत: पथ का क्षेत्रफल = ?

हम जानते हैं कि, आयत का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई

अत: दिये गये पार्क का क्षेत्रफल = 125 m × 65 m

⇒ पार्क का क्षेत्रफल = 8125 m²

अब पार्क का पथ के साथ क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई

= 131 m × 71 m

⇒ पार्क का पथ के साथ क्षेत्रफल = 9301 m²

अब पथ का क्षेत्रफल = पार्क का पथ के साथ – पार्क का क्षेत्रफल

= 9301 m – 8125 m

अत: पार्क के चारों ओर बने पार्क का क्षेत्रफल = 1176 m² उत्तर

प्रश्न संख्या (3) 8 cm लम्बे और 5 cm चौड-ए गती पर एक चित्र की पेंटिंग इस प्रकार बनाई गई है कि इसकी प्रत्येक भुजाओं के अनुदिश 1.5 cm चौड़ा हाशिया (margin) छोड़ा गया है। हाशिये का कुल क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल :

class 7th math Perimeter and area solution of एनसीईआरटी प्रश्नावली 11.4 Q3

मान लिया कि EFGH दी गई पेंटिंग है। जिसमें

प्रश्न के अनुसार दिया गया,

लम्बाई (HG) = 8 cm

तथा चौड़ाई (EH) = 5 cm

तथा चित्र के चारों ओर के हाशिये (मार्जिन) की चौड़ाई = 1.5 cm

अत: हाशिये (मार्जिन) का कुल क्षेत्रफल = ?

हम जानते हैं कि,

आयत का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई

अत: दिये गये चित्र का कुल क्षेत्रफल = 8 cm × 5 cm

= 40 cm²

अब चित्र के चारों ओर के हाशिये को छोड़कर चित्र की लम्बाई

= 8 cm – 1.5 cm – 1.5 cm

= 5 cm

तथा चित्र की हाशिये को छोड़कर चौड़ाई

= 5 cm – 1.5 cm – 1.5 cm

= 5 cm – 3 cm

= 2 cm

अत: चित्र का हाशिये को छोड़कर क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई

= 5 cm × 2 cm

= 10 cm

अत: चित्र का हाशिये को छोड़कर क्षेत्रफल = 10 cm

अब हाशिये का क्षेत्रफल = चित्र का कुल क्षेत्रफल – चित्र का हाशिये को छोड़कर क्षेत्रफल

= 40 cm – 10 cm

= 30 cm²

अत: हाशिये का क्षेत्रफल = 30 cm² उत्तर

प्रश्न संख्या (4) 5.5 m लम्बे और 4 m चौड-ए कमरे के चारों ओर बाहर 2.25 m चौड़ा एक बरामदा बनाया गया है। ज्ञात कीजिए:

(i) बरामदे का क्षेत्रफल

(ii) ₹ 200 प्रति m² की दर से बरामदे के फर्श पर सीमेंट कराने का व्यय

हल:

दिया गया है, कमरे की लम्बाई = 5.5 m

कमरे की चौड़ाई = 4 m

कमरे के चारों ओर बने बरामदे की चौड़ाई = 2.25 m

सीमेंट कराने का व्यय = ₹ 200 प्रति m²

अत: बरामदे का क्षेत्रफल तथा बरामदे के फर्श को सींमेट कराने का व्यय = ?

class 7th math Perimeter and area solution of एनसीईआरटी प्रश्नावली 11.4 Q4

(i) बरामदे के क्षेत्रफल की गणना

हम जानते हैं कि, आयत का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई

अत: दिये गये कमरे का क्षेत्रफल = 5.5 m × 4 m

= 22 m²

बरामदा सहित कमरे की लम्बाई

= 5.5 m + 2.25 m = 7.75 m

तथा बरामदा सहित कमरे की चौड़ाई

= 4 m + 2.25 m = 6.25 m

अब बरामदा सहित कमरे का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई

= 7.75 m × 6.25 m

= 48.437 m²

अब बरामदा का क्षेत्रफल = बरामदा सहित कमरे का क्षेत्रफल – कमरे का क्षेत्रफल

= 48.437 m² – 22 m²

= 26.437 m²

अत: बरामदा का क्षेत्रफल = 26.437 m²

(ii) बरामदा के फर्श को सीमेंट कराने का व्यय

∵ 1 m² सीमेंट कराने का व्यय = ₹ 200

∴ 26.437 m² सीमेंट कराने का व्यय = ₹ 200 × 26.437 m²

= ₹ 5287.40

अत: बरामदा को सीमेंट कराने का व्यय = ₹ 5287.40

अत: बरामदा का क्षेत्रफल =26.437 m². तथा बरामदा को सीमेंट कराने का व्यय = ₹ 5287.40 उत्तर

