दो चरों में रैखिक समीकरण युग्म
दसवीं गणित
NCERT प्रश्नावली 3.4(भाग:2)
प्रश्न संख्या: 2. निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके हल (यदि उनका अस्तित्व हो) विलोपन विधि से ज्ञात कीजिए :
(i) यदि हम अंश में 1 जोड़ दें तथा हर में से 1 घटा दें तो भिन्न 1 में बदल जाती है। यदि हर में 1 जोड़ दें तो यह `1/2` हो जाती है। वह भिन्न क्या है ?
हल:
मान लिया कि भिन्न `=x/y`
प्रश्न के अनुसार अंश में 1 जोड़ने तथा हर में 1 घटाने पर
`(x+1)/(y-1) = 1`
क्रॉस गुणन करने पर हम पाते हैं कि
`x+1 = y-1`
`=> x = y -1-1`
`=> x-y = -2` -----------(i)
तथा प्रश्न के अनुसार हर में 1 जोड़ने पर
`x/(y+1) = 1/2`
क्रॉस गुणन करने पर
`=> 2x = y+1`
`=> 2x - y = 1` --------(ii)
अब समीकरण (ii) को समीकरण (i) में से घटाने पर हम पाते हैं कि
`(x-y) - (2x-y) = -2 ? 1`
`=> x- \cancel(y) -2x+\cancel(y) = -3`
`=> -x = -3`
`=> x = 3`
अब `x` का मान समीकरण (ii) में रखने पर हम पाते हैं कि
`2(3) - y = 1`
`=>6- y = 1`
`=> - y = 1-6 =-5`
`=> y = 5`
अत: दिया गया भिन्न `3/5` है। उत्तर
(ii) पाँच वर्ष पूर्व नूरी की आयु सोनू की आयु की तीन गुनी थी। दस वर्ष पश्चात, नूरी की आयु सोनू की आयु की दो गुनी हो जायेगी। नूरी और सोनू की आयु कितनी है ?
हल:
मान लिया कि नूरी की वर्तमान आयु `=n`
तथा सोनू की वर्तमान आयु `=s`
अत: पाँच वर्ष पहले नूरी की आयु `=n-5`
तथा पाँच वर्ष पहले सोनू की आयु `=s-5`
अब प्रश्न के अनुसार
`n-5 = 3(s-5)`
`=> n - 5 = 3s-15`
`=> n -3x = -15+5`
`=> n-3s = -10` --------(i)
अब से दस वर्ष बाद नूरी की आयु `= n +10`
तथा अब से दस वर्ष बाद सोनू की आयु ` = s+10`
अत: प्रश्न के अनुसार
`n+10 = 2(s+10)`
`=> n+10 = 2s+20`
`=> n - 2s = 20-10`
`=> n -2s = 10` --------(ii)
अब समीकरण (ii) को समीकरण (i) में से घटाने पर हम पाते हैं कि
`(n-3s)-(n-2s) = -10-10`
`=>\cancel(n)-3s-n\cancel(n)+2s = -20`
`=>-s = -20`
`=> s = 20`
अब `s` का मान समीकरण (ii) में रखने पर हम पाते हैं कि
`n - 2xx20 = 10`
`=> n -40 = 10`
`=> n = 10+40 = 50`
अत: नूरी की वर्तमान आयु = 50 वर्ष तथा सोनू की वर्तमान आयु = 20 वर्ष । उत्तर
(iii) दो अंकों की संख्या के अंकों का योग 9 है। इस संख्या का नौ गुना, संख्या के अंकों को पलटने से बनी संख्या का दो गुना है। वह संख्या ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लिया कि संख्या का ईकाइ अंक `=x`
तथा संख्या का दहाई अंक `=y`
अत: संख्या `=10y +x`
अब प्रश्न के अनुसार
`x+y = 9` ------------(i)
संख्या को पलटने पर प्राप्त संख्या `= 10x+y`
अत: प्रश्न के अनुसार
`9(10y+x) = 2(10x+y)`
`=> 90y + 9x = 20x + 2y`
`=> 90y - 2y +9x-20x = 0`
`=>88y - 11x=0`
`=>11(8y-x)=0`
`=>8y - x =0` -----------(ii)
अब समीकरण (i) तथा समीकरण (ii) को जोड़ने पर हम पाते हैं कि
`(x+y)+(8y-x)=9+0`
`=>\cancel(x)+y +8y-\cancel(x) = 9`
`=>9y = 9`
`=> y = 9/9=1`
अब `y` का मान समीकरण (i) में रखने पर हम पाते हैं कि
`x +1 = 9`
`=> x = 9-1 = 8`
अत: दी गई संख्या `=10y +x = 10xx1+8=18`
अत: वांछित संख्या `=18` उत्तर
(iv) मीना Rs 2000 निकालने के लिए एक बैंक गई। उसने खजाँची से Rs 50 तथा Rs 100 के नोट देने के लिए कहा। मीना ने कुल 25 नोट प्राप्त किए। ज्ञात कीजिए कि उसने Rs 50 और Rs 100 के कितने-कितने नोट प्राप्त किए।
हल:
मान लिया कि Rs 50 के नोटों की संख्या `=x`
तथा मान लिया कि Rs 100 के नोटों की संख्या `=y`
अत: प्रश्न के अनुसार
`x+y = 25` -----------(i)
तथा `50x+100y = 2000`
`=> 50(x+2y) 2000`
`=>x+2y = 2000/50`
`=>x+2y = 40` ---------(ii)
अब समीकरण (i) को समीकरण (ii) में से घटाने पर हम पाते हैं कि
`(x+2y) - (x+y) = 40 ? 25`
`=> \cancel(x)+2y-\cancel(x)-y=15`
`=>y = 15`
अब `y` का मान समीकरण (i) में रखने पर हम पाते हैं कि
`x+15=25`
`=> x = 25-15 = 10`
अत: Rs 50 के नोटों की संख्या = 10 तथा Rs 100 के नोटों की संख्या = 15 उत्तर
(v) किराए पर पुस्तकें देने वाले किसी पुस्तकालय का प्रथम तीन दिनों का एक नियत किराया है तथा उसके बाद प्रत्येक अतिरिक्त दिन का अलग किराया है। सरिता ने सात दिनों तक एक पुस्तक रखने के लिए Rs 27 अदा दिए, जबकि सूसी ने एक पुस्तक पाँच दिनों तक रखने के लिए Rs 21 अदा किए। नियत किराया तथा प्रत्येक अतिरिक्त दिन का किराया ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लिया कि पहले तीन दिनों के लिये पुस्तकालय का नियत भाड़ा = Rs `x`
तथा प्रत्येक अतिरिक्त दिन के लिए किराया = Rs `y`
प्रश्न के अनुसार
सरिता के द्वारा सात दिनों (3 नियत दिन + 4 अतिरिक्त दिन) के लिए दिया गया किराया `=27` रू
अत: `x + 4 y = 27` ---------(i)
तथा उस स्थिति में जब सूसी ने 5 दिनों (3 नियत दिन + 2 अतिरिक्त दिन) के लिए 21 रू किराया दिया है।
अत: `x+2y = 21` -------------(ii)
अब समीकरण (ii) को समीकरण (i) में से घटाने पर
`(x+4y)-(x+2y)=27-21`
`=> \cancel(x)+4y-\cancel(x)-2y = 6`
`=> 2 y = 6`
`=> y = 6/2 = 3`
अब `y` का मान समीकरण (ii) में रखने पर हम पाते हैं कि
`x+2xx3 = 21`
`=> x +6=21`
`=> x = 21-6 = 15`
अत: प्रथम तीन दिनों के लिए नियत भाड़ा = Rs `15` तथा प्रत्येक अतिरिक्त दिन के लिए किराया = Rs `3` उत्तर
Reference: