दो चरों में रैखिक समीकरण युग्म
दसवीं गणित
NCERT प्रश्नावली 3.7 (ऐच्छिक)(2)
प्रश्न संख्या: 6. समीकरणों `5x-y=5` और `3x-y=3` के ग्राफ खींचिए। इन रेखाओं और `y`– अक्ष से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। इस प्रकार बने त्रिभुज के क्षेत्रफल का परिकलन कीजिए।
हल:
दिया गया है
`5x-y=5` ; तथा `3x-y=3`
अब समीकरण `5x-y=5` से
`=>5x=5+y`
`=>x=(5+y)/5`
इस समीकरण के विभिन्न मान के हल का टेबल
| `x` | 0 | 1 | 2 |
| `y` | –5 | 0 | 5 |
तथा समीकरण, `3x-y=3` से
`=>3x=3+y`
`=>x=(3+y)/3`
इस समीकरण के हल का टेबल
| `x` | 0 | 1 | 2 |
| `y` | –3 | 0 | 3 |
अत: रेखाओं और `y`–अक्ष से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक (1, 0), (0, –5) और (0, –3) हैं। उत्तर
प्रश्न संख्या: 7. निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मों को हल कीजिए :
(i) `px+qy=p-q`
`qx-py=p+q`
हल:
दिया गया है, `px+qy=p-q` -------- (i)
तथा, `qx-py=p+q` -------- (ii)
समीकरण (i) को `p` से गुणा करने पर
`p(px+qy=p-q)`
`=>p^2x+pqy=p^2-pq` ----------- (iii)
समीकरण (ii) को `q` से गुणा करने पर
`q(qx-py=p+q)`
`=>q^2x-qpy=pq+q^2` --------------- (iv)
अब समीकरण (iii) तथा (iv) को जोड़ने पर
`(p^2x+pqy)+(q^2x-pqy)` `=(p^2-pq)+(pq+q^2)`
`=>p^2x+\cancel(pqy)+q^2x-\cancel(pqy)` `=p^2-\cancel(pq)+\cancel(pq)+q^2`
`=>p^2x+q^x=p^2+q^2`
`=>x(p^2+q^2)=p^2+q^2`
`=>x=(p^2+q^2)/(p^2+q^2)`
`=>x=1`
अब `x=1` मान को समीकरण (i) में रखने पर
`pxx1+qy=p-q`
`=>p+qy=p-q`
`=>qy=p-q-p`
`=>qy = -q`
`=>y=(-q)/q`
`=>y=-1`
अत:, `x=1` और `y=-1` उत्तर
(ii) `ax+by=c`
`bx+ay=1+c`
दिया गया है, `ax+by=c` ----------- (i)
`bx+ay=1+c` ----------- (ii)
समीकरण (i) को `a` से गुणा करने पर हम पाते हैं
`a(ax+by=c)`
`=>a^2x+aby=ac` ---------- (iii)
समीकरण (ii) को `b` से गुणा करने पर हम पाते हैं
`b(bx+ay=1+c)`
`=>b^2x+aby=b+bc` ------------ (iv)
अब समीकरण (iii) `– समीकरण (iv)
`a^2x+aby-(b^2x+aby)=ac-(b+bc)`
`=>a^2x+\cancel(aby)-b^2x-\cancel(aby)=ac-b-bc`
`=>x(a^2-b^2)=c(a-b)-b`
`=>x=(c(a-b)-b)/(a^2-b^2)` ---------- (v)
अब `x` के मान को समीकरण (i) [`ax+by=c`] में रखने पर
`a{(c(a-b)-b)/(a^2-b^2)}+by=c`
`=>(ac(a-b)-ab)/(a^2-b^2)+by=c`
`=>by=c-(ac(a-b)-ab)/(a^2-b^2)`
`=>by=(c(a^2-b^2)-(ac(a-b)-ab))/(a^2-b^2)`
`=>by=(a^2c-b^c-(a^2c-acb-ab))/(a^2-b^2)`
`=>by=(\cancel(a^2c)-b^2c-\cancel(a^2c)+abc+ab)/(a^2-b^2)`
`=>by=(abc-b^2c+ab)/(a^2-b^2)`
`=>by=(bc(a-b)+ab)/(a^2-b^2)`
`=>by=(b(c(a-b)+a))/(a^2-b^2)`
`=>y=(b(c(a-b)+a))/(b(a^2-b^2))`
`=>y=(c(a-b)+a)/(a^2-b^2)`
अत:, `x=(c(a-b)-b)/(a^2-b^2)` और
` y=(c(a-b)+a)/(a^2-b^2)` उत्तर
(iii) `x/a-y/b=0`
`ax+by=a^2+b^2`
हल:
दिया गया है, `x/a-y/b=0` ----------- (i)
`ax+by=a^2+b^2` --------- (ii)
समीकरण (i) से
`x/a-y/b=0`
`=>(bx-ay)/(ab)=0`
क्रॉस गुणा करने पर
`=>bx-ay=0` ------- (iii)
इस समीकरण को `b` से गुणा करने पर
`b(bx-ay=0)`
`=>b^2x-aby=0` ---------- (iv)
समीकरण (ii) को `a` से गुणा करने पर
`a(ax+by=a^2+b^2)`
`=>a^2x+aby=a^3+ab^2` -------- (v)
अब समीकरण (iv) तथा (v) को जोड़ने पर
`b^2x-\cancel(aby)+a^2x+\cancel(aby)=a^3+ab^2`
`=>b^2x+a^2x=a^3+ab^2`
अब `x` को बायाँ पक्ष तथा `a` को दायाँ पक्ष से उभयनिष्ठ लेने पर
`=>x(b^2+a^2)=a(a^2+b^2)`
`=>x=a(a^2+b^2)/(a^2+b^2)`
`=>x=a`
अब `x=a` मान को समीकरण (iii) में रखने पर
`=>ba-ay=0`
`=>ay = ba`
`=>y=(ba)/a`
`=>y=b`
अत:, `x=a` और `y=b` उत्तर
(iv) `(a-b)x+(a+b)y=a^2-2ab-b^2`
`(a+b)(x+y)=a^2+b^2`
हल:
दिया गया है,
`(a-b)x+(a+b)y=a^2-2ab-b^2` ---------- (i)
`(a+b)(x+y)=a^2+b^2` ----------- (ii)
`=>(a+b)x+(a+b)y=a^2+b^2` ---------- (iii)
समीकरण (iii) को समीकरण (i) में से घटाने पर
`{(a-b)x+(a+b)y}-{(a+b)x-(a+b)y}=(a^2-2ab-b^2)-(a^2+b^2)`
`=>(a-b)x+\cancel((a+b)y)-(a+b)x-\cancel((a+b)y)= \cancel(a^2)-2ab-b^2-\cancel(a^2)-b^2`
`=>(a-b)x-(a+b)y=-2ab-b^2`
बायाँ पक्ष से `x` तथा दायाँ पक्ष से `-2b` उभयनिष्ठ लेने पर
`=>x(a-b-a-b)=-2b(a+b)`
`=>-2bx=-2b(a+b)`
`=>x=(-2b(a+b))/(-2b)`
`=>x = a+b`
अब `x=a+b` मान को समीकरण (i) में रखने पर
`(a-b)(a+b)+(a+b)y=a^2-2ab-b^2`
`=>a^2-b^2+(a+b)y=a^2-2ab-b^2`
`=>(a+b)y= a^2-2ab-b^2-(a^2-b^2)`
`=>(a+b)y=\cancel(a^2)-2ab-\cancel(b^2)-\cancel(a^2)+\cancel(b^2)`
`=>(a+b)y=-2ab`
`=>y=(-2ab)/(a+b)`
अत:, `x = (a+b)` तथा `y=(-2ab)/(a+b)` उत्तर
(v) `152x-378y=-74`
`-378x+152y=-604`
हल:
दिया गया है, `152x-378y=-74` ---------- (i)
`-378x+152y=-604` ---------- (ii)
समीकरण (i) को 378 से गुणा करने पर
`378(152x-378y=-74)`