प्रश्न संख्या (5) 30 m भुजा वाले एक वर्गाकार बगीचे की परिसीमा से लगा भीतर की ओर 1 m चौड़ा पथ बना हुआ है। ज्ञात कीजिए:

(i) पथ का क्षेत्रफल

(ii) ₹ 40 प्रति m² की दर से बगीचे के शेष भाग पर घास लगवाने का व्यय।

हल:

class 7th math Perimeter and area solution of एनसीईआरटी प्रश्नावली 11.4 Q5

वर्गाकार बगीचे की भुजा = 30 m

तथा बगीचे के भीतरी ओर चारों ओर बने पथ की चौड़ाई = 1 m

अत: पथ को छोड़कर बगीचे की भुजा = 30 m – (1 m + 1 m) = 28 m

घास लगाने का दर = ₹ 40 प्रति m²

अत:,

पथ का क्षेत्रफल तथा बगीचे के शेष भाग पर घास लगवाने का व्यय =?

(i) पथ का क्षेत्रफल

हम जानते हैं कि, वर्ग का क्षेत्रफल = (भुजा)²

अत: दिये गये वर्गाकार बगीचे का क्षेत्रफल = (30 m )²

= 900 m²

अब पथ को छोड़कर बगीचे का क्षेत्रफल = (28 m)²

= 784 m²

अत: पथ का क्षेत्रफल = बगीचा का क्षेत्रफल – पथ को छोड़कर बगीचा का क्षेत्रफल

= 900 m² – 784 m²

= 116 m²

अत: पथ का क्षेत्रफल = 116 m²

(ii) बगीचे के शेष भाग पर घास लगवाने का व्यय

∵ 1 वर्ग मीटर में घास लगवाने का व्यय = ₹ 40

∴ 784 m² में घास लगवाने का व्यय = ₹ 40 × 784 m²

= ₹ 31360.00

अत: पथ का क्षेत्रफल = 116 m² तथा बगीचे के शेष भाग में घास लगवाने का व्यय = ₹ 31360.00 उत्तर

प्रश्न संख्या (6) 700 m लम्बे और 300 m चौड़े एक आयताकार पार्क के मध्य से होकर जाते 10 m चौड़े दो पथ बने हुए हैं जो एक दूसरे पर परस्पर लम्ब और चौपड़ के आकार के हैं। इनमें से प्रत्येक पथ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए तथा पार्क की भुजाओं को छोड़कर पार्क के शेष भाग का भी क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। उत्तर हेक्टेयर में दीजिए।

हल :

class 7th math Perimeter and area solution of एनसीईआरटी प्रश्नावली 11.4 Q6

मान लिया कि ABCD दिया गया आयताकार पार्क है।

जिसमें दो पथ PS तथा EF मध्य में एक दूसरे को समकोण पर काटते हैं।

इसमें प्रश्न के अनुसार

AB की लम्बाई (पार्क की लम्बाई) = 700 m

तथा BC की लम्बाई (पार्क की चौड़ाई) = 300 m

तथा पथ की चौड़ाई = 10 m

चूँकि दोनों पथ एक दूसरे को परस्पर समकोण पर काटते हैं, अत: ये पथ बीच में एक वर्ग KLMN बनाते हैं।

चूँकि पथ की चौड़ाई 10 m है,

अत: वर्ग KLMN की भुजा = 10 m

अत: पथ का क्षेत्रफल तथा पथ को छोड़कर पार्क का क्षेत्रफल = ?

हम जानते हैं कि,

आयत का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई

अत:, दिये गये पार्क का क्षेत्रफल = 700 m × 300 m

= 210000 m²

पथ के क्षेत्रफल की गणना

पार्क के लम्बाई के अनुदिश पथ की लम्बाई = 700 m

तथा पथ की चौड़ाई = 10 m

अत:, लम्बाई के अनुदिश पथ आयताकार पथ (EFGH) का क्षेत्रफल = 700 m × 10 m

= 7000 m²

पार्क की चौड़ाई के अनुदिश पथ की लम्बाई = 300 m

तथा पथ की चौड़ाई = 10 m

अत: पार्क की चौड़ाई के अनुदिश पथ (PQRS) का क्षेत्रफल = 300 m × 10 m

= 3000 m²

दोनों पथों के मध्य में बने वर्ग का क्षेत्रफल

चूँकि पथ की चौड़ाई = 10 m,

अत: वर्ग (KLMN) की भुजा = 10 m

हम जानते हैं कि, वर्ग का क्षेत्रफल = भुजा × भुजा

अत: वर्ग (KLMN) का क्षेत्रफल = 10 m × 10 m

= 100 m²

[चूँकि दोनों पथ एक दूसरे को समकोण पर काटते हैं, अत: पथ का क्षेत्रफल निकालने के लिए एक वर्ग जो दूसरे को आच्छादित करता है का क्षेत्रफल दोनों पथों के क्षेत्रफल के योग से घटाने पर दोनों पथों का क्षेत्रफल ज्ञात किया जा सकता है।]

अब पथ का कुल क्षेत्रफल

= पार्क की लम्बाई के अनुदिश पथ (EFGH) का क्षेत्रफल + पार्क की चौड़ाई के अनुदिश पथ (PQRS) का क्षेत्रफल – वर्ग (KLMN) का क्षेत्रफल

= 7000 m² + 3000 m² – 100 m²

= 100000 m² – 100 m²

= 9900 m²

अत: पथ का क्षेत्रफल = 9900 m²

अब चूँकि, 10000 m² = 1 हेक्टेयर

अत:, 9900 m² = `9900/10000` हेक्टेयर

= 0.99 हेक्टेयर

अत: पथ का क्षेत्रफल = 0.99 हेक्टेयर

पथ को छोड़कर पार्क का क्षेत्रफल

= पार्क का क्षेत्रफल – पथ का क्षेत्रफल

= 210000 m² – 9900 m²

= 200100 m²

अत: पथ को छोड़कर पार्क का क्षेत्रफल = 200100 m²

अब चूँकि, 10000 m² = 1 हेक्टेयर

∴ 200100m² = 200100 × `1/10000` हेक्टेयर

= 20.01 हेक्टेयर

पथ को छोड़कर पार्क का क्षेत्रफल = 20.01 हेक्टेयर तथा पथ का क्षेत्रफल = 0.99 हेक्टेयर उत्तर

वैकल्पिक विधि

class 7th math Perimeter and area solution of एनसीईआरटी प्रश्नावली 11.4 Q6-वैकल्पिक विधि

मान लिया कि दिया गया पथ पार्क की लम्बाई तथा चौड़ाई से सटकर बना हुआ है।

अत: पथ को छोड़कर पार्क की लम्बाई

= 700 m –10 m = 690 m

तथा पथ को छोड़कर पार्क की चौड़ाई

= 300 m – 10 m = 290 m

पार्क का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई

= 700 m × 300 m

= 210000 m²

तथा पथ को छोड़कर पार्क का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई

= 690 m × 290 m

= 200100 m²

अब चूँकि 1 हेक्टेयर = 10000 m²

∴ 200100m² = 200100 × `1/10000` हेक्टेयर

= 20.01 हेक्टेयर

अब पथ का क्षेत्रफल = पार्क का क्षेत्रफल – पथ को छोड़कर पार्क का क्षेत्रफल

= 210000 – 200100 m²

= 9900 m²

अत: पथ का क्षेत्रफल = 9900m²

अब चूँकि, 10000 m² = 1 हेक्टेयर

अत:, 9900 m² = `9900/10000` हेक्टेयर

= 0.99 हेक्टेयर

अत: पथ का क्षेत्रफल = 0.99 हेक्टेयर

अत: पथ को छोड़कर पार्क का क्षेत्रफल = 20.01 हेक्टेयर तथा पथ का क्षेत्रफल = 0.99 हेक्टेयर उत्तर

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संदर्भ (Reference):