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चतुर्भुजों को समझना - आठवीं गणित

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एनसीईआरटी प्रश्नावली 3.3 का हल


चतुर्भुजों को समझना एनसीईआरटी प्रश्नावली 3.3 का हल प्रश्न संख्या (1) ABCD एक समांतर चतुर्भुज है। प्रत्येक कथन को परिभाषा या प्रयोग किये गये गुण द्वारा पूरा कीजिए:

(i) AD = …….

(ii) ∠ DCB = …….

(iii) OC = ……..

(iv) m∠DAB + m∠CDA = ……

हल

(i) AD = BC

ब्याख्या चूँकि एक समांतर चतुर्भुज में सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।

(ii) ∠ DCB = ∠ DAB

ब्याख्या चूँकि एक समांतर चतुर्भुज में सम्मुख कोण बराबर होते हैं।

(iii) OC = OA

ब्याख्या चूँकि एक समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।

(iv) m∠DAB + m∠CDA = 1800

ब्याख्या चूँकि एक समांतर चतुर्भुज में आसन्न कोण सम्पूरक कोण होती हैं। अर्थात समांतर चतुर्भुज में आसन्न कोणों की माप का योग 1800 होता है।

चतुर्भुजों को समझना एनसीईआरटी प्रश्नावली 3.3 का हल प्रश्न संख्या (2) निम्न समांतर चतुर्भुजों में अज्ञात x, y, z के मानों को ज्ञात कीजिए।

(i)

हल

दिया गया है, ABCD समांतर चतुर्भुज है।

तथा, ∠ B = 1000

अत:, x, y और z = ?

∠A और ∠B में

चूँकि एक चतुर्भुज के आसन्न कोण सम्पूरक कोण होते हैं,

अत: ∠A + ∠B = 1800

⇒ z + 1000 = 1800

⇒ z = 1800 – 1000

⇒ z = 800

∠B और ∠D में,

दोनो ∠B और ∠D दिये गये समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण हैं, तथा एक समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।

अत:, ∠D = ∠B

⇒ y = 1000

∠A और ∠C में

दोनों ∠A और ∠C दिये गये समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण हैं।

तथा हम जानते हैं कि एक समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।

अत:, ∠D = ∠B

⇒ z = 800

अत:, x = 800, y = 1000 और z = 800 उत्तर

(ii)

हल

दिया गया है, ABDE एक समांतर चतुर्भुज है, जिसमें

∠ E = 500

अत:, x, y और z = ?

∠ E और ∠ABD में

हम जानते हैं कि एक समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण आपस में बराबर होते हैं।

अत:, ∠ E = ∠ ABD = 500

∠ ABD और z में

चूँक़ि ∠ ABD और z एक रैखिक युग्म बनाते हैं, तथा एक रैखिक युग्म के कोण संपूरक होते हैं। अर्थात दोनों कोणों की माप का योग =180o

अत:, ∠ ABD + z = 1800

⇒ 500 + z = 1800

⇒ z = 1800 – 500

⇒ z = 1300

अब हम जानते हैं कि एक चतुर्भुज के सभी अंत: कोणों का योग = 3600

अत: दिये गये चतुर्भुज में

∠E + x + ∠ABD + y = 3600

⇒ 500 + x + 500 + y = 3600

⇒ 1000 + x + x = 3600

[∵ x और y दिए गये समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण हैं, तथा समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण आपस में बराबर होते हैं, अत: x = y]

⇒ 1000 + 2x = 3600

⇒ 2x = 3600 – 100

⇒ 2x = 2600

⇒ x = 1300

अत:, x = y = 1300

अत:, x = y = z = 1300 उत्तर

(iii)

हल

दिया गया, ABCD एक समांतर चतुर्भुज है जिसमें

∠ B = 300

और ∠ DOA = 900

अत:, x, y और z = ?

यहाँ, ∠ DOA = 900

चूँकि ∠ DOA और ∠ COB उर्ध्वाधर सम्मुख कोण हैं, अत: आपस में बराबर हैं।

अत: ∠ DOA = ∠ COB = 900

अब, त्रिभुज COB में

हम जानते हैं कि एक त्रिभुज के तीनों कोणों का योग = 1800

अत:, x + y + 300 = 1800

900 + y + 300 = 1800

1200 + y = 1800

y = 1800 – 1200

y = 600

अब, ∠DAO और ∠ OCB में,

DA || CB [∵दिये गये समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ हैं।]

तथा AC एक तिर्यक रेखा है जो DA और CB को काटती है।

अत:, ∠ DAO = ∠ OCB

[∵ ∠DAO और ∠OCB संगत कोणों के युग्म हैं]

⇒ z = y = 600

अत:, x = 900, z = y = 600 उत्तर

(iv)

हल

दिया गया है, ABCD एक समांतर चतुर्भुज है, जिसमें

∠ B = 800

अत: x, y और z = ?

∠B और ∠D में

चूँकि ∠B and ∠D दिये गये समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण हैं, अत: आपस में बराबर हैं।

अत: ∠D = ∠B

⇒ y = 800

∠B और ∠A में

चूँक़ि ∠B और ∠A दिये गये समांतर चतुर्भुज के आसन्न कोण हैं, अत: ये सम्पूरक कोण हैं।

अत:, ∠ A + ∠ B = 1800

⇒ x + 800 = 1800

⇒ x = 1800 – 800

⇒ x = 1000

∠B और ∠DCE में

एक ही समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ है, अत: AB||DC

तथा, BC एक तिर्यक रेखा इन दोनों समांतर भुजाओं को काटती है

अत: ∠B और ∠DCE एक संगत कोण के युग्म बनाते हैं, अत: आपस में बराबर हैं।

अत:, ∠DCE = ∠B

⇒ z = 800

अत:, x = 1000, और y = z = 800 उत्तर

(v)

हल

दिया गया है, ABCD एक समांतर चतुर्भुज है, जिसमें

AC एक विकर्ण है

तथा, ∠ B = 1120

और, ∠DAC = 400

अत: z, y और x = ?

∠B और ∠D में

∠B और ∠D दिये गये समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण हैं।

तथा हम जानते हैं कि समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण आपस में बराबर होते हैं।

अत:, ∠ D = ∠ B

⇒ y = 1120

अब त्रिभुज ADC में

हम जानते हैं किए एक त्रिभुज के तीनों कोणों का योग = 1800

अत: दिये गय त्रिभुज ADC में

∠DAC + ∠D + ∠ACD = 1800

⇒ 400 + 1120 + x = 1800

⇒ 1520 + x = 1800

⇒ x = 1800 – 1520

⇒ x = 280

अब दिये गये समांतर चतुर्भुज ABCD में

AB||DC और AC एक तिर्यक रेखा है, जो दोनों समांतर रेखाओं को काटती है।

अब, ∠z और ∠x अंत: एकांतर कोणों के युग्म हैं अत: आपस में में बराबर हैं।

अत:, ∠z = ∠x = 280

अत:, x = z = 280 और y = 1120 उत्तर

चतुर्भुजों को समझना एनसीईआरटी प्रश्नावली 3.3 का हल प्रश्न संख्या (3) क्या एक चतुर्भुज ABCD समांतर चतुर्भुज हो सकता है यदि

(i) ∠D + ∠B = 1800

हल

मान लिया कि ABCD एक चतुर्भुज है

यदि (i) if ∠D + ∠B = 1800

तो ABCD समांतर चतुर्भुज है अथवा नहीं?

चूँकि ABCD एक चतुर्भुज है, अत: ∠ D और ∠ B इस चतुर्भुज के सम्मुख कोण हैं।

हम जानते हैं कि एक चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का माप = 1800

तथा एक आयत में सम्मुख कोण बराबर होते हैं तथा एक कोण 900 होता है।

अत: यदि किसी चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग 1800 है,

यह समांतर चतुर्भुज हो भी सकता है और नहीं भी। उत्तर

(ii) AB = DC = 8cm, और AD = 4cm और BC = 4.4 cm

एक समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।

यहाँ चूँकि दिये गये भुजाओं में मात्र एक ही युग्म बराबर है, अर्थात AB = DC

तथा भुजाओं का दूसरा युग्म AD और BC बराबर नहीं है

अत: दिया गया चतुर्भुज समांतर चतुर्भुज नहीं हो सकता है। उत्तर

(iii) &8736;A = 700 और ∠C = 650

यहाँ दिये गये चतुर्भुज की आमने सामने के कोण &8736;A और &8736;C बराबर नहीं हैं

तथा हम जानते हैं कि एक समांतर चतुर्भुज में सम्मुख कोण बराबर होते हैं।

अत: दिया गया चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज नहीं है। उत्तर

चतुर्भुजों को समझना एनसीईआरटी प्रश्नावली 3.3 का हल प्रश्न संख्या (4) एक चतुर्भुज की कच्ची आकृति खींचिए जो समांतर चतुर्भुज न हो परंतु जिसके दो सम्मुख कोणों के माप बराबर हों।

हल

पतंग एक चतुर्भुज होता है जिसके आमने सामने के कोण बराबर होते हैं। लेकिन पतंग एक समांतर चतुर्भुज नहीं होता है क्योंकि पतंग की सम्मुख भुजाएँ बराबर नहीं होती हैं। उत्तर

चतुर्भुजों को समझना एनसीईआरटी प्रश्नावली 3.3 का हल प्रश्न संख्या (5) किसी समांतर चतुर्भुज के दो आसन्न कोणों का अनुपात 3:2 है। समांतर चतुर्भुज के सभी कोणों की माप ज्ञात कीजिए।

उत्तर

मान लिया कि दिये गये समांतर चतुर्भुज के दो आसन्न कोणि = 3x और 2x

हम जानते हैं कि एक समांतर चतुर्भुज के आसन्न कोणों का योग = 1800

⇒ 3x + 2x = 1800

⇒ 5x = 1800

⇒ x = 360

अत:, 2x = 2 × 360

= 720

और, 3x = 3 × 360

= 1080

अत: दिये गये समांतर चतुर्भुज के दो आसन्न कोण क्रमश: 1080 और 720 हैं। उत्तर




संदर्भ: