चतुर्भुजों को समझना - आठवीं गणित

त्रिभुज के कोणों के योग गुण धर्म

किसी त्रिभुज के तीनों कोणों के योग 180⁰ होता है।

उदाहरण (i):

यहाँ, कोण A + कोण B + कोण C = 180⁰

यदि कोण A = 60⁰ और कोण B = 45⁰, तो कोण C = ?

हम जानते हैं कि किसी त्रिभुज के तीनों कोणों का योग = 180⁰

अत: दिये गये त्रिभुज में, कोण A + कोण B + कोण C = 180⁰

⇒ 60⁰ + 45⁰ + कोण C = 180⁰

⇒ 105⁰ + कोण C = 180⁰

⇒ कोण C = 180⁰ – 105⁰

⇒ कोण C = 75⁰ उत्तर

उदाहरण (ii) : दिये गये त्रिभुज के दो कोण 45⁰ और 75⁰ हैं, तो तीसरे कोण की माप क्या है?

यहाँ, कोण c = 45⁰ और कोण y = 75⁰

चूँकि कोण c और कोण n उर्ध्वाधर सम्मुख (वर्टिकली अपोजिट एंगल) हैं, अत: आपस में बराबर हैं।

अत:, कोण n = कोण c = 45⁰

अब हम जानते हैं कि कोण c और कोण m संपूरक कोण हैं,

अत:, कोण c + कोण m = 180⁰

⇒ 45⁰ + कोण m = 180⁰

⇒ कोण m = 180⁰ – 45⁰

⇒ कोण m = 135⁰

अब चूँकि कोण m और कोण g उर्ध्वाधर सम्मुख कोण (वर्टिकली अपोजिट एंगल) हैं, अत: आपस में बराबर हैं।

अत:, कोण m = कोण g = 135⁰

अब चूँकि कोण c कोण n उर्ध्वाधर सम्मुख कोण (वर्टिकली अपोजिट एंगल) हैं, अत: आपस में बराबर हैं।

अत:, कोण n = कोण c = 45⁰

अब चूँकि कोण y और कोण b उर्ध्वाधर सम्मुख कोण (वर्टिकली अपोजिट एंगल) हैं, अत: आपस में बराबर हैं।

अत:, कोण b = कोण y = 75⁰

अब, कोण y और कोण b साथ मिलकर एक सरल रेखा बनाते हैं अत: संपूरक कोण हैं।

अत:, कोण y + कोण a = 180⁰

⇒ 75⁰ + कोण a = 180⁰

⇒ कोण a = 180⁰ – 75⁰

⇒ कोण a = 105⁰

अब चूँकि कोण a कोण d उर्ध्वाधर सम्मुख कोण (वर्टिकली अपोजिट एंगल) हैं, अत: आपस में बराबर हैं।

अत:, कोण a = कोण d = 105⁰

अब दिये गये त्रिभुज में,

कोण a = 105⁰, कोण c = 45⁰

हम जानते हैं कि एक त्रिभुज के सभी अंत:कोणों का योग = 180⁰

अत:, कोण a + कोण c + कोण h = 180⁰

⇒ 105⁰ + 45⁰ + कोण h = 180⁰

⇒ 150⁰ + कोण h = 180⁰

⇒ कोण h = 180⁰ – 150⁰

⇒ कोण h = 30⁰

अब चूँकि कोण h और कोण q उर्ध्वाधर सम्मुख कोण (वर्टिकली अपोजिट एंगल) हैं, अत: आपस में बराबर हैं।

अत:, कोण q = कोण h = 30⁰

अब चूँकि कोण h और कोण r दोनों मिलकर एक सरल रेखा बनाते हैं अत: संपूरक कोण हैं।

अत:, कोण h + कोण r = 180⁰

⇒ 30⁰ + कोण r = 180⁰

⇒ कोण r = 180⁰ – 30⁰

⇒ कोण r = 150⁰

अब, कोण r और कोण p उर्ध्वाधर सम्मुख कोण (वर्टिकली अपोजिट एंगल) हैं, अत: आपस में बराबर हैं।

अत:, कोण p = कोण r = 150⁰

चतुर्भुज का कोण योग गुण धर्म

एक चतुर्भुज के सभी अंत: कोणों का योग 360⁰ के बराबर होता है।

इसका अर्थ है कि एक चतुर्भुज में

कोण a + कोण b + कोण a + कोण b = 360⁰

उदाहरण (i): यदि एक चतुर्भुज के तीन कोण क्रमश: 65⁰, 95⁰ और 80⁰ हैं, तो दिये गये चतुर्भुज के चौथे कोण की माप क्या है?

हल

हम जानते हैं कि एक चतुर्भुज के सभी अंत: कोणों का योग 360⁰ के बराबर होता है।

अत:, 65⁰ + 95⁰ + 80⁰ + कोण D = 360⁰

⇒ 240⁰ + कोण D = 360⁰

⇒ कोण D = 360⁰ – 240⁰

⇒ कोण D = 120⁰ उत्तर

उदाहरण (ii): यदि एक पंचभुज के चार कोणों की माप क्रमश: 65⁰, 75⁰, 95⁰ और 70⁰ हैं, तो इस दिये गये पंचभुज के पाँचवे कोण की माप क्या होगी?

हल

हम जानते हैं कि एक पाँच भुजाओं वाले बहुभुज के सभी अंत: कोणों का योग = 540⁰

अत: दिये गये पंचभुज के चित्र में

65⁰ + 75⁰ + 95⁰ + 70⁰ + a = 540⁰

⇒ 305⁰ + a = 540⁰

⇒ a = 540⁰ – 305⁰

⇒ a = 235⁰ उत्तर

एक बहुभुज के बाहरी कोणों की माप का योग

एक बहुभुज के सभी बाह्य कोणों की माप का योग 360⁰ होता है।

दिये गये चतुर्भुज में,

उदाहरण (i) यदि एक पंचभुज के चार बाह्य कोणों की माप क्रमश: 50⁰, 65⁰, 60⁰ और 75⁰ है, तो पाँचवे बाह्य कोण की माप क्या होगी?

हल

मान लिया कि प्रश्न में दिये गये पंचभुज का चित्र निम्नांकित है

तथा प्रश्न के अनुसार, कोण a = 50⁰

कोण b = 65⁰

कोण c = 60⁰

और कोण d = 75⁰

अत: कोण e = ?

हम जानते हैं कि एक बहुभुज के सभी बाह्य कोणों की माप का योग 360⁰ होता है।

अत: एक पंचभुज के सभी बाह्य कोणों की माप का योग = 360⁰

अत: दिए गये पंचभुज में,

अत:, कोण a = 110⁰ उत्तर

Example (ii) दिये गये पंचभुज में सभी अज्ञात कोणों की माप क्या होगी?

∠DAE और ∠ PAE में

∠DAE और ∠ PAE मिलकर एक सरल रेखा बनाते हैं, अत: संपूरक कोण हैं।

अत:, ∠DAE + 75⁰ = 180⁰

⇒ ∠DAE = 180⁰ – 75⁰

⇒ ∠DAE = 105⁰

अब, चूँकि ∠ PAE और ∠ DAO उर्ध्वाधर सम्मुख कोण (वर्टिकली अपोजिट एंगल) हैं, अत: आपस में बराबर हैं।

अत:, ᩐ DAO = ∠ PAE = 75⁰

अब चूँकि ∠ PAO और ∠ DAO उर्ध्वाधर सम्मुख कोण (वर्टिकली अपोजिट एंगल) हैं, अत: आपस में बराबर हैं।

अत:, ∠ PAO = ∠ DAO = 105⁰

अब कोण AEF और कोण GEB में

∠ AEF और ∠GEB उर्ध्वाधर सम्मुख कोण (वर्टिकली अपोजिट एंगल) हैं, अत: आपस में बराबर हैं।

अत:, ∠ AEF = ∠ GEB = 65⁰

∠GEB और ∠AEB में

दोनों कोण GEB और AEB आपस में मिलकर एक सरल रेखा बनाते हैं, अत: संपूरक कोण हैं।

अत:, ∠ GEB + ∠ AEB = 180⁰

⇒ 65⁰ + ∠ AEB = 180⁰

⇒ ∠ AEB = 180⁰ – 65⁰

⇒ ∠ AEF = 115⁰

कोण AEB और कोण FEG में

कोण AEB और FEG उर्ध्वाधर सम्मुख कोण (वर्टिकली अपोजिट एंगल) हैं, अत: आपस में बराबर हैं।

अत:, ∠ AEF = ∠ FEG = 115⁰

कोण EBC और कोण HBJ में

∠ EBC और ∠ HBJ उर्ध्वाधर सम्मुख कोण (वर्टिकली अपोजिट एंगल) हैं, अत: आपस में बराबर हैं।

अत:, ∠ EBC = ∠ HBJ = 110⁰

कोण EBH और कोण EBC में

दोनों कोण EBH और EBC आपस में मिलकर एक सरल रेखा बनाते हैं, अत: संपूरक कोण हैं।

अत:, ∠ EBH + ∠ EBC = 180⁰

⇒ ∠ EBH + 110⁰ = 180⁰

⇒ ∠EBH = 180⁰ – 110⁰

⇒ ∠ EBH = 70⁰

कोण EBH और कोण CBJ में

कोण EBH और कोण CBJ उर्ध्वाधर सम्मुख कोण (वर्टिकली अपोजिट एंगल) हैं, अत: आपस में बराबर हैं।

अत:, ∠ EBH = ∠ EBJ = 70⁰

कोण DCB और कोण LCK में

कोण DCB और LCK उर्ध्वाधर सम्मुख कोण (वर्टिकली अपोजिट एंगल) हैं, अत: आपस में बराबर हैं।

अत:, ∠ECB = ∠ LCK = 115⁰

कोण DCB और कोण BCK में

कोण DCB और BCK आपस में मिलकर एक सरल रेखा बनाते हैं, अत: संपूरक कोण हैं।

अत:, ∠ DCB + ∠ BCK = 180⁰

⇒ 115⁰ + ∠ BCK = 180⁰

⇒ ∠ BCK = 180⁰ – 115⁰

⇒ ∠ BCK = 65⁰

कोण BCK और कोण DCL में

कोण BCK और DCL उर्ध्वाधर सम्मुख कोण (वर्टिकली अपोजिट एंगल) हैं, अत: आपस में बराबर हैं।

अत:, ∠ BCK = ∠ DCL = 65⁰

कोण ADC और कोण NDM में

कोण DC और कोण NDM आपस में मिलकर एक सरल रेखा बनाते हैं, अत: संपूरक कोण हैं।

अत:, ∠ ADC = ∠ NDM = 120⁰

कोण ADC और कोण CDM में

कोण ADC और कोण CDM आपस में मिलकर एक सरल रेखा बनाते हैं, अत: संपूरक कोण हैं।

अत:, ∠ ADC + ∠ CDM = 180⁰

⇒ 120⁰ + ∠ CDM = 180⁰

⇒ ∠ CDM = 180⁰ – 120⁰

⇒ ∠ CDM = 60⁰

कोण CDM और कोण ADN में

कोण CDM और ADN उर्ध्वाधर सम्मुख कोण (वर्टिकली अपोजिट एंगल) हैं, अत: आपस में बराबर हैं।

अत:, ∠ CDM = ∠ ADN = 60⁰

अत:,

∠ DAE = 105⁰

∠ PAO = 105⁰

∠ OAD = 75⁰

∠ FEA = 65⁰

∠ AEB = 115⁰

∠ FEG = 115⁰

∠ EBH = 70⁰

∠ HBJ = 110⁰

∠ CBJ = 70⁰

∠ BCK = 65⁰

∠ KCL = 115⁰

∠ DCL = 65⁰

∠ CDM = 60⁰

∠ NDM = 120⁰

And, ∠ ADN = 60⁰