`=>57456x-142884y=-27972` -------- (iii)
समीकरण (ii) को 152 से गुणा करने पर
`152(-378x+152y=-604)`
`=>-57456x+23104y=-91808` --------- (iv)
समीकरण (iii) तथा समीकरण (iv) को जोड़ने पर हम पाते हैं
`\cancel(57456x)-142884y-\cancel(57456x)+23104y=-27972-91808`
`=>-142884y+23104y=-119780`
`=>-119780y=-119780`
`=>y=(-119780)/(-119780)`
`=>y=1`
अब `y=1` मान को समीकरण (i) में रखने पर
`152x-378xx1=-74`
`=>152x-378=74`
`=>152x=-74+378`
`=>152x=304`
`=>x = 304/152`
`=>x=2`
अत:, `x=2` और `y=1` उत्तर
प्रश्न संख्या: 8. ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है (देखिए आकृति). इस चक्रीय चतुर्भुज के कोण ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्न में दिये गये चित्र के अनुसार, चक्रीय चतुर्भुज के लिए
`/_A = 4y+20`
`/_B=3y-5`
`/_C=-4x`
`/_D=-7x+5`
हम जानते हैं कि चतुर्भुज के आमने सामने के कोणों का योग `180^o` होता है।
यहाँ, `/_A` तथा `/_C` आमने सामने के कोण हैं।
अत:, `/_A+/_C=180^o`
अब चित्र के अनुसार `/_A` तथा `/_C` के मान रखने पर
`4y+20+(-4x)=180`
`=>4y-4x=180-20`
बायाँ पक्ष से 4 उभयनिष्ठ लेने पर
`=>4(y-x)=160`
`=>y-x=160/4`
`=>y-x=40` ------- (i)
अब, `/_B` और ` /_D` आमने सामने के कोण हैं।
अत:, `/_B+/_D=180`
[∵ एक चतुर्भुज के आमने सामने के कोणों का योग = 180 डिग्री होता है।]
कोण `/_B` तथा `/_D`, के मानों को रखने पर
`3y-5+(-7x+5)=180`
`=>3y-5-7x+5=180`
`=>3y-7x=180` --------- (ii)
समीकरण (i) को 3 से गुणा करने पर
`3(y-x=40)`
`=>3y-3x=120` ------- (iii)
अब समीकरण (iii) को समीकरण (ii) से घटाने पर
`(3y-7x)-(3y-3x)=180-120`
`=>\cancel(3y)-7x-\cancel(3y)+3x=60`
`=>-4x=60`
`=>x=60/(-4)=-15`
अब `x=-15` मान को समीकरण (i) [`y-x=40`] में रखने पर
`y-(-15)=40`
`=>y+15=40`
`=>y=40-15=25`
अब जैसा कि दिया गया है,
`/_A=4y+20`
अब `y=25` के मान को रखने पर
`/_A = 4xx25+20=100+20`
`=>/_A=120^o`
तथा जैसा कि दिया गया है, `/_B=3y-5`
अत: `y=25` मान को रखने पर
`/_B=3xx25-5=75-5`
`=>/_B=70^o`
तथा चूँकि, `/_C=-4x`
अत: `x=-15` मान को रखने पर
`/_C=-4xx(-15)=60^o`
तथा चूँकि, `/_D=-7x+5`
अत: `x=-15` मान को इसमें रखने पर
`/_D=-7xx(-15)+5 =105+5`
`=>/_D=110^o`
अत:, `/_A=120^o, /_B=70^o`, `/_C=60^o` और `/_D=110^o` उत्तर
Reference: