चतुर्भुजों को समझना - आठवीं गणित

चतुर्भुजों को समझना एनसीईआरटी प्रश्नावली 3.2 का हल प्रश्न संख्या (1) निम्नलिखित आकृतियों में x का मान ज्ञात कीजिए:

(a)

हल

हम जानते हैं कि एक बहुभुज के बाह्य कोणों की मापों का योग = 360⁰

अत: दिये गये त्रिभुज के बाह्य कोणों की मापों का योग

= 125⁰ + 125⁰ + x = 360⁰

⇒ 250⁰ + x = 360⁰

⇒ x = 360⁰ – 250⁰

⇒ x = 110⁰ उत्तर

(b)

हल

दिया गया है, ∠ D = 90⁰

∠ F = 70⁰

∠ C = 60⁰

अत:, x = ?

यहाँ दिया गया है, ∠ GAC = 90⁰

चूँकि ∠ GAC और ∠ BAC एक रैखिक युग्म बनाते हैं, तथा रैखिक युग्म के कोण संपूरक होते हैं, अर्थात दोनों कोणों की माप का योग =180^o

अत:, ∠ GAC + ∠ BAC = 180⁰

⇒ 90⁰ + ∠ BAC = 180⁰

⇒ ∠ BAC = 180⁰ – 90⁰

⇒ ∠ BAC = 90⁰

हम जानते हैं कि एक बहुभुज के बाह्य कोणों की मापों का योग = 360⁰

अत: दिये गये पंचभुज के बाह्य कोणों का योग = 360⁰

⇒ 90⁰ + 70⁰ + x + 90⁰ + 60⁰ = 360⁰

⇒ 310⁰ + x = 360⁰

⇒ x = 360⁰ – 310⁰

⇒ x = 50⁰ उत्तर

चतुर्भुजों को समझना एनसीईआरटी प्रश्नावली 3.2 का हल प्रश्न संख्या (2) एक सम बहुभुज के प्रत्येक बाह्य कोण का माप ज्ञात कीजिए जिसकी

(i) 9 भुजाएँ (ii) 15 भुजाएँ हों

हल

(i) एक 9 भुजाओं वाले सम बहुभुज के प्रत्येक बाह्य कोणों की माप

हम जानते हैं कि एक n भुजाओं वाले सम बहुभुज का प्रत्येक बाह्य कोण

जहाँ, n = भुजाओं की संख्या

अत: एक 9 भुजाओं वाले सम बहुभुज के प्रत्येक बाह्य कोण की माप

= 40⁰

अत: एक 9 भुजाओं वाले समबहुभुज के प्रत्येक बाह्य कोण की माप = 40⁰ उत्तर

(ii) 15 भुजाओं वाले सम बहुभुज के प्रत्येक बाह्य कोण की माप

हम जानते हैं कि एक n भुजाओं वाले सम बहुभुज का प्रत्येक बाह्य कोण

जहाँ, n = भुजाओं की संख्या

अत: एक 15 भुजाओं वाले सम बहुभुज के प्रत्येक बाह्य कोण की माप

= 24⁰

अत: एक 15 भुजाओं वाले सम बहुभुज के प्रत्येक बाह्य कोण की माप = 24⁰ उत्तर

चतुर्भुजों को समझना एनसीईआरटी प्रश्नावली 3.2 का हल प्रश्न संख्या (3) एक सम बहुभुज की कितनी भुजाएँ होंगी यदि एक बाह्य कोण का माप 24⁰ हो?

हल

दिया गया है, एक सम बहुभुज के एक बाह्य कोण की माप = 24⁰

अत: दिये गये सम बहुभुज के भुजाओं की संख्या = ?

हम जानते हैं कि एक सम बहुभुज के भुजाओं की संख्या

जहाँ x = सम बहुभुज के प्रत्येक कोण की माप

अत: दिये गये सम बहुभुज के भुजाओं की संख्या

= 15 भुजाएँ

अत: दिये गये सम बहुभुज के भुजाओं की संख्या = 15 उत्तर

चतुर्भुजों को समझना एनसीईआरटी प्रश्नावली 3.2 का हल प्रश्न संख्या (4) एक सम बहुभुज की भुजाओं की संख्या ज्ञात कीजिए यदि इसका प्रत्येक अंत: कोण 165⁰ है।?

हल

दिया गया है, एक सम बहुभुज के प्रत्येक अंत: कोण की माप = 165⁰

अत: भुजाओं की संख्या = ?

मान लिया कि दिये गये बहुभुज का एक बाह्य कोण = m

हम जानते हैं एक बहुभुज का अंत: कोण और बाह्य कोण मिलकर एक रैखिक युग्म बनाते हैं, तथा एक रैखिक युग्म के कोण संपूरक होते हैं। अर्थात दोनों कोणों की माप का योग =180^o

अत: अंत: कोण + बाह्य कोण = 180⁰

⇒ 165⁰ + m = 180⁰

⇒ m = 180⁰ – 165⁰

⇒ m = 15⁰

अत: दिये गये सम बहुभुज का प्रयेक बाह्य कोण = 15⁰

अब हम जानते हैं कि एक सम बहुभुज के भुजाओं की संख्या

जहाँ x = सम बहुभुज के प्रत्येक बाह्य कोण की माप

अत: दिये गये सम बहुभुज के भुजाओं की संख्या

= 24 भुजाएँ

अत: दिये गये सम बहुभुज के भुजाओं की संख्या = 24 उत्तर

चतुर्भुजों को समझना एनसीईआरटी प्रश्नावली 3.2 का हल प्रश्न संख्या (5) (a) क्या ऐसा सम बहुभुज संभव है जिसके प्रत्येक बाह्य कोण का माप 22⁰?

हल

दिया गया है, सम बहुभुब के प्रत्येक बाह्य कोण का माप = 22⁰

अत: ऐसे सम बहुभुज की संभावना = ?

हम जानते हैं कि एक सम बहुभुज के भुजाओं की संख्या

जहाँ x = सम बहुभुज के प्रत्येक बाह्य कोण की माप

अत: दिये गये सम बहुभुज जिसके बाह्य कोण की माप 22⁰ है के भुजाओं की संख्या

= 16.36 भुजाएँ

चूँकि किसी सम बहुभुज की भुजाएँ भिन्न में नहीं हो सकती है, अत: ऐसा सम बहुभुज संभव नहीं है।

अर्थात, चूँकि एक सम बहुभुज के बाह्य कोणों की माप का योग जो कि 360⁰ होता है, दिये गये कोण 22⁰ से पूर्ण रूप से विभाजित नहीं होती है, अत: ऐसा सम बहुभुज का बनना संभव नहीं है।

अत:, उत्तर = नहीं

(b) क्या य किसी सम बहुभुज का अंत: कोण हो सकता है? क्यों?

हल

दिया गया है, किसी सम बहुभुज का एक अंत कोण = 22⁰

हम जानते हैं एक बहुभुज का अंत: कोण और बाह्य कोण मिलकर एक रैखिक युग्म बनाते हैं, तथा एक रैखिक युग्म के कोण संपूरक होते हैं। अर्थात दोनों कोणों की माप का योग =180^o

अत: अंत: कोण + बाह्य कोण = 180⁰

⇒ बाह्य कोण + 22⁰ = 180⁰

⇒ बाह्य कोण = 180⁰ – 22⁰

= 158⁰

हम जानते हैं कि एक सम बहुभुज के भुजाओं की संख्या

जहाँ x = सम बहुभुज के प्रत्येक बाह्य कोण की माप

अत: दिये गये सम बहुभुज जिसके बाह्य कोण की माप 158⁰ है के भुजाओं की संख्या

= 2.27 भुजाएँ

चूँकि किसी सम बहुभुज की भुजाएँ भिन्न में नहीं हो सकती है, अत: ऐसा सम बहुभुज संभव नहीं है।

अर्थात, चूँकि एक सम बहुभुज के बाह्य कोणों की माप का योग जो कि 360⁰ होता है, दिये गये कोण 158⁰ से पूर्ण रूप से विभाजित नहीं होती है, अत: ऐसा सम बहुभुज का बनना संभव नहीं है। जिसका अंत कोण 22⁰ हो।

अत:, उत्तर = नहीं

चतुर्भुजों को समझना एनसीईआरटी प्रश्नावली 3.2 का हल प्रश्न संख्या (6) (a) किसी सम बहुभुज में कम से कम कितने अंश का अंत: कोण संभव है? क्यों?

हल

सबसे कम भुजाओं वाला बहुभुज एक त्रिभुज होता है।

एक तीन भुजाओं वाले सम बहुभुज को समबाहु त्रिभुज कहते हैं।

एक सम बाहु त्रिभुज के प्रत्येक अंत कोण का माप 60⁰ होता है।

अत: एक सम बहुभुज के लिए संभव न्यूनतम अंश का अंत: कोण = 60⁰ उत्तर

(b) किसी सम बहुभुज में अधिक से अधिक कितने अंश का बाह्य कोण संभव है?

हल

किसी सम बहुभुज के बाह्य कोण की माप का अधिकतम अंश उसके अंत: कोण की माप पर निर्भर करता है।

चूँकि एक सम बहुभुज के अंत: कोण का न्यूनत माप 60⁰ होता है, जो कि एक सम बाहु त्रिभुज का होता है।

अत: एक सम बाहु त्रिभुज के बाह्य कोण का माप किसी सम बहुभुज के बाह्य कोण का अधिकतम अंश संभव है।

चूँकि एक सम बाहु त्रिभुज के प्रत्येक अंत: कोण की माप = 60⁰ होता है।

अत: उस सम बाहु त्रिभुज के प्रत्येक बाह्य कोण की माप

= 180⁰ – 60⁰

= 120⁰

अत: किसी सम बहुभुज में अधिक से अधिक संभव बाह्य कोण की माप = 120⁰ उत्तर