चतुर्भुजों को समझना - आठवीं गणित

चतुर्भुजों को समझना एनसीईआरटी प्रश्नावली 3.1 का हल प्रश्न संख्या (1) यहाँ पर कुछ आकृतियाँ दी गयी हैं:

प्रत्येक का वर्गीकरण निम्नलिखित आधार पर कीजिए

(a) साधारण वक्र

(b) साधारण बंद वक्र

(c) बहुभुज

(d) उत्तल बहुभुज

(e) अवतल बहुभुज

हल

(a) साधारण वक्र: चित्र 1, 2, 5, 6 और 7

(b) साधारण बंद वक्र: चित्र 1, 2, 5, 6 और 7

(c) बहुभुज: चित्र 1 और 2

(d) उत्तल बहुभुज: चित्र 2

(e) अवतल बहुभुज: चित्र 1

चतुर्भुजों को समझना एनसीईआरटी प्रश्नावली 3.1 का हल प्रश्न संख्या (2)निम्नलिखित प्रत्येक में कितने विकर्ण हैं?

(a) एक उत्तल चतुर्भुज

(b) एक समषड्भुज

(c) एक त्रिभुज

हल

(a) एक उत्तल चतुर्भुज

एक उत्तल चतुर्भुज में दो विकर्ण होते हैं। उत्तर

(b) एक समषड्भुज

एक समषड्भुज में कुल 9 (नौ) विकर्ण होते हैं। उत्तर

(c) एक त्रिभुज

एक त्रिभुज में कोई विकर्ण नहीं होता है। अर्थात एक त्रिभुज में शून्य (0) विकर्ण होते हैं। उत्तर

चतुर्भुजों को समझना एनसीईआरटी प्रश्नावली 3.1 का हल प्रश्न संख्या (3) उत्तल चतुर्भुज के कोणों के मापों का योगफल क्या है? यदि चतुर्भुज, उत्तल न हो तो क्या यह गुण लागू होगा? (एक चतुर्भुज बनाइए जो उत्तल न हो और प्रयास कीजिए)

हल

एक उत्तल चतुर्भुज के कोणों की मापों का योगफल = 360⁰ होता है।

एक चतुर्भुज जो कि उत्तल नहीं है भी समान गुण रखता है। अर्थात एक अवतल चतुर्भुज के कोणों की मापों का योगफल भी 360⁰ होता है।

अवतल चतुर्भुज के लिए

एक अवतल चतुर्भुज में भुजाओं की संख्या = 4

तथा हम जानते हैं कि एक बहुभुज के कोणों की मापों का योग

जहाँ n = भुजाओं की संख्या

अत: एक बहुभुज जिसकी चार भुजाएँ होती है, के कोणों की मापों का योग

= 2 × 180⁰

= 360⁰

अत: एक उत्तल चतुर्भुज तथा वैसा चतुर्भुज जो कि उत्तल नहीं भी हो के कोणों की मापों का योग = 360⁰ उत्तर

चतुर्भुजों को समझना एनसीईआरटी प्रश्नावली 3.1 का हल प्रश्न संख्या (4) तालिका की जाँच कीजिए: (प्रत्येक आकृति को त्रिभुजों में बाँटिये और कोणों का योगफल ज्ञात कीजिए).

एक बहुभुज के कोणों के योग के बारे में आप क्या कह सकते हैं जिसकी भुजाओं की संख्या निम्नलिखित हो?

(a) 7       (b) 8       (c) 10       (d) n

हल

चित्र में दिये गये तालिका से यह स्पष्ट है कि एक n भुजा वाले बहुभुज के कोणों की मापों का योग = (n–2) × 180⁰

(a) भुजाओं की संख्या = 7

अत: एक 7 भुजाओं वाले बहुभुज के कोणों की मापों का योग = (7 – 2) × 180⁰

= 5 × 180⁰

= 900⁰ उत्तर

(b) भुजाओं की संख्या = 8

अत: एक 8 भुजाओं वाले बहुभुज के कोणों की मापों का योग = (8 – 2) × 180⁰

= 6 × 180⁰

= 1080⁰ उत्तर

(c) भुजाओं की संख्या = 10

अत: एक 10 भुजाओं वाले बहुभुज के कोणों की मापों का योग = (10 – 2) × 180⁰

= 8 × 180⁰

= 1440⁰ उत्तर

(d) भुजाओं की संख्या = n

अत: एक n भुजाओं वाले बहुभुज के कोणों की मापों का योग

= (n – 2) × 180⁰ उत्तर

चतुर्भुजों को समझना एनसीईआरटी प्रश्नावली 3.1 का हल प्रश्न संख्या (5) सम बहुभुज क्या है?

एक सम बहुभुज का नाम बताइए जिसमें

(i) 3 भुजाएँ

(ii) 4 भुजाएँ

(iii) 6 भुजाएँ

हल

सम बहुभुज की परिभाषा एक समभुज तथा समकोणिक बहुभुज को सम बहुभुज कहा जाता है। अर्थात वैसा बहुभुज जिसके सभी कोण तथा सभी भुजाएँ बराबर हों को सम बहुभुज कहा जाता है।

(i) 3 भुजाओं वाला बहुभुज

एक तीन भुजाओं वाले बहुभु को त्रिभुज कहते हैं। उत्तर

(ii) 4 भुजाओं वाला बहुभुज

एक 4 भुजाओं वाले बहुभुज को चतुर्भुज कहते हैं। उत्तर

(iii) 6 भुजाओं वाला बहुभुज

एक 6 भुजाओं वाले बहुभुज को षटभुज कहते हैं। उत्तर

चतुर्भुजों को समझना एनसीईआरटी प्रश्नावली 3.1 का हल प्रश्न संख्या (6) निम्नलिखित आकृतियों में x (कोण की माप) ज्ञात कीजिए:

(a)

हल

दिये गये चतुर्भुज के तीन कोण क्रमश: = 50⁰, 130⁰ और 120⁰

अत: चौथा कोण (x) = ?

हम जानते हैं कि एक चतुर्भुज के कोणों की मापों का योग = 360⁰

अत: दिये गये चतुर्भुज के कोणों की मापों का योग

= 50⁰ + 130⁰ + 120⁰ + x = 360⁰

⇒ 300⁰ + x = 360⁰

⇒ x = 360⁰ – 300⁰

⇒ x = 60⁰

अत: दिये गये चतुर्भुज में चौथा कोण (x) = 60⁰ उत्तर

(b)

हल

दी गयी आकृति एक चतुर्भुज की है

इस चतुर्भुज में ∠C = 70⁰

∠ B = 60⁰

और ∠ MAD = 90⁰

अत: x = ∠D = ?

चूँकि ∠MAD = 90⁰

अत: ∠DAB = 90⁰ [∵ ∠MAD और ∠ DAB रैखिक युग्म बनाते हैं।]

अब हम जानते हैं कि, एक चतुर्भुज के कोणों की मापों का योग = 360⁰

अत: दिये गये चतुर्भुज में

∠ DAB + ∠ B + ∠ C + ∠D = 360⁰

⇒ 90⁰ + 60⁰ + 70⁰ + x = 360⁰

⇒ 220⁰ + x = 360⁰

⇒ x = 360⁰ – 220⁰

⇒ x = 140⁰

अत: दिये गये चतुर्भुज में, x = 140⁰ उत्तर

(c)

हल

दी गयी आकृति एक पंचभुज की है, जिसमें दिया गया है

∠ G = 30⁰

∠DAE = 70⁰

∠CBF = 60⁰

और ∠ D = ∠ C = x

अत: कोण x = ?

कोण DEA और कोण CBF में

चूँकि कोण DAE और कोण DAB मिलकर एक रैखिक युग्म बनाते हैं तथा हम जानते हैं कि रैखिक युग्म के कोण संपूरक हैं।

अत: ∠DAE + ∠DAB = 180⁰

⇒ 70⁰ + ∠ DAB = 180⁰

⇒ ∠ DAB = 180⁰ – 70⁰

⇒ &#DAB = 110⁰

कोण ABC और कोण CBF में,

दोनों कोण ABC और कोण CBF एक रैखिक युग्म बनाते हैं, और रैखिक युग्म के कोण संपूरक होते हैं।

अत:, ∠ ABC + ∠ CBF = 180⁰

⇒ ∠ ABC + 60⁰ = 180⁰

⇒ ∠ ABC = 180⁰ – 60⁰

⇒ ∠ ABC = 120⁰

अब, हम जानते हैं कि एक पंचभुज के कोणों की मापों का योग = 540⁰

अत: दिये गये पंचभुज में,

∠ G + ∠ D + ∠ DAB + ∠ ABC + ∠C = 540⁰

⇒ 30⁰ + x + 110⁰ + 120⁰ + x = 540⁰

⇒ 260⁰ + 2x = 540⁰

⇒ 2x = 540⁰ – 260⁰

⇒ 2x = 280⁰

⇒ x = 140⁰

दिये गये पंचभुज में x = 140⁰ उत्तर

(d)

हल

दी गयी आकृति एक पंचभुज की है, तथा उसकी सभी भुजाएँ बराबर हैं।

चूँकि दिये गये पंचभुज की सभी भुजाएँ बराबर हैं, अत: इसके सभी कोण भी बराबर होंगे, तथा एक कोण = x

अत: x = ?

हम जानते हैं कि एक पंचभुज की कोणों की मापों का योग = 540⁰

अत: दिये गये पंचभुज में,

x + x + x + x + x = 540⁰

⇒ 5x = 540⁰

⇒ x = 108⁰

अत: दिये गये पंचभुज में, x = 108⁰ उत्तर

चतुर्भुजों को समझना एनसीईआरटी प्रश्नावली 3.1 का हल प्रश्न संख्या (7)

(a) x + y + x ज्ञात कीजिए।

हल

हम जानते हैं एक बहुभुज के सभी बाह्य कोणों की मापों का योग = 360⁰

अत: दिये गये त्रिभुज में, x + y + x = 360⁰ उत्तर

वैकल्पिक विधि

दिये गये चतुर्भुज के दो कोण = 30⁰ और 90⁰

अत: इस दिये गये त्रिभुज के बाह्य कोणों, का योग, x + y + z = ?

x और 90⁰ के बीच

दोनों कोण मिलकर एक रैखिक युग्म बनाते हैं, तथा एक रैखिक युग्म के कोण संपूरक होते हैं।

अत:, x + 90⁰ = 180⁰

⇒ x = 180⁰ – 90⁰

⇒ x = 90⁰

z और 30⁰ के बीच

दोनों कोण मिलकर एक रैखिक युग्म बनाते हैं, तथा एक रैखिक युग्म के कोण संपूरक होते हैं।

अत:, z + 30⁰ = 180⁰

⇒ z = 180⁰ – 30⁰

⇒ z = 150⁰

अब हम जानते हैं किए एक त्रिभुज के तीनों कोणों की मापों का योग = 180⁰

अत: दिये गये त्रिभुज में,

∠ CAE + ∠ ABF + ∠ ACB = 180⁰

⇒ 30⁰ + ∠ ABF + 90⁰ = 180⁰

⇒ ∠ ABF + 120⁰ = 180⁰

⇒ ∠ ABF = 180⁰ – 120⁰

⇒ ∠ ABF = 60⁰

अब कोण ABF और कोण ABE के बीच

दोनों कोण ABF और कोण ABE मिलकर एक रैखिक युग्म बनाते हैं, तथा एक रैखिक युग्म के कोण संपूरक होते हैं।

अत:, ∠ ABF + ∠ ABE = 180⁰

⇒ 60⁰ + y = 180⁰

⇒ y = 180⁰ – 60⁰

⇒ y = 120⁰

अब, x + y + z = 90⁰ + 120⁰ + 150⁰

⇒ x + y + z = 360⁰ उत्तर

(b) x + y + x + w ज्ञात कीजिए।

हल

दिया गया है, x, y , z और w दिये गये चतुर्भुज के बाह्य कोण हैं।

अत:, x + y + x + w = ?

हम जानते हैं कि एक बहुभुज के सभी बाह्य कोणों की मापों का योग = 360⁰

अत: दिये गये चतुर्भुज में,

x + y + x + w = 360⁰ उत्तर

वैकल्पिक विधि

दिये गये चतुर्भुज के तीन कोण हैं 120⁰, 80⁰ और 60⁰

अत: दिये गये गये चतुर्भुज में के सभी बाह्य कोणों की मापों का योग

अर्थात x + y + z + w = ?

z और 60⁰ में

दोनों कोण मिलकर एक रैखिक युग्म बनाते हैं, तथा एक रैखिक युग्म के कोण संपूरक होते हैं। अर्थात दोनों कोणों की माप का योग =180^o

अत:, z + 60⁰ = 180⁰

⇒ z = 180⁰ – 60⁰

⇒ z = 120⁰

y और 80⁰ में,

दोनों कोण मिलकर एक रैखिक युग्म बनाते हैं, तथा एक रैखिक युग्म के कोण संपूरक होते हैं। अर्थात दोनों कोणों की माप का योग =180^o

अत:, y + 80⁰ = 180⁰

⇒ y = 180⁰ – 80⁰

⇒ y = 100⁰

x और 120⁰ में,

दोनों कोण मिलकर एक रैखिक युग्म बनाते हैं, तथा एक रैखिक युग्म के कोण संपूरक होते हैं। अर्थात दोनों कोणों की माप का योग =180^o

अत:, x + 120⁰ = 180⁰

⇒ x = 180⁰ – 120⁰

⇒ y = 60⁰

अब हम जानते हैं कि एक चतुर्भुज के सभी कोणों की मापों का योग = 360⁰

अत: दिये गये चतुर्भुज में,

∠ HAB + 120⁰ + 80⁰ + 60⁰ = 360⁰

⇒ ∠ HAB + 260⁰ = 360⁰

⇒ ∠ HAB = 360⁰ – 260⁰

⇒ ∠ HAB = 100⁰

w और ∠ HAB में,

दोनों कोण मिलकर एक रैखिक युग्म बनाते हैं, तथा एक रैखिक युग्म के कोण संपूरक होते हैं। अर्थात दोनों कोणों की माप का योग =180^o

अत:, w + ∠ HAB = 180⁰

⇒ w + 100⁰ = 180⁰

⇒ w = 180⁰ – 100⁰

⇒ w = 80⁰

अब दिये गये चतुर्भुज में,

w + x + y + x

= 80⁰ + 60⁰ + 100⁰ + 120⁰

= 360⁰

अत:, w + x + y + x = 360⁰ उत्तर