दो चरों में रैखिक समीकरण युग्म
दसवीं गणित
NCERT प्रश्नावली 3.6
प्रश्न संख्या: 1. निम्न समीकरणों के युग्मों को रैखिक समीकरणों के युग्म में बदल करके हल कीजिए:
(i) `1/(2x) + 1/(3y) = 2`;
`1/(3x) + 1/(2y) = 13/6`
हल:
दिया गया है, `1/(2x) + 1/(3y) = 2` ---------- (i)
`1/(3x) + 1/(2y) = 13/6` ----------- (ii)
मान लिया कि, `1/x=p` and `1/y=q`
समीकरण (i) में `1/x` और `1/y` का मान रखने पर
`1/(2x) + 1/(3y) = 2`
`=> 1/2p+1/3q=2`
`=>(3p+2q)/6=2`
बज्र गुणा करने पर
`3p+2q=12` ---------- (iii)
अब `1/x` तथा `1/y` का मान समीकरण (ii) में रखने पर
`1/(3x) + 1/(2y) = 13/6`
`=>1/3p+1/2q=13/6`
`=>(2p+3p)/6=13/6`
क्रॉस गुणा करने पर
`2p+3q = (13xx6)/6`
`=>2p+3q=13` ---------- (iv)
`=>2p = 13-3q`
`=>p = (13-3q)/2` ------- (v)
अब `p` का मान समीकरण (iii) में रखने पर हम पाते हैं
`3xx(13-3q)/2+2q=12`
`=>((39-9q)+4q)/2=12`
क्रॉस गुणा करने पर
`=>39-9q+4q=12xx2=24`
`=>-5q=24-39=-15`
`=>q=(-15)/(-5)=3`
अब `q` का मान समीकरण (v) में रखने पर हम पाते हैं कि
`p=(13-3xx3)/2`
`=>p=(13-9)/2=4/2`
`=>p=2`
अत: यहाँ `p=2` तथा `q=3`
चूँकि `p=2`
अत: `p=1/x` में `p` का मान रखने पर
`1/x=2`
क्रॉस गुणा करने पर
`1=2x`
`=>x = 1/2`
अब चूँकि, `q=3`
अत: `q` का मान `q=1/y` में प्रतिस्थापित करने पर
`1/y=3`
क्रॉस गुणा करने पर
`=>1=3y`
`=>y = 1/3`
अत:, `x=1/2` तथा `y=1/3` उत्तर
(ii) `2/sqrtx +3/sqrty=2`;
`4/sqrtx-9/sqrty=-1`
दिया गया है, `2/sqrtx +3/sqrty=2`;
`4/sqrtx-9/sqrty=-1`
मान लिया कि `1/sqrtx = p` और 1/sqrty=q`
अत:, `2/sqrtx +3/sqrty=2`
`=>2p+3q=2` ---------- (i)
तथा पुन: दिया गया है, `4/sqrtx-9/sqrty=-1`
`=>4p-9q=-1` --------- (ii)
अब समीकरण (i) को 2 से गुणा करने पर हम पाते हैं
`2(2p+3q=2)`
`=>4p+6q=4` ---------- (iii)
अब समीकरण (iii) से समीकरण (ii) से घटाने पर
`(4p-9q)-(4p+6q)=-1-4`
`=>\cancel(4p)-9q-\cancel(4p)-6q=-5`
`=>-15q=-5`
`=>q = (-5)/(-15)=1/3`
अब `q` का मान समीकरण, (ii) में रखने पर
`4p-9xx1/3=-1`
`=>4p-3=-1`
`=>4p=-1+3=2`
`=>p=2/4`
`=>p=1/2`
अब `p=1/sqrtx`, रखने पर
`1/sqrtx = 1/2`
बज्र गुणन करने पर हम पाते हैं
`sqrtx=2`
दोनों तरफ वर्ग करने पर
`(sqrtx)^2=2^2`
`=>x = 4`
अब चूँकि `q=1/3`
अत: `q=1/sqrty` से `q` का मान प्रतिस्थापित करने पर
`1/sqrty = 1/3`
बज्र गुणन करने पर हम पाते हैं कि
`sqrty = 3`
दोनों तरफ वर्ग करने पर हम पाते हैं कि
`(sqrty)^2=3^2`
`=>y = 9`
अत:, `x=4` और `y=9` उत्तर
(iii) `4/x+3y=14`
`3/x-4y=23`
हल:
दिया गया है, `4/x+3y=14`
`3/x-4y=23`
मान लिया कि, `1/x = p`.
अत: `p=1/x` प्रतिस्थापित करने पर दिये गये समीकरण को निम्नांकित तरीके से लिखा जा सकता है
`4p+3y=14` ----------(i)
तथा, `3p-4y=23` ----------- (ii)
अब समीकरण (i) से
`4p=14-3y`
`=>p = (14-3y)/4`
अब `p` का मान समीकरण (ii) में रखने पर
`3xx(14-3y)/4-4y=23`
`=>((42-9y)-16y)/4=23`
क्रॉस गुणा करने पर
`42-9y-16y=23xx4=92`
`=>42-25y=92`
`=>-25y=92-42=50`
`=>y=50/(-25)=-2`
अब `y` का मान समीकरण (i) में रखने पर हम पाते हैं कि
`4p+3y=14` ----------(i)
`=>4p+3(-2)=14`
`=>4p-6=14`
`=>4p=14+6=20`
`=>p=20/4=5`
`p=1/x` को प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं
`=>1/x = 5`
क्रॉस गुणा करने पर हम पाते हैं
`5x=1`
`=>x=1/5`
अत:, `x=1/5` तथा `y=-2` उत्तर
(iv) `5/(x-1)+1/(y-2)=2`
`6/(x-1)-3/(y-2)=1`
हल:
दिया गया है, `5/(x-1)+1/(y-2)=2` ---------- (i)
`6/(x-1)-3/(y-2)=1` ---------- (ii)
मान लिया कि `1/(x-1)=p` और `1/(y-2) =q` तथा इसे प्रतिस्थापित करने पर
अत: समीकरण (i) से
`5p+q=2` ---------- (iii)
तथा समीकरण (ii) से
`6p-3q=1` ---------- (iv)
अब समीकरण (iii) `5p+q=2` से
`=>q=2-5p`
अब `q=2-5p` को समीकरण (iv) में प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं कि
`6p ? 3(2-5p) = 1`
`=>6p-6+15p=1`
`=>21p-6=1`
`=>21p = 1+6=7`
`=> p = 7/21=1/3`
अब `p` का मान समीकरण (iii) में रखने पर हम पाते हैं
`5p+q=2` ----(iii)
`=>5xx1/3+q=2`
`=>5/3+q=2`
`=>q=2-5/3`
`=>q=(6-5)3=1/3`
अब चूँकि, `p=1/3`
अत: `p=1/(x-1)` प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं
`1/(x-1)=1/3`
क्रॉस गुणा करने पर हम पाते हैं
`=>3=x-1`
`=>x=3+1=4`
तथा चूँकि, `q=1/3`
अत: `q=1/(y-2)` प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं
`1/(y-2)=1/3`
क्रॉस गुणा करने पर हम पाते हैं
`3=y-2`
`=>y=3+2=5`
अत:, `x=4` और `y=5` उत्तर
(v) `(7x-2y)/(xy) = 5`; `(8x+7y)(xy)=15`
हल:
दिया गया है, `(7x-2y)/(xy) = 5`;
`=>(7x)/xy-(2y)/(xy) = 5`
`=>7/y-2x/x =5` ---------- (i)
तथा दिया गया है, `(8x+7y)(xy)=15`
`=>(8x)/(xy)+(7y)/(xy) = 15`
`=>8/y+7/x=15` -----------(ii)
मान लिया कि, `1/x=p` and `1/y=q`
अत: `1/x` तथा `1/y` का मान प्रतिस्थापित करने पर
समीकरण (i) से हम पाते हैं कि
`7q-2p=5` ------- (iii)
समीकरण (ii) से हम पाते हैं कि
`8q+7p=15` -------- (iv)
`=> 8q=15-7p`
`=>q=(15-7p)/8` ---------- (v)
अब `q` का मान समीकरण (iii) में रखने पर हम पाते हैं कि
`7xx(15-7p)/8-2p =5`
`=>(105-49p-16p)/8=5`
क्रॉस गुणा करने पर हम पाते हैं
`105-49p-16p=8xx5`
`=>105-65p=40`
`=>105-40=65p`
`=>65=65p`
`=>p=65/65=1`
अब `p=1` समीकरण (v) में रखने पर हम पाते हैं
`q=(15-7xx1)/8`
`=>q=(15-7)/8`
`=>q=8/8=1`
अब `q=1/y` प्रतिस्थापित करने पर
`1/y=1`
`=>y=1`
तथा चूँकि, p=1`
अत: `p=1/x` में `p=1` रखने पर
`1/x=1`
`=>x=1`
अत:, `x=1` और `y=1` उत्तर
प्रश्न संख्या:1. (vi) `6x+3y = 6xy`
`2x+4y=5xy`
हल:
दिया गया है, `6x+3y = 6xy`
`=>(6x)/(6xy)+(3y)/(6xy)=1`
`=>1/y+1/(2x)=1` ------------ (i)
तथा, दिया गया है, `2x+4y=5xy`
`=>(2x)/(xy)+(4y)/(xy)=5`
`=>2/y+4/x=5` --------- (ii)
अब, मान लिया कि `1/x=p` और `1/y=q`
`p=1/x` तथा `q=1/y` मान को समीकरण (i) में रखने पर हम पाते हैं कि
`q+1/2p=1` ----------- (iii)
`=>q=1-p/2`
`=>q=(2-p)/2` --------- (iv)
`p=1/x` तथा `q=1/y` मान को समीकरण (ii) में रखने पर हम पाते हैं कि
`2q+4p=5` ---------(v)
`q=(2-p)/2` को उपरोक्त समीकरण (v) में रखने पर हम पाते हैं कि
`2xx(2-p)/2+4p=5`
`=>(4-2p+8p)/2=5`
क्रॉस गुणा करने पर हम पाते हैं
`4-2p+8p=5xx2`
`=>4+6p=10`
`=>6p=10-4=6`
`=>p=6/6=1`
अब `p=1` को समीकरण (v) में रखने पर हम पाते हैं
`2q+4xx1=5`
`=>2q+4=5`
`=>2q=5-4=1`
`=>q=1/2`
अब `q=1/y` मान प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं
`1/y=1/2`
`=>y=2`
तथा चूँकि, `p=1`
अत:, `p=1/x` प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं कि
`1/x=1`
`=>x = 1`
अत:, `x=1` और `y=2` उत्तर
Reference: