पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन

दसवीं गणित

आरडी शर्मा प्रश्नावली 16.1 प्रश्न 16 से 20

प्रश्न संख्या (16) एक 15 m लम्बे और 11 m चौड़े आयताकार हॉज (टैंक) में एक 21 m आंतरिक व्यास तथा 5 m लम्बाई वाले पूरे भरे हुए बेलनाकार बर्तन से सारा द्रव रखा जाना है। तो आयताकार हॉज (टैंक) की न्यूनतम ऊँचाई क्या होगी जिससे कि बेलनाकार बर्तन का सारा द्रव इसमें आ जाय।

हल:

[ आरडी शर्मा क्लास दशम गणित के प्रश्नावली 16.1 के प्रश्न (16) के हल की योजना (a) बेलनाकार बर्तन का आयतन निकालें जो कि उसमें भरे हुए द्रव के आयतन के बराबर होगा। (b) द्रव के आयतन और हॉज के लम्बाई और चौड़ाई के उपयोग से हॉज की ऊँचाई ज्ञात करें।]

दिया गया है, बेलनाकार बर्तन का आंतरिक व्यास = 21 m

अत: उस बेलनाकार बर्तन की त्रिज्या = 21/2 = 10.5 m

तथा बेलनाकार बर्तन की लम्बाई अर्थात ऊँचाई = 5 m

आयताकार हॉज की लम्बाई = 15 m

आयताकार हॉज की चौड़ाई = 11 m

अत: बेलनाकार बर्तन के द्रव को रखे जाने के लिए आयताकार हॉज की आवश्यक न्यूनतम ऊँचाई = ?

बेलनाकार बर्तन के आयतन की गणना

हम जानते हैं कि, बेलन का आयतन = π r2 h

अत: दिये गये बेलनाकार बर्तन का आयतन = 22/7 × (10.5 m)2 × 5 m

= 22 × 110.25 × 5/7 m3

= 1732.5 m3

अत: बेलनाकार बर्तन का आयतन = बेलनाकार बर्तन में रखे गये द्रव का आयतन = 1732.5 m3

आयताकार हॉज (टैंक) के ऊँचाई की गणना

अब चूँकि बेलनाकार बर्तन, जो कि द्रव से पूरा भरा हुआ है, का सारा द्रव आयताकार हॉज में रखा जाना है, अत: आयताकार हॉज का आयतन बेलनाकार बर्तन के आयतन के बराबर होना चाहिए ताकि सारा द्रव उसमें आ सके।

अब हम जानते हैं कि आयताकार टैंक का आयतन = लम्बाई × चौड़ाई × ऊँचाई

⇒ 1732.5 m3 = 15 m × 11 m × h

⇒ 165 m2 × h = 1732.5 m3

⇒ h = 1732.5 m3/165 m2

⇒ 10.5 m

अत: आयताकार टैंक की आवश्यक न्यूनतम ऊँचाई = 10.5 m उत्तर

प्रश्न संख्या (17) एक अर्धगोलाकार बर्तन जिसकी आंतरिक त्रिज्या 9 cm है एक द्रव से पूरी तरह भरी हुई है। अर्धगोलाकार बर्तन के द्रव को बेलनाकार बोतलों में भरा जाना है। यदि प्रत्येक बेलनाकार बोतल का व्यास 3 cm और ऊँचाई 4 cm हो, तो बर्तन के द्रव को पूरी तरह रखने के लिए ऐसे कितने बोतलों की आवश्यकता होगी?

हल:

[ आरडी शर्मा क्लास दशम गणित के प्रश्नावली 16.1 के प्रश्न (17) के हल की योजना (a) दिये गये अर्धगोलाकार बर्तन के आयतन की गणना करें, यह आयतन उसमें रखे गये द्रव के आयतन के बराबर होगा। (b) बेलनाकार बोतल के आयतन की गणना करें। (c) द्रव के आयतन में बेलनाकार बोतल के आयतन से भाग दें, भागफल बोतल की संख्या होगी।]

दिया गया है, अर्धगोलाकार बर्तन की त्रिज्या = 9 cm

प्रत्येक बेलनाकार बोतल की ऊँचाई = 4 cm

तथा बेलनाकार बोतल का व्यास = 3 cm

अत: बेलनाकार बोतल की त्रिज्या = 3/2 = 1.5 cm

अर्धगोलाकार बर्तन के द्रव को रखने के लिए आवश्यक बेलनाकार बोतल की संख्या = ?

अर्धगोलाकार बर्तन के आयतन की गणना

हम जानते हैं कि अर्धगोले का आयतन = 2/3 π r3

अत: दिये गये अर्धगोलाकार बर्तन में रखे गये द्रव का आयतन = अर्धगोले का आयतन = 2/3 π (9 cm)3

= 2 × 3 × 9 × 9 π cm3

= 486 π cm3

चूँकि अर्धगोलाकार बर्तन द्रव से पूरी तरह भरा हुआ है,

अत: अर्धगोलाकार बर्तन में रखे गये द्रव का आयतन = अर्धगोलाकार बर्तन का आयतन

अत: अर्धगोलाकार बर्तन में रखे गये द्रव का आयतन = 486 π cm3

बेलनाकार बोतल के आयतन की गणना

हम जानते हैं कि, बेलन का आयतन = π r2 h

अत: दिये गये बेलनाकार बोतल का आयतन = π (1.5 cm)2 × 4 cm

= 2.25 × 4 π cm3

या, बेलनाकार बोतल का आयतन = 9 π cm3

अर्धगोलाकार बर्तन के द्रव को रखने के लिए बेलनाकार बोतल की आवश्यक संख्या की गणना

अर्धगोलाकार बर्तन के द्रव को रखने के लिए बेलनाकार बोतल की आवश्यक संख्या = द्रव का आयतन/बेलनाकार बोतल का आयतन

= 486 π cm3/9 π cm3 = 54

अत: दिये गए अर्धगोलाकार बर्तन के द्रव को रखने के लिए दिये गये बेलनाकार बोतल की आवश्यक संख्या = 54 उत्तर

प्रश्न संख्या (18) एक खोखले गोले का आंतरिक तथा बाहरी व्यास क्रमश: 6 cm और 10 cm है। यदि इस खोखले गोले को पिघलाकर एक 14 सेंटीमीटर व्यास वाला बेलन बनाया जाय तो उस बेलन की ऊँचाई क्या होगी?

हल:

[ आरडी शर्मा क्लास दशम गणित के प्रश्नावली 16.1 के प्रश्न (18) के हल की योजना (a) खोखले गोले के द्रव्य (मैटेरियल) का आयतन ज्ञात करें। (b) खोखले गोले के द्रव्य का आयतन बेलन के आयतन के बराबर होगा। (c) बेलन के आयतन तथा दिये गये व्यास के उपयोग से बेलन की ऊँचाई ज्ञात करें।]

दिया गया है, खोखले गोले का बाहरी व्यास = 10 cm

अत: दिये गये खोखले गोले का बाहरी त्रिज्या (R) = 10/2 = 5 cm

तथा खोखले गोले का आंतरिक व्यास = 6 cm

अत: दिये गये खोखले गोले की आंतरिक त्रिज्या (r) = 6/2 = 3 cm

बेलन का व्यास = 14 cm

अत: दिये गये बेलन की त्रिज्या = 14/2 = 7 cm

अत: खोखले गोले को पिघलाकर बनाये गये दी गई त्रिज्या वाले बेलन की ऊँचाई = ?

खोखले गोले के द्रव्य के आयतन की गणना

हम जानते हैं कि, खोखले गोले के द्रव्य का आयतन = 4/3 π (R3 – r3)

अत: दिये गये खोखले गोले के द्रव्य का आयतन = 4/3 π [(5 cm)3 – (3 cm)3]

= 4/3 π (125 – 27) cm3

= 392/3 π cm3

अत: दिये गये खोखले गोले के द्रव्य का आयतन = 392/3 π cm3

बेलन के ऊँचाई की गणना

चूँकि दिया गया बेलन को खोखले गोले के द्रव्य को पिघलाकर बनाया गया है, अत: बेलन का आयतन = खोखले गोले के द्रव्य का आयतन

हम जानते हैं कि बेलन का आयतन = π r2 h

अत: दिये गये बेलन का आयतन = π (7 cm)2 × h

392/3 π cm3 = π 7 × 7 cm2 h

अत:, h = 392 π cm3/3 × 7 × 7 × π cm2

⇒ h = 2.66 cm

अत: दिये गये बेलन की ऊँचाई = 2.66 cm उत्तर

प्रश्न संख्या (19) एक 4 cm आंतरिक और 8 cm बाहरी व्यास वाले खोखले गोले को पिघला कर एक शंकु बनाया जाता है। यदि शंकु के आधार का व्यास 8 cm है तो शंकु की ऊँचाई ज्ञात करें।

हल:

[ आरडी शर्मा क्लास दशम गणित के प्रश्नावली 16.1 के प्रश्न (19) के हल की योजना (a) दिये गये खोखले गोले के द्रव्य का आयतन ज्ञात करें। (b) खोखले गोले के द्रव्य का आयतन बनाये गये शंकु के आयतन के बराबर होगा। (c) शंकु के आयतन तथा उसके दिये गये व्यास का उपयोग कर शंकु की ऊँचाई ज्ञात करें।]

दिया गया है, खोखले गोले का बाहरी व्यास = 8 cm

अत: खोखले गोले की बाहरी त्रिज्या (R) = 8/2 = 4 cm

पुन: दिया गया है, खोखले गोले का आंतरिक व्यास = 4 cm

अत: खोखले गोले की आंतरिक त्रिज्या (r) = 4/2 = 2 cm

बनाये गये शंकु के आधार का व्यास = 8 cm

अत: शंकु के आधार की त्रिज्या = 8/2 = 4 cm

अत: शंकु की ऊँचाई = ?

खोखले गोले के द्रव्य के आयतन की गणना

हम जानते हैं कि, खोखले गोले के द्रव्य का आयतन = खोखले गोले का बाहरी आयतन – खोखले गोले का आंतरिक आयतन

= 4/3 π R24/3 π r2

= 4/3 π (R3– r3)

अत: दिये गये खोखले गोले के द्रव्य का आयतन = 4/3 π ((4 cm)3 – (2 cm)3)

= 4/3 π (64 – 8)cm3

या, दिये गये खोखले गोले के द्रव्य का आयतन = 4/3 π × 56 cm3

[ आगे की गणना की सुविधा को ध्यान रखते हुए 4/3 π के मान को यथावत छोड़ दिया गया है। ]

शंकु के ऊँचाई की गणना

चूँकि खोखले गोले को पिघला कर उसके द्रव्य से शंकु का निर्माण किया गया है, अत: खोखले गोले के द्रव्य का आयतन, शंकु के आयतन के बराबर होगा।

हम जानते हैं कि शंकु का आयतन = 1/3 π r2 h

4/3 π × 56 cm3 = 1/3 π (4 cm)2 h

1/3 π × 16 cm2 h = 4/3 π × 56 cm3

∴ h = 4 × 3 × π × 56 cm3/3 × π × 16 cm2

⇒ h = 14 cm

अत: शंकु की ऊँचाई = 14 cm उत्तर

प्रश्न संख्या (20) एक बेलनाकार टब जिसकी त्रिज्या 12 cm है में 20 cm गहराई तक पानी भरा है। एक गोले को उस टब में गिराने पर बेलनाकार टब के पानी की ऊँचाई 6.75 cm बढ़ जाती है, तो गोले की त्रिज्या ज्ञात करें।

हल :

[ आरडी शर्मा क्लास दशम गणित के प्रश्नावली 16.1 के प्रश्न (20) के हल की योजना (a) बेलनाकार टब में चूँकि गोले के गिराये जाने पर उसके पानी की ऊँचाई 6.75 m बढ़ जाती है, अत: इस बढ़े हुए पानी का आयतन गोले के आयतन के बराबर होगा। (b) बेलनाकार टब की त्रिज्या और बढ़े हुए पानी के ऊँचाई का उपयोग कर पानी का आयतन निकालें। यह पानी का आयतन गोले के आयतन के बराबर होगा। (c) गोले के आयतन के आधार पर गोले की त्रिज्या ज्ञात करें।]

दिया गया है, बेलनाकार टब की त्रिज्या = 12 cm

बेलनाकार टब में पानी की गहराई = 20 cm.

बेलनाकार टब में गोले के गिराने से पानी की बढ़ी हुई ऊँचाई = 6.75 cm

अत: गोले की त्रिज्या = ?

बेलनाकार टब में बढ़े हुए पानी के आयतन की गणना

यहाँ चूँकि बेलनाकार टब में गोले के गिराये जाने के कारण पानी का स्तर बढ़ जाता है, अत: पानी के बढ़े हुए स्तर का आयतन गोले के आयतन के बराबर होगा।

हम जानते हैं कि बेलन का आयतन = π r2 h

अत: बेलन में बढ़े हुए पानी का आयतन = π (12 cm)2 × 6.75 cm

= π 144 × 6.75 cm3

= π 972 cm3

अत: बढ़े हुए पानी का आयतन = π 972 cm3

गोले के त्रिज्या की गणना

हम जानते हैं कि गोले का आयतन = 4/3 π r3

चूँकि बढ़े हुए पानी का आयतन = गोले का आयतन

अत:, π 972 cm3 = 4/3 π r3

⇒ r3 = π 972 × 3 cm3/4 × π

⇒ r3 = 729 cm3

अत: r = 729 cm3

या, r = 9 cm

अत: गोले की त्रिज्या = 9 cm उत्तर

बैकल्पिक विधि

[ आरडी शर्मा क्लास दशम गणित के प्रश्नावली 16.1 के प्रश्न (20) के हल की योजना (a) बेलन के पानी का आयतन ज्ञात करें। (b) बेलन में पानी का आयतन बॉल रखने के बाद बढ़े हुए पानी के स्तर को लेकर ज्ञात करें इसमें पानी का पहला स्तर तथा बढ़ा हुआ स्तर लें, यह बॉल सहित पानी का आयतन हुआ। (c) पानी के बढ़े हुए स्तर के साथ पानी के आयतन में से बिना बढ़े स्तर के पानी का आयतन घटायें, यह बॉल का आयतन होगा। (d) बॉल के आयतन के उपयोग से बॉल की त्रिज्या ज्ञात करें।]

दिया गया है, बेलन की त्रिज्या = 12 cm

बेलन में पानी की गहराई = 20 cm

बॉल को पानी में डुबाने के बाद बेलन में पानी का बढ़ा हुआ स्तर = 6.75 cm

अत: बॉल की त्रिज्या = ?

बेलन में पानी के आयतन की गणना

हम जानते हैं कि बेलन का आयतन = π r2 h

अत: बेलन में पानी का आयतन = π (12 cm)2 20 cm

= π 144 cm2 20 cm

अत: बेलन में पानी का आयतन = π 2880 cm3

[आगे की गणना की सुविधा के लिए π को यथावत रखा गया है।]

बॉल के साथ पानी के आयतन की गणना

बॉल रखने के कारण बेलन में पानी की बढ़ी हुई ऊँचाई = 6.75 cm

अत: बॉल रखने के बाद बेलन में पानी की कुल ऊँचाई = पानी की पहली ऊँचाई + पानी की ऊँचाई में बढ़ोतरी

= 20 cm + 6.75 cm = 26.75 cm

हम जानते है कि बेलन का आयतन = π r2 h

अत: बेलन में बॉल के साथ पानी का आयतन = π (12 cm)2 × 26.75 cm

= π 144 cm × 26.75 cm

= π 3852 cm3

अत: बेलन में बॉल के साथ पानी का आयतन = π 3852 cm3

[आगे की गणना की सुविधा के लिए π को यथावत रखा गया है।]

बॉल के आयतन की गणना

अब बॉल का आयतन = बेलन के पानी का बॉल के साथ आयतन – बेलन के पानी का आयतन

= π 3852 cm3 – π 2880 cm3

= π (3852 – 2880) cm3

अत: बॉल का आयतन = π 972 cm3

बॉल के त्रिज्या की गणना

हम जानते हैं कि बॉल का आयतन = 4/3 π r3

⇒ π 972 cm3 = 4/3 π r3

⇒ r3 = π 972 × 3 cm3/4 × π

⇒ r3 = 729 cm3

अत:, r = 729 cm3

या, r = 9 cm

अत: बॉल का आयतन = 9 cm उत्तर

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