चतुर्भुजों को समझना - आठवीं गणित

चतुर्भुजों को समझना एनसीईआरटी प्रश्नावली 3.3 का हल प्रश्न संख्या (6) किसी समांतर चतुर्भुज के दो आसन्न कोणों के माप बराबर हैं। समांतर चतुर्भुज के सभी कोणों की माप ज्ञात कीजिए।

हल

दिया गया है, एक समांतर चतुर्भुज के दो आसन्न कोणों के माप बराबर हैं।

तो दिये गये समांतर चतुर्भुज के सभी कोण = ?

हम जानते हैं कि एक वर्ग और आयत के आसन्न कोणों के माप बराबर होते हैं।

तथा एक वर्ग तथा आयत के प्रत्येक कोण = 90⁰ होते हैं।

तथा आयत और वर्ग एक समांतर चतुर्भुज होते हैं।

अत: दिये गये समांतर चतुर्भुज के प्रत्येक कोण = 90⁰ उत्तर

चतुर्भुजों को समझना एनसीईआरटी प्रश्नावली 3.3 का हल प्रश्न संख्या (7) संलग्न आकृति HOPE एक समांतर चतुर्भुज है। x, y और z कोणों की माप ज्ञात कीजिए।

हल

दिये गये चित्र HOPE, जो कि एक समांतर चतुर्भुज है में,

दिया गया है, ∠EHP = 40⁰

और, ∠ O = 70⁰

अत: x, y और z = ?

कोण EAP और कोण HPO में

दोनों कोण EAP और HPO अंत: एकांतर कोण के युग्म बनाते हैं तथा हम जानते हैं कि अंत: एकांतर कोण आपस में बराबर होते हैं।

अत:, ∠HPO = ∠EHP

⇒ y = 40⁰

∠HOP और 70⁰ में

दोनों ∠HOP और 70⁰ एक सरल रेखीय युग्म बनाते हैं, तथा सरल रेखीय कोणों के युग्म सम्पूरक कोण होते हैं।

अत:, ∠HOP + 70⁰ = 180⁰

⇒ ∠HOP = 180⁰ – 70⁰

⇒ ∠HOP = 110⁰

अब त्रिभुज HOP में

हम जानते हैं कि एक त्रिभुज के तीनों अंत: कोणों का योग = 180⁰

अत: z + ∠HOP + y = 180⁰

⇒ z + 110⁰ + 40⁰ = 180⁰

⇒ z + 150⁰ = 180⁰

⇒ z = 180⁰ – 150⁰

⇒ z = 30⁰

अब कोण PEH और कोण HOP में

कोण PEH और कोण HOP दिये गये समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण है, अत: आपस में बराबर हैं।

अत: ∠PEH = ∠HOP

⇒ x = 110⁰

अत:, x = 110⁰, y = 40⁰ and z = 30⁰ उत्तर

चतुर्भुजों को समझना एनसीईआरटी प्रश्नावली 3.3 का हल प्रश्न संख्या (8) निम्न आकृतियाँ GUNS और RUNS समांतर चतुर्भुज हैं। x तथा y ज्ञात कीजिए (लम्बाई cm में हैं।)

(i)

हल

दिये गये समांतर चतुर्भुज GUNS में दिया गया है

भुजा GU = 3y – 1

तथा भुजा SN = 26 cm

और, GS = 3x

और, UN = 18 cm

अत: x और y = ?

हम जानते हैं कि एक समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।

अत: दिए गये समांतर चतुर्भुज में,

भुजा GS = भुजा UN

⇒ 3x = 18 cm

cm

⇒ x = 6 cm

अब GU = भुजा SN

⇒ 3y – 1 = 26 cm

⇒ 3y = 26 + 1

⇒ 3y = 27 cm

cm

⇒ y = 9 cm

अत:, x = 6 cm और y = 9 cm उत्तर

(ii)

हल

दिये गये समांतर चतुर्भुज में मान लिया कि दोनों विकर्ण बिन्दु O पर मिलते हैं।

दिया गया है RUNS एक समांतर चतुर्भुज है और RN और SU उसके विकर्ण हैं।

तथा दिया गया है, OS = 20 cm

OU = y + 7

और, RO = 16 cm

और ON = x + y

अत: x और y = ?

हम जानते हैं कि एक समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं

दिये गये समांतर चतुर्भुज के विकर्ण SU में

OU = OS

[∵ O दोनों विकर्णों का कटान बिन्दु है अत: दोनों विकरण का मध्य बिन्दु है, चूँकि एक समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।]

⇒ y + 7 = 20

⇒ y = 20 – 7

⇒ y = 13 cm

अब विकर्ण RN में

ON = RO

[∵ O दोनों विकर्णों का कटान बिन्दु है अत: दोनों विकरण का मध्य बिन्दु है, चूँकि एक समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।]

⇒ x + y = 16

इस समीकरण में y = 13 cm रखने पर हम पाते हैं कि

x + 13 cm = 16 cm

⇒ x = 16 cm – 13 cm

⇒ x = 3 cm

अत: x = 3 cm और y = 13 cm उत्तर

चतुर्भुजों को समझना एनसीईआरटी प्रश्नावली 3.3 का हल प्रश्न संख्या (9)

दी गयी आकृति में RISK तथा CLUE दोनों समांतर चतुर्भुज हैं, x का मान ज्ञात कीजिए।

हल

मान लिया कि दिये गये चित्र में EC और IS बिन्दु O पर मिलते हैं।

अब समांतर चतुर्भुज RISK में

∠ RKE और ∠ ISK में

दोनों ∠ SKR और ∠ ISK दिये गये समांतर चतुर्भुज के आसन्न कोण हैं, अत: दोनों मिलकर सम्पूरक कोण बनाते हैं, अर्थात दोनों का योग = 180⁰

अत: ∠ SKR + ∠ ISK = 180⁰

⇒ 120⁰ + ∠ ISK = 180⁰

⇒ ∠ ISK = 180⁰ – 120⁰

⇒ ∠ ISK = 60⁰

अब समांतर चतुर्भुज CLUE में

∠ CLU और ∠ UEC में

दोनों ∠CLU और ∠UEC दिये गये समांतर चतुर्भुज CLUE के सम्मुख कोण हैं, अत: आपस में बराबर हैं। चूँकि समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण आपस में बराबर होते हैं।

अत: ∠ UEC = ∠ CLU

⇒ ∠ UEC = 70⁰

अब, त्रिभुज EOS में

हम जानते हैं कि एक त्रिभुज के तीनों अंत: कोणों का योग = 180⁰

अत: ∠ SEO + ∠ OSE + x = 180⁰

⇒ 70⁰ + 60⁰ + x = 180⁰

⇒ 130⁰ + x = 180⁰

⇒ x = 180⁰ – 130⁰

⇒ x = 50⁰ उत्तर

चतुर्भुजों को समझना एनसीईआरटी प्रश्नावली 3.3 का हल प्रश्न संख्या (10) बताइए कैसे यह आकृति एक समलम्ब है। इसकी कौन सी दो भुजाएँ समांतर हैं?

हल

दिये गये चतुर्भुज में,

दिया गय है, ∠ L = 80⁰

और ∠ M = 100⁰

अत: कौन कौन सी भुजाएँ समांतर हैं?

मान लिया कि भुजा NM और KL समांतर हैं

तथा इन समांतर रेखाओं को तिर्यक रेखा ML काटती है।

अब कोण LMN और कोण NMS में

∠ LMN और ∠ NMS एक सरल रेखीय युग्म बनाते हैं, तथा एक रैखिक युग्म के कोण संपूरक होते हैं। अर्थात दोनों कोणों की माप का योग =180^o

अत: ∠LMN + ∠ NMS = 180⁰

⇒ 100⁰ + ∠ NMS = 180⁰

⇒ ∠ NMS = 180⁰ – 100⁰

⇒ ∠ NMS = 80⁰

अब ∠ KLM और ∠ NMS में

चूँकि ∠ KLM = ∠ NMS = 80⁰

तथा हम जानते हैं कि दो रेखाओं से होकर जाने वाली तिर्यक रेखा के आसन्न कोण का युग्म यदि बराबर होते हैं तो रेखाएँ समांतर होती हैं।

यहाँ ∠ KLM और ∠ NMS आसन्न कोण का युग्म बनाती हैं तथा आपस में बराबर हैं, अत: रेखा KL और NM समांतर हैं।

अत: दिये गये समलम्ब चतुर्भुज में भुजा KL और भुजा NM समांतर हैं।उत्तर

चतुर्भुजों को समझना एनसीईआरटी प्रश्नावली 3.3 का हल प्रश्न संख्या (11) आकृति में m∠C ज्ञात कीजिए यदि .

हल

दिये गये चतुर्भुज ABCD में

दिया गय है, AB||DC

और ∠ B = 120⁰

अत: ∠C = ?

दिये गये चतुर्भुज में ∠B और ∠C आसन्न कोण के युग्म हैं।

तथा हम जानते हैं कि एक चतुर्भुज के आसन्न कोणों का योग = 180⁰

अत: ∠ B + ∠ C = 180⁰

⇒ 120⁰ + ∠ C = 180⁰

⇒ ∠ C = 180⁰ – 120⁰

⇒ ∠ C = 60⁰

अत: m∠C = 60⁰ उत्तर

चतुर्भुजों को समझना एनसीईआरटी प्रश्नावली 3.3 का हल प्रश्न संख्या (12) आकृति में ∠P तथा ∠S की माप ज्ञात कीजिए यदि है। (यदि आप m∠R ज्ञात करते हैं तो क्या m∠P ज्ञात करने की एक से अधिक विधि है?)

हल

दिया गया है, in the given quadrilateral PQRS

और ∠Q = 130⁰

और ∠R = 90⁰

अत: ∠ P और ∠ S = ?

हम जानते हैं कि एक चतुर्भुज के दो आसन्न कोण सम्पूरक होते हैं, अर्थात किसी चतुर्भुज के दो आसन्न कोणों का योग = 180⁰ होता है।

अत: ∠Q + ∠P = 180⁰

⇒ 130⁰ + ∠P = 180⁰

⇒ ∠P = 180⁰ – 130⁰

⇒ ∠P = 50⁰

उसी प्रकार ∠R और ∠S दिये गये चतुर्भुज के आसन्न कोण हैं, अत: उनका योग = 180⁰ है।

अत: ∠R + ∠S = 180⁰

⇒ 90⁰ + ∠S = 180⁰

⇒ ∠S = 180⁰ – 90⁰

⇒ ∠S = 90⁰

m∠P को ज्ञात करने की दूसरी विधि

दिये गये समलम्ब चतुर्भुज में

∠Q = 130⁰

और ∠R = 90⁰

अब चूँकि ∠R और ∠S मिलकर एक रैखिक युग्म बनाते हैं, तथा एक रैखिक युग्म के कोण संपूरक होते हैं। अर्थात दोनों कोणों की माप का योग =180^o

अत: ∠S = 90⁰

अब हम जानते हैं कि एक चतुर्भुज के चारों अंत: कोणों का योग = 360⁰

अत: दिये गये चतुर्भुज में

∠P + ∠Q + ∠R + ∠S = 360⁰

⇒ ∠P + 130⁰ + 90⁰ + 90⁰ = 360⁰

⇒ ∠P + 310⁰ = 360⁰

⇒ ∠P = 360⁰ – 310⁰

⇒ ∠P = 50⁰

अत: m∠P = 50⁰ उत्तर