पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन

NCERT प्रश्नावली 13.4 का हल

जब तक अन्यथा न कहा जाय, π = ²²/₇ लीजिए।

प्रश्न : (1) पानी पीने वाला एक गिलास 14 cm ऊँचाई वाले एक शंकु के छिन्नक के आकार का है। दोनों वृत्ताकार सिरों के व्यास 4 cm और 2 cm हैं। इस गिलास की धारिता ज्ञात कीजिए।

हल:

दिया गया है, शंकु के छिन्नक (frustum) की ऊँचाई = 14 cm

शंकु के छिन्नक (frustum) का बड़ा व्यास = 4 cm

अत: शंकु के छिन्नक (frustum) की त्रिज्या, r₁ = ⁴/₂ = 2 cm

शंकु के छिन्नक (frustum) का छोटा व्यास = 2 cm

अत: शंकु के छिन्नक (frustum) का छोटी वाली त्रिज्या, r₂ = ²/₂ = 1 cm

अत: गिलास का आयतन अर्थात धारिता = ?

शंकु के छिन्नक (frustum) का आयतन = ¹/₃π h(r₁² + r₂² + r₁ × r₂)

= ¹/₃ × ²²/₇ × 14(2² + 1² + 2 × 1) cm³

= ¹/₃ × 22 × 2(4 + 1 + 2)cm³

= ⁴⁴/₃ × 7 cm³

= ³⁰⁸/₃ cm³

= 102 ²/₃ cm³

अत: दिये गये गिलास की धारिता = 102 ²/₃ cm³ उत्तर

प्रश्न : (2) एक शंकु के छिन्नक (frustum) की तिर्यक ऊँचाई 4 cm है तथा इसके वृत्तीय सिरों के परिमाप (परिधियाँ) 18 cm और 6 cm हैं। इस छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:

दिया गया है, शंकु के छिन्नक (frustum) की ऊँचाई, ℓ = 4 cm

बड़े सिरे की परिमाप (परिधि (Circumference)) = 18 cm

छोटे सिरे की परिमाप (परिधि (Circumference)) = 6 cm

अत: शंकु के छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) = ?

वृत्त की परिधि = 2 π r

अत: बड़े सिरे की परिमाप (परिधि (Circumference))

⇒ 18 cm = 2 π r₁

⇒ r₁ = ¹⁸/_2π cm

= r₁ = ⁹/_π cm

और छोटे सिरे की परिमाप (परिधि (Circumference))

वृत्त की परिधि (Circumference) = 2 π r

⇒ 6 cm = 2 π r₂

⇒ r₂ = ⁶/_2π cm

⇒ r₂ = ³/_π cm

अब शंकु के छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = π (r₁ + r₂) ℓ

= π (⁹/_π + ³/_π ) × 4 cm²

= π × ¹/_π (9 + 3) × 4 cm²

= 48 cm²

अत: शंकु के छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 48 cm² उत्तर

प्रश्न : (3) एक तुर्की टोपी शंकु के छिन्नक के आकार की है (देखिए आकृति)। यदि इसके खुले सिरे की त्रिज्या 10 cm है, उपरी सिरे की त्रिज्या 4 cm है और टोपी की तिर्यक की ऊँचाई 15 cm है, तो इसके बनाने में प्रयुक्त पदार्थ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:

दिया गया है, तुर्की टोपी (frustum) की तिर्यक ऊँचाई, ℓ = 15 cm

टोपी के बड़े सिरे की त्रिज्या, r₁ = 10 cm

टोपी के छोटे सिरे की त्रिज्या, r₂ = 4 cm

टोपी बनाने में प्रयुक्त पदार्थ का क्षेत्रफल = ?

वृत्त का क्षेत्रफल = π r²

अत: टोपी के उपरी सिरे का क्षेत्रफल = π (4 cm)²

= 16 π cm²

शंकु के छिन्नक के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल   = π (r₁ + r₂) ℓ

= π (10 cm + 4 cm) × 15 cm

= π 14 × 15 cm²

= 210 π cm²

अत: टोपी बनाने में प्रयुक्त पदार्थ का क्षेत्रफल = टोकी के संपूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल

= टोपी के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल + टोपी के उपरी सिरे के वृत्ताकार भाग का क्षेत्रफल

= 210 π cm² + 16 π cm²

= π (210 + 16)cm²

= ²²/₇ × 226 cm²

= ⁴⁹⁷²/₇ cm²

= 710 ²/₇ cm²

अत: दिये गये टोपी को बनाने में प्रयुक्त पदार्थ का क्षेत्रफल = 710 ²/₇ cm² उत्तर

प्रश्न : (4) धातु के चादर से बना और ऊपर से खुला एक बर्तन शंकु के एक छिन्नक के आकार का है, जिसकी ऊँचाई 16 cm है तथा निचले और ऊपरी सिरों की त्रिज्याएँ क्रमश: 8 cm और 20 cm हैं। रू 20 प्रति लीटर की दर से, इस बर्तन को पूरा भर सकने वाले दूध का मूल्य ज्ञात कीजिए। साथ ही, इस बर्तन को बनाने के लिए प्रयुक्त धातु की चादर का मूल्य रू 8 प्रति 100 cm² की दर से ज्ञात कीजिए। ( π = 3.14 लीजिए)

हल:

दिया गया है, शंकु के छिन्नक (frustum) की ऊँचाई = 16 cm

दिये गये बर्तन के उपरी सिरे की त्रिज्या r₁ = 20 cm

तथा दिये गये बर्तन के निचले सिरे की त्रिज्या, r₂ = 8 cm

दूध की दर = रू 20 प्रति लीटर

धातु की चादर का मूल्य = रू 8 प्रति 100 cm²

अत: बर्तन को भर सकने वाले दूध का मूल्य = ?

बर्तन को बनाने में लगे धातु की चादर का मूल्य = ?

यहाँ बर्तन को भर सकने वाले दूध का मूल्य ज्ञात करने के लिये, सर्वप्रथम दिये गये बर्तन जो कि शंकु के छिन्नक (frustum) के आकार का है, का आयतन ज्ञात करना होगा। साथ ही दिये गये बर्तन को बनाने में प्रयुक्त धातु की चादर का मूल्य ज्ञात करने के लिये दिये गये शंकु के छिन्नक के आकार के बर्तन का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करन होगा।

शंकु के छिन्नक (frustum) का आयतन = ¹/₃π h (r₁² + r₂² + r₁ × r₂)

अत: दिया गया बर्तन, जो शंकु के छिन्नक (frustum) के आकार का है, का आयतन

= ¹/₃ × ²²/₇ × 16 (20² + 8² + (20 × 8))cm³

= ³⁵²/₂₁ (400 + 64 + 160) cm³

= ^{352 × 624}/₂₁ cm³

= ²¹⁹⁶⁴⁸/₂₁ cm³

= 10459.43 cm³

∵ 1 लीटर या 1000 cm³ दूध का मूल्य = Rs 20

∴ 1 cm³ दूध का मूल्य = ²⁰/₁₀₀₀ Rs

∴ 10459.43 cm³ दूध का मूल्य = Rs ^{20 × 10459.43}/₁₀₀₀

= Rs 209.18

अब वृत्त का क्षेत्रफल = π r²

अत: दिये गये शंकु के छिन्नक (frustum) के आकार के बर्तन के निचले आधार का क्षेत्रफल = π × 8² cm²

= 64 π cm²

शंकु के छिन्नक (frustum) की तिर्यक ऊँचाई, ℓ = √(h² + (r₁ – r₂)²)

⇒ ℓ = √(16² + (20 – 8)²) cm

⇒ ℓ = √(256 + 12²) cm

⇒ ℓ = √256 + 144 cm

⇒ ℓ = √400 cm

⇒ ℓ = 20 cm

शंकु के छिन्नक (frustum) के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल = π (r₁ + r₂) ℓ

अत: दिये गये शंकु के छिन्नक (frustum) के आकार वाले बर्तन के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल = π (20 + 8) × 20 cm²

= π × 28 × 20 cm²

= π 560 cm²

अत: दिये गये शंकु के छिन्नक (frustum) के आकार के बर्तन का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल + आधार का क्षेत्रफल

= π 560 cm² + 64 π cm²

= π (560 + 64) cm²

= 3.14 × 624 cm²

= 1959.36 cm²

Now, ∵ 100 cm² धातु की चादर का मूल्य = Rs 8

∴ 1 m² धातु की चादर का मूल्य = ⁸/₁₀₀ Rs

∴ 1959.36 cm² धातु की चादर का मूल्य = ⁸/₁₀₀ × 1959.36 Rs

= Rs 156.75

अत: दिये गये बर्तन को भर सकने वाले दूध का मूल्य रू 209 और बर्तन को बनाने प्रयुक्त धातु की चादर का मूल्य रू 156.75 है। उत्तर

प्रश्न : (5) 20 cm ऊँचाई और शीर्ष कोण (Vertical angle) 60^o वाले एक शंकु को उसकी ऊँचाई के बीचोबीच से होकर जाते हुए एक तल से दो भागों में काटा गया है, जबकि तल शंकु के आधार के समांतर है। यदि इस प्राप्त शंकु के छिन्नक (frustum) को व्यास ¹/₁₆ cm, वाले एक तार के रूप में बदल दिया जाता है तो तार की लम्बाई ज्ञात कीजिए।

हल:

दिया गया है, शंकु की ऊँचाई = 20 cm

शीर्ष कोण (Vertical angle) ∠ BAC = 60^o

दिये गये शंकु को उसकी ऊँचाई के बीचोबीच से होकर जाते हुए एक तल से दो भागों में काटा गया है तथा इस शंकु का छिन्नक (frustum) बनाया गया है।

अत: इस प्राप्त शंकु के छिन्नक (frustum) को व्यास ¹/₁₆ cm वाले तार में बदलने पर तार की लम्बाई = ?

चूँकि दिये गये शंकु को उसकी ऊँचाई के बीचोबीच से होकर जाते हुए एक तल से दो भागों में काटा गया है, अत: प्राप्त छिन्नक (frustum) की ऊँचाई = 10 cm

अत: चित्र के अनुसार,

AF = FG = 10 cm

AG = 20 cm

∠ BAC = 60^o

अत: ∠ DAF = 30^o

Δ DAF में

tan 30^o = ^DF/_AF

⇒ ¹/_√3 = ^DF/₁₀

⇒ DF = ¹⁰/_√3

⇒ DF = r₂ = ¹/_√3

अब Δ BAG में

tan 30^o = ^BG/_AG

⇒ ¹/_√3 = ^BG/₂₀

⇒ BG = ²⁰/_√3

⇒ BG = R₁ = ²⁰/_√3

अब प्राप्त शंकु के छिन्नक (frustum) के लिये

ऊँचाई = 10 cm

बड़ी वाली त्रिज्या, r₁ = ²⁰/_√3

छोटी वाली त्रिज्या, r₂ = ¹⁰/_√3

शंकु के छिन्नक (frustum) का आयतन = ¹/₃π h(r₁² + r₂² + r₁ × r₂)

अत: प्रश्नानुसार प्राप्त शंकु के छिन्नक (frustum) का आयतन

= ¹/₃ π × 10 ((²⁰/_√3)² + (¹⁰/_√3)² + ²⁰/_√3 × ¹⁰/_√3 ) cm³

= ¹/₃ π × 10 ( ⁴⁰⁰/₃ + ¹⁰⁰/₃ + ²⁰⁰/₃ ) cm³

= ¹/₃ π × 10 ( ^{400 + 100 + 200}/₃ ) cm³

= ¹/₃ × ²²/₇ × 10 × ⁷⁰⁰/₃ cm³

= ¹/₃ × 22 × 10 × ¹⁰⁰/₃ cm³

= ²²⁰⁰⁰/₉ cm³

= ²²⁰⁰⁰/₉ cm³

बेलन का आयतन = π r² h

चूँकि एक तार बेलन के आकार का होता है, अत:

मान लिया कि तार की लम्बाई = ℓ

दिया गया है, तार का व्यास = ¹/₁₆ cm

∴ तार की त्रिज्या = ¹/₁₆ × ¹/₂ = ¹/₃₂ cm

अत: तार का आयतन = ²²/₇ × ( ¹/₃₂ ) ² × ℓ

= ²²/₇ × ¹/₃₂ × ¹/₃₂ × ℓ cm²

= ²²/₇₁₆₈ × ℓ cm²

चूँकि प्रश्न के अनुसार प्राप्त शंकु के छिन्नक (frustum) से तार बनाया जाता है

अत: तार का आयतन = प्राप्त शंकु के छिन्नक (frustum) का आयतन

⇒ ²²/₇₁₆₈ × ℓ cm² = ²²⁰⁰⁰/₉ cm³

⇒ ℓ = ^{22000 cm3}/₉ × ⁷¹⁶⁸/₂₂ cm²

⇒ ℓ = ^{1000 × 7168}/₉ cm

⇒ ℓ = 796444.44 cm

centi meter से meter में बदलने के लिए उपरोक्त मान में 100 से भाग देने पर

⇒ ℓ = ^796444.44/₁₀₀ m

⇒ ℓ = 7964.44 m

अत: तार की लम्बाई = 7964.44 मीटर। उत्तर

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Reference:

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