वृत्त

एनसीईआरटी-NCERT- प्रश्नावली 10.2 का हल (भाग-2)

प्रश्न संख्यां (8) एक वृत्त के परिगत एक चतुर्भुज ABCD खींचा गया है (देखिए आकृति)। सिद्ध कीजिए AB+CD=AD+BC

हल:

दी गई आकृति में,

DR और DS एक ही बिन्दु D से खींची गई वृत की स्पर्श रेखाएँ हैं।

अत:, DR = DS ----------- (i)

तथा, CR और CQ स्पर्श रेखाएँ हैं, जो एक ही वृत पर एक ही बिन्दु C से खींची गई हैं।

अत:, CR = CQ ------------ (ii)

उसी तरह, BP और BQ स्पर्श रेखाएँ हैं, जो एक ही वृत पर एक ही बिन्दु B से खींची गई हैं।

अत:, BP = BQ ------------- (iii)

उसी तरह, AP और AS स्पर्श रेखाएँ हैं, जो एक ही वृत पर एक ही बिन्दु A से खींची गई हैं।

अत:, AP = AS ------------- (iv)

अब समीकरण (i), (ii), (iii) और (iv) को जोड़ने पर हम पाते हैं कि

DR + CR + BP + AP = DS + CQ + BQ + AS

⇒ (DR+ CR) + (BP + AP) = (DS + CQ) + (BQ + AS)

⇒ CD + AB = AD + BC प्रमाणित

प्रश्न संख्यां (9) आकृति में XY तथा X'Y', O केन्द्र वाले किसी वृत्त पर दो समांतर स्पर्श रेखाएँ हैं और स्पर्श बिन्दु C पर स्पर्श रेखा AB, XY को A तथा X'Y' को B पर प्रतिच्छेद करती है। सिद्ध कीजिए कि ∠ AOB = 90⁰

हल:

मान लिया कि दी गई आकृति में O तथा C को मिलाया गया in the given, figure

Δ OPA और Δ OCA में,

OP = OC

[∵ OP और OC एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ हैं।]

AP और AC एक ही बिन्दु A से एक ही वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ है।

अत:, AP = AC

AO = AO

[दोनों त्रिभुजों में उभयनिष्ठ है]

अत: SSS समरूपता के आधार पर

Δ OPA ≅ Δ OCA

अत:, ∠ POA = ∠ COA ------------- (i)

उसी तरह, Δ OQB ≅ Δ OCB

अत:, ∠ QOB = ∠ COB ------------- (ii)

दी गई आकृत्ति में, POQ वृत्त का व्यास है, अर्थात POQ एक सरल रेखा है।

अत:, ∠ POA + ∠ COA + ∠ COB + ∠ QOB = 180⁰

⇒ ∠ COA + ∠ COA + ∠ COB + ∠ QOB = 180⁰

[∵ समीकरण (i) के अनुसार ∠ POA = ∠ COA]

⇒ 2 ∠ COA + + ∠ COB + ∠ QOB = 180⁰

⇒ 2 ∠ COA + + ∠ COB + ∠ COB = 180⁰

[∵ समीकरण (ii) के अनुसार ∠ QOB = ∠ COB]

⇒ 2 ∠ COA + 2 ∠ COB = 180⁰

⇒ ∠ COA + ∠ COB = 180/2 = 90⁰

अब चूँकि, ∠ AOB = ∠ COA + ∠ COB

∴ ∠ AOB = 90⁰ प्रमाणित

प्रश्न संख्यां (10) सिद्ध कीजिए कि किसी बाह्य बिन्दु से किसी वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण स्पर्श बिन्दुओं को मिलाने वाले रेखाखंड द्वारा केन्द्र पर अंतरिक कोण का संपूरक होता है।

हल:

मान लिया कि O केन्द्र वाला एक वृत्त है।

मान लिया कि इस वृत्त के बाहर के बिन्दु P है, जिससे वृत पर दो स्पर्श रेखाएँ PQ और PR खींची गई हैं।

स्पर्श रेखा PQ वृत के Q बिन्दु को स्पर्श करता है।

तथा स्पर्श रेखा PR वृत्त को R बिन्दु पर स्पर्श करता है।

Q तथा R को मिलाया गया

अत:, QR रेखाखंड है जो कि वृत्त के केन्द्र O पर ∠ POQ बनाता है।

अब चित्र के यह स्पष्ट है कि

त्रिज्या OQ ⊥ PQ (स्पर्श रेखा)

∴ ∠ OQP = 90⁰

उसी तरह, त्रिज्या OR ⊥ PR (स्पर्श रेखा)

∴ ∠ ORP = 90⁰

अब, चतुर्भुज OQPR में

आंतरिक कोणों का योग = 360⁰

⇒ ∠ OQP + ∠ QPR + ∠ PRO + ∠ ROQ = 360⁰

S⇒ 90⁰ + ∠ QPR + 90⁰ + ∠ ROQ = 360⁰

⇒ 180⁰ + ∠ QPR + ∠ ROQ = 360⁰

⇒ ∠ QPR + &nag; ROQ = 360⁰ – 180⁰

⇒ ∠ QPR + &nag; ROQ = 180⁰

अर्थात किसी बाह्य बिन्दु से किसी वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण स्पर्श बिन्दुओं को मिलाने वाले रेखाखंड द्वारा केन्द्र पर अंतरिम कोण का संपूरक होता है। प्रमाणित

प्रश्न संख्यां (11) सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के परिगत समांतर चतुर्भुज समचतुर्भुज होता है।

हल:

मान लिया कि ABCD एक चतुर्भुज है जो कि एक O केन्द्र वाले के वृत्त के परिगत है।

अत: प्रमाणित करना है कि ABCD एक समचतुर्भुज है।

हम जानते हैं कि, यदि किसी चतुर्भुज की सभी भुजाएँ बराबर हों तो तो वह एक समचतुर्भुज कहलाता है।

अर्थात प्रमाणित करना है कि, AB = BC = DC = AD

अब चूँकि, ABCD एक चतुर्भुज है।

∴ AB = DC --------- (i)

और BC = AD ------------- (ii)

अब, DR और DS वृत की स्पर्श रेखाएँ हैं, जो एक ही बिन्दु D से खींची गई हैं।

∴ DR = DS ------------- (iii)

उसी तरह, CR और CQ वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं जो एक ही बिन्दु C से खींची गई हैं।

∴ CR = CQ ------------- (iv)

तथा, BP और BQ वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं जो एक ही बिन्दु B से खींची गई है।

∴ BP = BQ -------------- (v)

तथा, AP और AS वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं जो एक ही बिन्दु A से खींची गई हैं।

∴ AP = AS -------------- (vi)

अब समीकरण (iii), (iv), (v) और (vi), को जोड़ने पर

DR + CR + BP + AP = DS + CQ + BQ + AS

⇒ (DR + CR) + (BP + AP) = (DS + AS) + (CQ + BQ)

⇒ CD + AB = AD + BC

अब समीकरण (i) और (ii) से CD और AD का मान रखने पर हम पाते हैं कि

AB + AB = BC + BC

⇒ 2 AB = 2 BC

⇒ AB = BC ------------ (vii)

अब समीकरण (i), (ii) और (vii) से हम पाते हैं कि

AB = BC = CD = DA

अत:, ABCD एक समचतुर्भुज है।प्रमाणित

प्रश्न संख्यां (12) 4 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त के परिगत एक त्रिभुज ABC इस प्रकार खींचा गया है कि रेखाखंड BD और DC (जिनमें स्पर्श बिन्दु D द्वारा BC विभाजित है) की लम्बाईयाँ क्रमश: 8 cm और 6 cm हैं (देखिए आकृति) । भुजाएँ AB और AC ज्ञात कीजिए।

हल:

दिया गया है, CD = 6 cm, और BD = 8 cm

तो, भुजा AB = ? और AC = ?

मान लिया कि, वृत्त त्रिभुज की AC भुजा को F बिन्दु पर और AB भुजा को E बिन्दु पर स्पर्श करती है।

अब, बिन्दु C और E को मिलाया गया।

फिर बिन्दु B और F को मिलाया गया

उसी तरह बिन्दु A और O को मिलाया गया

मान लिया कि, AF = m

अब, चूँकि CF और CD वृत्त के बाहर एक ही बिन्दु C से वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं।

अत:, CF = CD = 6 cm

उसी प्रकार, BD और BE वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं जो एक ही बिन्दु B से डाली गई हैं।

अत:, BE = BD = 8 cm

उसी तरह, AF और AE एक ही बिन्दु A से डाली गई वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं।

अत:, AE = AF = m

अब, AB = AE + BE = m + 8 cm

BC = BD + CD = 8 cm + 6 cm = 14 cm

CA = AF + CF = m + 6 cm

अब हम जानते हैं कि

2s = AB + BC + CA

[जहाँ s वृत्त की अर्ध परिमिति है।]

⇒ 2s = m + 8 + 14 + 6 + m

⇒ 2s = 28 + 2 m

⇒ 2s = 2(14 + m)

⇒ s = 14 + m

अब हेरॉन फॉर्मूला के अनुसार

Δ ABC का क्षेत्रफल `=sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))`

`=sqrt((14+m)(m)(8)(6))`

`=sqrt(48(14m+m^2))`

`=sqrt(16xx3(14m+m^2))`

`=4sqrt(3(14m+m^2))`

अब Δ OBC का क्षेत्रफल `=1/2xxODxxBC`

`=1/2xx4xx14=28`

तथा Δ OCA का क्षेत्रफल `=1/2xxOFxxAC`

`=1/2xx4xx(6+m)`

`=2xx(6+m)`

`=12+2m`

तथा &Dleta; OAB का क्षेत्रफल `=1/2xxOExxAB`

`=1/2xx4xx(8+m)`

`=2xx(8+m)`

`=16+2m`

अब Δ ABC का क्षेत्रफल = Δ OBC का क्षेत्रफल + Δ OCA का क्षेत्रफल + Δ OAB का क्षेत्रफल

`=>4sqrt(3(14m+m^2))` = 28 + 12 + 2m + 16 + 2m

`=>4sqrt(3(14m+m^2))` = 56 + 4 m

`=>sqrt(3(14m+m^2))=(4(14+m))/4`

`=>sqrt(3(14m+m^2))=14+m`

दोनों तरफ वर्ग करने पर

⇒ 3(14m + m²) = (14 + m)²

⇒ 42 m + 3m² = 196 + m² + 28 m

⇒ 42 m – 28 m + 3m² – m² – 196 =0

⇒ 2m² + 14 m – 196 =0

⇒ 2(m² + 7 m – 98) =0

⇒ m² + 7 m – 98 =0

⇒ m² + 14 m – 7 m – 98 = 0

⇒ m (m + 14) – 7 (m + 14) = 0

⇒ (m + 14) (m – 7) = 0

अब, यदि

m + 14 = 0

∴ m = – 14

और यदि

m – 7 = 0

∴ m = 7

ऋणात्मक मान को छोड़ने पर, m = 7 cm

अब, चूँकि AB = m + 8

⇒ AB = 7 + 8 = 15 cm

[∵ m = 7]

और, AC = 6 + m = 6 + 7 = 13

अत:, AB = 15 cm और AC = 13 cm उत्तर

प्रश्न संख्यां (13) सिद्ध कीजिए कि वृत्त के परिगत बनी चतुर्भुज की आमने साम्ने की भुजाएँ केन्द्र पर संपूरक कोण अंतरित करती हैं।

हल:

मान लिया कि ABCD एक चतुर्भुज है जो एक O केन्द्र वाली वृत्त के परिगत बनी हुई है।

मान लिया चतुर्भुज वृत्त को P, Q, R और S बिन्दुओं पर स्पर्श करती है।

अब चतुर्भुज के सभी बिन्दुओं को वृत्त के केन्द्र से मिलाया गया।

अब Δ OAP और Δ OAS में,

AP = AS

[∵ AP और As एक ही बिन्दु से वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ हैं।]

OP = OS

[∵ OP और OS एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ हैं।]

OA = OA

[त्रिभुज के उभयनिष्ठ भुजा है।]

∴ SSS (भुजा-भुजा-भुजा) सर्वांगसमता के द्वारा

Δ OAP ≅ Δ OAS

अत:,

∠ POA = ∠ AOS

i.e. ∠ a = ∠ 8

उसी तरह,

∠ 2 = ∠ 3

∠ 4 = ∠ 5

∠ 6 = ∠ 7

अब,

∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 + ∠ 4 + ∠ 5 + ∠ 6 + ∠ 8 = 360⁰

⇒ (∠ 1 + ∠ 8) + (∠ 2 + ∠ 3) + (∠ 4 + ∠ 5) + (∠ 6 + ∠ 7) = 360⁰

⇒ 2 ∠ 1 + 2 ∠ 2 + 2 ∠ 5 + 2 ∠ 6 = 360⁰

⇒ 2 (∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 5 + ∠ +) = 360⁰

⇒ (∠ 1 + ∠ 2) + (∠ 5 + ∠ 6) = 180⁰

⇒ ∠ AOB + ∠ COD = 180⁰

उसी तरह प्रमाणित किया जा सकता है कि

∠ BOC + ∠ DOA = 180⁰

अत: किसी वृत्त के परिगत बनी चतुर्भुज की आमने सामने की भुजाएँ केन्द्र पर संपूरक कोण अंतरित करती हैं।

MCQs Test Science

10Math-hindi-home

10-Math-home

Reference:

---

---