समांतर श्रेणी
दसवीं गणित
NCERT प्रश्नावली 5.2
प्रश्न संख्या: 1. निम्नलिखित सारणी में, रिक्त स्थानों को भरिए, जहा AP का प्रथम पद `a`, सार्व अंतर `d` और `n`वाँ पद `a_n` है:
| Sl | a | d | n | `a_n` |
|---|---|---|---|---|
| (i) | 7 | 3 | 8 | ... |
| (ii) | `-18` | ... | 10 | 0 |
| (iii) | ... | `-3` | 18 | `-5` |
| (iv) | `-18.9` | 2.5 | ... | 3.6 |
| (v) | 3.5 | 0 | 105 | .... |
Solution:
Answer Table
| Sl | a | d | n | `a_n` |
|---|---|---|---|---|
| (i) | 7 | 3 | 8 | 28 |
| (ii) | `-18` | 2 | 10 | 0 |
| (iii) | 46 | `-3` | 18 | `-5` |
| (iv) | `-18.9` | 2.5 | 10 | 3.6 |
| (v) | 3.5 | 0 | 105 | 3.5 |
ब्याख्या
(i) दिया गया है, `a=7, d=3, n=8`
अत:, `a_n=?`
हम जानते हैं कि, `a_n=a+(n-1)d`
`:. a_8 = 7+(8-1)3`
`=7+7xx3=28` उत्तर
(ii) दिया गया है, `a=-18, n=10, a_n=0`
अत:, `d=?`
हम जानते हैं कि, `a_n=a+(n-1)d`
`:. 0 = -18+(10-1)xxd`
`=>0=-18+9d`
`=>9d=18`
`:. d=18/9=2` उत्तर
(iii) दिया गया है, `d=-3, n=18, a_n=-5`
Therefore, `a=?`
हम जानते हैं कि, `a_n=a+(n-1)d`
`:. -5=a+(18-1)xx(-3)`
`=>-5=a+17xx(-3)`
`=>-5=a-51`
`=>a=-5+51=46` उत्तर
(iv) दिया गया है, `a=-18.9, d=2.5, a_n=3.6`
अत:, `n=?`
हम जानते हैं कि, `a_n=a+(n-1)d`
`:. 3.6=-18.9+(n-1)xx2.5`
`=>3.6=-18.9+2.5\ n-2.5`
`=>3.6=-21.4+2.5\ n`
`=>2.5\ n = 3.6+21.4`
`=>2.5\ n = 25`
`:. n = 25/2.5=10` उत्तर
(v) दिया गया है, `a=3.5, d=0, n=105`
अत:, `a_n=?`
यहाँ चूँकि सार्व अंतर `=0` है, अत: सभी पद प्रथम पद `=3.5` के बराबर होंगे।
`:. a_105= 3.5` उत्तर
प्रश्न संख्या: (2) निम्नलिखित में सही उत्तर चुनिए और उसका औचित्य दीजिए:
(i) AP: 10, 7, 4, ..., का `30`वाँ पद है:
(A) 97
(B) 77
(C) `-77`
(D)`-87`
हल:
दिया गया है, 10, 7, 4, ...
यहाँ प्रथम पद `a_1= 10`
तथा सार्व अंतर [Common differnece (d)]
`= a_2-a_1=a_3-a_2`
`=7-10=4-7`
`=>d=-3`
∴ `30`वाँ पद, `a_(30)=?`
हम जानते हैं कि, `a_n=a+(n-1)d`
`:. a_30=10+(30-1)xx(-3)`
`=10+29xx(-3)=10-87`
`=>a_30=-77`
∴ विकल्प (C)`-77` सही उत्तर है
(ii) AP: `-3, -1/2, 2, `......, का `11`वाँ पद है:
(A) 28
(B) 22
(C) `-38`
(D)`-87`
हल:
दिया गया है, `-3, -1/2, 2, `......,
यहाँ प्रथम पद `(a_1)=-3`
तथा सार्व अंतर `(d)`
`a_2-a_1=-1/2-(-3)`
`=-1/2+3=(-1+6)/2`
`d=5/2`
∴ `a_11=?`
हम जानते हैं कि, `a_n=a+(n-1)d`
`:. a_11=-3+(11-1)xx(5/2)`
`=-3+10xx5/2`
`=-3+5xx5=-3+25`
`a_11=22`
∴ विकल्प `(B) 22` सही उत्तर है।
प्रश्न संख्या. (3) निम्नलिखित समांतर श्रेणियों मे, रिक्त खानों (boxes) के पदों को ज्ञात कीजिए:
(i) 2, `square`, 26
हल:
यहाँ प्रथम पद `(a_1)=2`
तथा तीसरा पद `(a_3)=26`
∴ दूसरा पद `(a_2)=?`
मान लिया कि सार्व अंतर `=d`
हम जानते हैं कि, `a_n=a+(n-1)d`
अत: तीसरा पद `(a_3)`
`=>26 = 2+(3-1)d`
`=>26=2+2d`
`=>2d=26-2=24`
`:. d = 24/2=12`
अत: रिक्त खाने के पद, अर्थात दूसरा पद `a_2` की निम्नांकित तरीके से गणना की जा सकती है।
विधि (1)
चूँकि समांतर श्रेणी में, दूसरा पद = पहला पद + सार्व अंतर
`:. a_2 = a_1+d`
`=>a_2 = 2+12=14`
विधि (2)
हम जानते हैं कि ` a_n=a+(n-1)d`
`a_2= 2+(2-1)xx12`
`=>a_2=2+12=14`
अत: रिक्त स्थान का पद `= 14` उत्तर
विधि (3)
यदि `a, b, c`, A.P. में है, तो
`b = (a+c)/2`
अत: दूसरा पद `b=(2+26)/2`
`a_2 (b)= 28/2=14`
अत: रिक्त स्थान का पद `= 14` उत्तर
(ii) `square, 13, square, 3`
हल:
दिया गया है, `a_2=13 and a_4=3`
`:. a_1` तथा `a_3=?`
हम जानते हैं कि, `a_n=a+(n-1)d` जहाँ, `a =` प्रथम पद, `n =` पद की संख्या तथा `d =` सार्व अंतर
`:. a_2= a+(2-1)d`
`=>13=a+d` -----(i)
तथा `a_4 = a+(4-1)d`
`=>3=a+3d` -----(ii)
समीकरण (ii) में से समीकरण (i) को घटाने पर
`13-3=(a+d)-(a+3d)`
`=>10=a+d-a-3d`
`=>10=-2d`
`:. d = -10/2=-5`
अब, प्रथम पद = द्वितीय पद ? सार्व अंतर
`=>a_1= 13-(-5)`
`=>a_1=13+5=18`
तथा तीसरा पद = दूसरा पद + सार्व अंतर
`=a_3=13+(-5)`
`=>a_3=13-5= 8`
अत: खाली स्थान के पद `18` तथा `8` हैं। उत्तर
वैकल्पिक विधि
यदि `a, b, c`, A.P. में है, तो
`b = (a+c)/2`
यहाँ दिया गया है, `a_2=13 and a_4 = 3`
अत: तीसरा पद `a_3=(a_2+a_4)/2`
`=>a_3 = (13+3)/2 = 16/2`
`a_3 = 8`
यहाँ, सार्व अंतर, `d= a_4-a_3`
`=>d=3-8=-5`
`:. a_1 = a_2-d=13-(-5)`
`=>a_1=13+5=18`
अत: खाली स्थान के पद `18` तथा `8` हैं। उत्तर
प्रश्न संख्या. 3 (iii) `5, square, square, 9\1/2`
हल:
दिया गया है, प्रथम पद `(a_1) = 5`
तथा चौथा पद `(a_4) = 9\1/2=19/2`
`:. a_2 and a_3 =?`
मान लिया कि सार्व अंतर `= d`
हम जानते हैं कि, `a_n=a+(n-1)d` जहाँ, `a =` प्रथम पद, `n =` पदों की संख्या तथा `d =` सार्व अंतर
`:. a_4 = a + (4-1)d`
`=> 19/2=5+3d`
`=>19/2-5=3d`
`=>(19-10)/2=3d`
`=>3d=9/2`
`=>d=9/(2xx3)=3/2`
अब, `a_2 = a_1+(2-1)d`
`=>a_2 = 5+1xx3/2`
`=>a_2 = (10+3)/2=13/2`
`=>a_2 = 6\1/2 `
तथा, `a_3 = a + (3-1)d`
`=>a_3 = 5+2xx3/2=5+3`
`=>a_3 = 8`
अत:, `6\1/2` तथा `8` रिक्त स्थान के पद हैं। उत्तर
प्रश्न संख्या. 3 (iv) `-4, square, square, square, square, 6,` .......
हल:
दिया गया है, `-4, square, square, square, square, 6,` .......
यहाँ, `a_1 = -4 and a_6 = 6`
हम जानते हैं कि, `a_n=a+(n-1)d` जहाँ, `a =` प्रथम पद, `n =` पदों की संख्या तथा `d =` सार्व अंतर
`:. a_6= a+(6-1)d`
`=> 6 = -4+5d`
`=>5d=6+4=10`
`=>d=10/5=2`
अब, ∵ `a_2 = a+d`
`:. a_2 = -4+2=-2`
तथा, `a_3 = a+(3-1)d`
`=>a_3 = -4+2xx2`
`=>a_3 = -4+4=0`
तथा, `a_4 = -4+(4-1)2`
`=>a_4 = -4+3xx2=-4+6`
`=>a_4=2`
तथा, `a_5 = -4+(5-1)2`
`=>a_5 = -4+4xx2`
`=>a_5 = -4+8=4`
अत: रिक्त स्थान के पद क्रमश: `-2`, 0, 2` तथा `4` हैं। उत्तर
प्रश्न संख्या. 3 (v) `square, 38, square, square, square, -22`
हल:
दिया गया है, दूसरा पद, `(a_2)=38` तथा छठा पद `(a_6) = -22`
हम जानते हैं कि, `a_n=a+(n-1)d` जहाँ, `a =` प्रथम पद, `n =` पदों की संख्या तथा `d =` सार्व अंतर
`:. a_2 = a+(2-1)d`
` 38=a+d` -----(i)
तथा, `a_6 = a + (6-1)d`
`:. -22=a+5d` -------(ii)
समीकरण (ii) को समीकरण (i) से घटाने पर हम पाते हैं
`38-(-22)=a+d-(a+5d)`
`=>38+22=a+d-a-5d`
`=> 60 = -4d`
`=>d = 60/(-4)=-15`
अब प्रथम पद `(a_1) = a_2-d`
`:. a_1 = 38-(-15)=38+15`
`=> a_1 = 53`
तथा तीसरा पद `(a_3)=a+(3-1)d`
`=>a_3 = 53+2xx(-15)`
`=>a_3 = 53-30=23`
चौथा पद `(a_4)=a+(4-1)xxd`
`=>a_4 = 53+3xx(-15)`
`=>a_4 = 53-45=8`
पाँचवां पद `(a_5) = a +(5-1)d`
`a_5 = 53+4xx(-15)`
`a_5 = 53-60 = -7`
अत: रिक्त स्थान के पद क्रमश: `53, 23, 8` तथा `-7` हैं। उत्तर
Question. (4) AP: `3, 8, 13, 18`, ..., का कौन सा पद `78` है।?
हल:
दिया गया है, प्रथम पद `(a_1)` = 3
तथा सार्व अंतर `(d) = 8-3=13-8=5`
माना कि दिया गया पद `n`वां पद है, अर्थात `a_n= 78`
अत:, `n =?`
हम जानते हैं कि, `a_n=a+(n-1)d` जहाँ, `a =` प्रथम पद, `n =` पदों की संख्या तथा `d =` सार्व अंतर
` a_n = 3+(n-1)xx5`
`:. 78 = 3 + (n-1)xx5`
`=> 78 = 3+5n-5`
`=> 78 = 5n -2`
`=> 5n = 78+2`
`=> n =80/5 = 16`
अत: दिया गया पद `16`वां पद है। उत्तर
Question. (5) निम्नलिखित समांतर श्रेढ़ीयों में से प्रत्येक में कितने पद हैं?
(i) 7, 13, 19, ....., 205
हल:
दिया गया है, प्रथम पद `(a_1) = 7`
तथा अंतिम पद `(l)` = 205
दिये गये समांतर श्रेढ़ी के सूची के अनुसार
सार्व अंतर `(d) = a_2 - a_1 `
` => d = 13-7=6`
माना कि अंतिम पद `n`वां पद है।
अत:, `n=?`
अब, `l=a_n = 205`
हम जानते हैं कि, `a_n=a+(n-1)d` जहाँ, `a =` प्रथम पद, `n =` पदों की संख्या तथा `d =` सार्व अंतर
`:. 205 = 7 + (n-1) 6`
`=> 205 = 7 + 6n - 6`
`=> 1+6n = 205`
`=> 6n = 205-4= 204`
`:. n = 204/6 = 34`
∴ अत: दिये गये समांतर श्रेढ़ी में कुल `34` पद हैं।
Question. 5 (ii) `18, 15\1/2, 13, ..., -47`
हल:
दिया गया है, प्रथम पद `(a_1) = 18`
द्वितीय पद `(a_2) = 15\1/2=31/2`
तथा अंतिम पद `(l) = -47`
∴ सार्व अंतर `(d) = a_2-a_1=31/2-18`
` =>d = (31-36)/2`
`=>d = -5/2`
मान लिया गया कि दिया गया अंतिम पद `(l) = n`वां पद है
`:. n = ?`
हम जानते हैं कि, `a_n=a+(n-1)d` जहाँ, `a =` प्रथम पद, `n =` पदों की संख्या तथा `d =` सार्व अंतर
`:. a_n= 18+(n-1)xx(-5/2)`
`=> -47 = 18+(-(5n)/2+5/2)`
`=> -47 = 18 - (5n)/2+5/2`
`=> -47-18 -5/2=-(5n)/2`
`=> -(5n)/2=-65-5/2`
`=> -(5n)/2=(-130-5)/2`
`=> -5n=-135`
`:. n = 135/5=27`
∴ दिये गये समांतर श्रेढ़ी में कुल `27` पद हैं। उत्तर
Question (6) क्या AP: `11, 8, 5, 2`, .... का एक पद `-150` है? क्यों?
हल:
दिया गया है, प्रथम पद `(a_1) = 11`
तथा दूसरा पद `(a_2) = 8`
चूँकि दी गई सूची समांतर श्रेढ़ी में है, अत:
सार्व अंतर `(d) = a_2-a_1`
`d = 8-11 = -3`
मान लिया कि दिया गया `-150 = n`वां पद है।
हम जानते हैं कि, `a_n=a+(n-1)d` जहाँ, `a =` प्रथम पद, `n =` पदों की संख्या तथा `d =` सार्व अंतर
`:. -150 = 11 + (n-1) xx (-3)`
`=> -150 = 11 -3n + 3`
`=> -150 = -3n + 14`
`=>-3n = -150 - 14 = -164`
`=> n = 164/3 = 54\2/3`
चूँकि `n` जो पदों की संख्या है, एक पूर्णांक नहीं है, अत: दिया `-150` दिये गये श्रेढ़ी का पद नहीं है। उत्तर
Reference: