त्रिभुज
दसवीं गणित
एनसीईआरटी प्रश्नावली 6.3
त्रिभुजों की समरूपता की कसौटी पर आधारित प्रश्न
प्रश्न संख्यां: 1 . बताइए कि दिये गये आकृति में दिये गये त्रिभुजों के युग्मों में से कौन कौन से युग्म समरूप हैं। उस समरूपता कसौटी को लिखिए जिसका प्रयोग आपने उत्तर देने में किया है तथा साथ ही समरूप त्रिभुजों को सांकेतिक रूप में व्यक्त कीजिए।
(i)
हल:
दिये गये त्रिभुजों में,
`/_A = /_P = 60^o`
`/_B = /_Q = 80^o`
तथा
`/_C = /_ R = 40^o`
अत: AAA के द्वारा `triangle` ABC ~ `triangle` PQR
(ii)
हल:
दिये गये त्रिभुजों में,
`(AB)/(QR) = (BC)/(RP) = (AC)/(QP) = 1/2`
अत: SSS के द्वारा `triangle` ABC ~ `triangle` PQR
(iii)
हल:
चूँकि दिये गये दोनों त्रिभुजों की भुजाएं न तो बराबर हैं और न ही अनुपात में हैं।
अत: `triangle` LMP ≁ `triangle` DEF
(iv)
हल:
दिये गये त्रिभुजों में
`/_M = /_Q = 70^o`
तथा, `(MN)/(PQ) = (ML)/(QR)`
अत: SAS के प्रमेय के अनुसार,
`triangle` MNL ~ `triangle` PQR
(v)
हल:
चूँकि संबंधित भुजाएं समान अनुपात में नहीं हैं,
अत: `triangle` ABC ≁ `triangle` DEF
(vi)
हल:
`triangle` DEF में
`/_ F = 180^o - (70^o+80^o)`
`=>/_F = 30^o`
`triangle` PQR में
`/_P = 180^o-(80^o+30^o)`
`=>/_P = 70^o`
चूँकि दिये गये त्रिभुजों के कोण बराबर हैं,
अत: AAA के अनुसार `triangle` DEF ~ `triangle` PQR
प्रश्न संख्यां: 2. आकृति में, `triangle` ODC ~ `triangle` OBA, `/_BOC = 125^o` और `/_CDO = 70^o` है। `/_DOC, /_DCO` और `/_OAB` ज्ञात कीजिए।
हल:
DOB एक सरल रेखा है। तथा कोण `/_ BOC = 125^o`
अत: `/_DOC = 180^o ? 125^o`
`=> /_DOC = 55^o`
अब त्रिभुज ODC में,
चूँकि किसी त्रिभुज के तीनों कोणों का योग `= 180^o`
अत: `/_D + /_ O + /_ C = 180^o`
`=> /_70^o +/_55^o + /_C = 180^o`
`=>/_ C= 180^o ? 125^o = 55^o`
अब दिया गया है `triangle` ODC ~ `triangle` OBA
अत: संगत कोण OAB `=/_C = 55^o`
अत: `/_DOC, /_DCO` और `/_OAB ` सभी `=55^o` उत्तर
प्रश्न संख्यां : 3. समलंब ABCD, जिसमें AB ∥ DC है, के विकर्ण AC और BD परस्पर O पर प्रतिच्छेद करते हैं। दो त्रिभुजों की समरूपता कसौटी का प्रयोग करते हुए दर्शाइए कि `(OA)/(OC) = (OB)/(OD)` है।
हल:
मान लिया कि दिया गया समलंब ABCD है।
जिसमें AB ∥ DC है, तथा विकर्ण AC तथा BD एक दूसरे को O पर प्रतिच्छेद करते हैं।
अब `triangle` DOC तथा `triangle` BOA में,
`/_CDO = /_ ABO` [चूँकि AB || CD अत: ये एकांतर अंत: कोणों के युग्म (Pairs of alternate interior angles) हैं]
फिर, `/_DCO = /_BAO` [चूँकि AB || CD अत: ये एकांतर अंत: कोणों के युग्म (Pairs of alternate interior angles) हैं]
तथा, `/_DOC = /_BOA` [उर्ध्वाकार सम्मुख कोण हैं।]
अत: AAA (कोण-कोण-कोण) कसौटी के द्वारा
`triangle` DOC ~ `triangle` BOA
चूँकि समरूप त्रिभुज के संगत भुजा समानुपाती होते हैं।
अत: `(DO)/(BO) = (OC)/(OA)`
`=> (OA)/(OC) = (OB)/(OD)` प्रमाणित
प्रश्न संख्यां : 4. दिये गये आकृति में, `(QR)/(QS) = (QT)/(PR)` तथा `/_1 = /_2` है। दर्शाइए कि `triangle` PQS ~ `triangle` TQR है।
हल:
दिया गया है, `/_1 = /_2`
अत: PQ = PR
साथ ही दिया गया है, `(QR)/(QS) = (QT)/(PR)`
`=> (QR)/(QS) = (QT)/(PQ)`
अत: PS || TR
अत: थेल्स (Thales) के प्रमेय अर्थात आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के विलोम के अनुसार
या SAS समरूपता कसौटी के आधार पर
`triangle` PQS ~ `triangle` TQR प्रमाणित
प्रश्न संख्या: 5. `triangle` PQR की भुजाओं PR और QR पर क्रमश: बिन्दु S और T इस प्रकार स्थित हैं कि `/_P = /_RTS` है। दर्शाइए कि `triangle` RPQ ~ `triangle` RTS है।
हल:
मान लिया कि दिया गया त्रिभुज PQR चित्र के अनुसार है।
तथा इस त्रिभुज की भुजाओं PR और QR पर क्रमश: बिन्दु S और T स्थित है।
दिया गया है, `/_P = /_RTS`
सिद्ध करना है कि `triangle` RPQ ~ `triangle` RTS
`triangle` RPQ तथा `triangle` RTS में,
`/_P = /_T` (प्रश्न के अनुसार)
`/_R ` दोनों त्रिभुजों में उभयनिष्ठ है।
अत: त्रिभुजों का तीसरा कोण `/_S = /_Q`
अत: AAA कसौटी के आधार पर
`triangle` RPQ ~ `triangle` RTS प्रमाणित
प्रश्न संख्या: 6. दिये गये आकृति में, यदि `triangle ABE ~= triangle ACD` है, तो दर्शाइए कि `triangle` ADE ~ `triangle` ABC है।
हल:
दिया गया है, `triangle ABE ~= triangle ACD`
अत: `triangle` ABE तथा `triangle` ACD
भुजा, AB = AC ----------- (i)
तथा, भुजा AD = AE ---------- (ii)
[चूँकि दोनों त्रिभुज सर्वांगसम हैं]
अब, `triangle` ABD तथा `triangle` ADE में,
`(AD)/(AB) = (AE)/(AC)` [समीकरण (ii) में (i) से भाग देने पर ]
तथा, कोण A, दोनों त्रिभुजों में उभयनिष्ठ है।
अत: SAS (भुजा-कोण-भुजा) समरूपता कसौटी के आधार
`triangle` ADE ~ `triangle` ABC प्रमाणित
प्रश्न संख्यां : 7. दी गई आकृति में, `triangle` ABC के शीर्षलम्ब AD और CE परस्पर बिन्दु P पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि:
(i) `triangle` AEP ~ `triangle` CDP
(ii) `triangle` ABD ~ `triangle` CBE
(iii) `triangle` AEP ~ `triangle` ADB
(iv) `triangle` PDC ~ `triangle` BEC
हल :
(i) `triangle` AEP ~ `triangle` CDP
`triangle` AEP तथा `triangle` CDP में,
`/_AEP = /_CDP` [चूँकि दोनों कोण `90^o` के बराबर है।]
तथा, `/_APE = /_CPD` [चूँकि उर्ध्वाकार सम्मुख कोण हैं।]
चूँकि दोनों त्रिभुजों के दो कोण अलग अलग बराबर हैं, अत: तीसरा कोण भी बराबर होगा।
अर्थात, `/_PAE = /_PCD`
अत: AAA (कोण-कोण-कोण) समरूपता कसौटी के आधार पर
`triangle` AEP ~ `triangle` CDP प्रमाणित
(ii) `triangle` ABD ~ `triangle` CBE
`triangle` ABD तथा `triangle` CBE में,
`/_ADB = /_CEB ` [चूँकि दोनों कोण अलग अलग `90^o` के बराबर हैं।]
तथा, `/_B` उभयनिष्ठ है।
अर्थात, `/_ABD = /_EBC`
अत: AA (कोण-कोण) समरूपता कसौटी के आधार पर
`triangle` ABD ~ `triangle` CBE
(iii) `triangle` AEP ~ `triangle` ADB
`triangle` AEP तथा `triangle` ADB में,
`/_AEP = /_ADB` [ चूँकि दोनो कोण अलग अलग `90^o` के बराबर हैं। ]
`/_PAE` तथा `/_DAB` उभयनिष्ठ हैं।
अर्थात दोनों त्रिभुजों में `/_PAE = /_DAB`
अत: AA (कोण-कोण) समरूपता कसौटी के आधार पर
`triangle` AEP ~ `triangle` ADB प्रमाणित
(iv) `triangle` PDC ~ `triangle` BEC
`triangle` PDC तथा `triangle` BEC में,
`/_PDC = /_BEC [चूँकि प्रत्येक कोण `90^o` के बराबर है।]
`/_PCD = /_CEB` [दोनों कोण उभयनिष्ठ हैं, अत: बराबर हैं]
अत: AA (कोण-कोण) समरूपता कसौटी के आधार पर
`triangle` PDC ~ `triangle` BEC प्रमाणित
Reference: