चतुर्भुजों को समझना - आठवीं गणित

चतुर्भुजों को समझना एनसीईआरटी प्रश्नावली 3.4 का हल प्रश्न संख्या (1) बताइए, कथन सत्य है या असत्य

(a) सभी आयत वर्ग होते हैं।

उत्तर असत्य

ब्याख्या एक वर्ग के सभी भुजाएँ बराबर होती हैं जबकि आयत की आमने सामने की भुजाएँ बराबर होती हैं।

अत: सभी आयत वर्ग नहीं होते हैं अत: दिया गया कथन असत्य है।

(b) सभी सम चतुर्भुज समांतर चतुर्भुज होते हैं।

उत्तर सही

ब्याख्या एक सम चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ समांतर और आपस में बराबर होती हैं, तथा उसके विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। जबकि एक समांतर चतुर्भुज में सम्मुख भुजाएँ समांतर और आपस में बराबर होती हैं, तथा उसके विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। अर्थात एक सम चतुर्भुज में समांतर चतुर्भुज के सभी गुण होते हैं।

अत: सभी सम चतुर्भुज समांतर चतुर्भुज होते हैं। अत: दिया गया कथन सही है।

(c) सभी वर्ग सम चतुर्भुज और आयत भी होते हैं।

उत्तर सही

ब्याख्या

एक सम चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ समांतर और आपस में बराबर होती हैं, तथा उसके विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। एक वर्ग की सभी समांतर और आपस में बराबर होती हैं, तथा उसके विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं तथा एक दूसरे पर लम्ब होते हैं। जबकि एक आयत की सम्मुख भुजाएँ बराबर और समांतर होती हैं तथा विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं और एक दूसरे पर लम्ब होते हैं।

अत: सभी वर्ग सम चतुर्भुज और आयत भी होते हैं। अत: दिया गया कथन सही है।

(d) सभी वर्ग समांतर चतुर्भुज नहीं होते हैं।

उत्तर असत्य

ब्याख्या

एक वर्ग की सभी समांतर और आपस में बराबर होती हैं, तथा उसके विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं तथा एक दूसरे पर लम्ब होते हैं। जबकि एक समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ समांतर होती हैं और विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। एक वर्ग में समांतर चतुर्भुज के सारे गुण होते हैं।

अत: सभी वर्ग समांतर चतुर्भुज होते हैं। अत: दिया गया कथन कि सभी वर्ग समांतर चतुर्भुज नहीं होते हैं, असत्य है।

(e) सभी पतंगें सम चतुर्भुज होती हैं।

उत्तर गलत

ब्याख्या

एक सम चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ समांतर और आपस में बराबर होती हैं, तथा उसके विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। जबकि एक पतंग में दो आसन्न भुजाओं के युग्म बराबर होते हैं तथा विकर्ण एक दूसरे पर लम्ब होते हैं तथा केवल एक विकर्ण दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।

अत: सभी पतंगें सम चतुर्भुज नहीं होती हैं। अत: दिया गया कथन कि सभी पतंगे सम चतुर्भुज होती हैं, असत्य है।

(f) सभी सम चतुर्भुज पतंग होते हैं।

उत्तर True.

ब्याख्या

एक सम चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ समांतर और आपस में बराबर होती हैं, तथा उसके विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। जबकि एक पतंग में दो आसन्न भुजाओं के युग्म बराबर होते हैं तथा विकर्ण एक दूसरे पर लम्ब होते हैं तथा केवल एक विकर्ण दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। अर्थात एक सम चतुर्भुज में पतंग के सारे गुण होते हैं।

अत: सभी सम चतुर्भुज पतंग होते हैं। अत: दिया गया कथन सत्य है।

(g) सभी समांतर चतुर्भुज समलम्ब होते हैं।

उत्तर सत्य

ब्याख्या

एक समलम्ब चतुर्भुज में कम से कम भुजाओं का एक युग्म समांतर होते हैं। जबकि एक समांतर चतुर्भुज में आमने सामने की भुजाएँ समांतर होती हैं।

अत: सभी समांतर चतुर्भुज समलम्ब होते हैं, सत्य है।

अत: दिया गया कथन सही है।

(h) सभी वर्ग समलम्ब होते हैं।

उत्तर सत्य

ब्याख्या

एक समलम्ब चतुर्भुज में कम से कम भुजाओं का एक युग्म समांतर होते हैं। जबकि एक वर्ग में आमने सामने की भुजाएँ समांतर होती हैं।

अत: सभी वर्ग समलम्ब होते हैं, सत्य है।

अत: दिया गया कथन सही है।

चतुर्भुजों को समझना एनसीईआरटी प्रश्नावली 3.4 का हल प्रश्न संख्या (2) उन सभी चतुर्भुजों की पहचान कीजिए जिनमें

(a) चारों भुजाएँ बराबर लम्बाई की हों।

उत्तर वर्ग तथा सम चतुर्भुज

(b) चार समकोण हों

उत्तर वर्ग और आयत

चतुर्भुजों को समझना एनसीईआरटी प्रश्नावली 3.4 का हल प्रश्न संख्या (3) बताइए कैसे एक वर्ग

(i) एक चतुर्भुज है।

उत्तर

एक चतुर्भुज में चार भुजाएँ होती हैं, तथा एक वर्ग में भी चार भुजाएँ होती हैं। अत: वर्ग एक चतुर्भुज है।

(ii) एक समांतर चतुर्भुज है।

उत्तर

एक समांतर चतुर्भुज की आमने सामने की भुजाएँ समांतर होती हैं तथा विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। एक वर्ग की भी आमने सामने की भुजाएँ समांतर होती हैं तथा विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।

अत: वर्ग एक समांतर चतुर्भुज है।

(iii) एक सम चतुर्भुज है।

एक सम चतुर्भुज की सभी भुजाएँ आपस में बराबर होती हैं, और विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते तथा एक दूसरे पर लम्ब होते हैं। एक वर्ग की भी सभी भुजाएँ आपस में बराबर होती हैं, विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते तथा एक दूसरे पर लम्ब होते हैं।

अत: एक वर्ग एक समचतुर्भुज है।

(iv) एक आयत है।

एक आयत की आमने सामने की भुजाएँ आपस में बराबर होती हैं, विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं, एक दूसरे पर लम्ब होते हैं तथा विकर्ण आपस में बराबर होते हैं। एक वर्ग की आमने सामने की भुजाएँ आपस में बराबर होती हैं, विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं, एक दूसरे पर लम्ब होते हैं तथा विकर्ण आपस में बराबर होते हैं।

अत: यह कहा जा सकता है कि एक वर्ग एक आयत है।

चतुर्भुजों को समझना एनसीईआरटी प्रश्नावली 3.4 का हल प्रश्न संख्या (4) एक चतुर्भुज का नाम बताइए जिसके विकर्ण

(i) एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।

उत्तर एक वर्ग, एक आयत और एक सम चतुर्भुज।

(ii) एक दूसरे पर लम्ब समद्विभाजक हो।

उत्तर एक वर्ग, एक आयत और एक सम चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे पर लम्ब समद्विभाजक होते हैं।

(iii) बराबर हों।

उत्तर एक वर्ग और एक आयत। चूँकि एक वर्ग और एक आयत के विकर्ण आपस में बराबर होते हैं।

चतुर्भुजों को समझना एनसीईआरटी प्रश्नावली 3.4 का हल प्रश्न संख्या (5) बताइए एक आयत उत्तल चतुर्भुज कैसे है।

उत्तर

एक चतुर्भुज जिसके दोनों विकर्ण अभ्यंतर अर्थात चतुर्भुज के अंदर स्थित हों, उत्तल चतुर्भुज कहलाता है। चूँकि एक आयत के दोनों विकर्ण उसके अभ्यंतर में अर्थात आयत के अंदर स्थित होता है, अत: एक आयत एक उत्तल चतुर्भुज है।

चतुर्भुजों को समझना एनसीईआरटी प्रश्नावली 3.4 का हल प्रश्न संख्या (6) ABC एक समकोण त्रिभुज है और O समकोण की सम्मुख भुजा का मध्य बिन्दु है। बताइए कैसे O बिन्दु A, B तथा C से समान दूरी पर स्थित है। (बिन्दुओं से चिन्हित अतिरिक्त भुजाएँ आपकी सहायता के लिए खींची गयी हैं।)

हल

दिया गया है, ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें

बिन्दु O समकोण की सम्मुख भुजा का मध्य बिन्दु है।

अत: सिद्ध करना है कि O बिन्दु A, B और C से समान दूरी पर स्थित है।

अर्थात सिद्ध करना है कि OA = OB = OB

बनाबट

एक रेखा AB रेखा BC के समांतर खींचा गया।

तथा रेखा DC रेखा AB के समांतर खींचा गया।

और रेखा BO को D तक बढ़ाया गया।

प्रमाण

अब चूँकि

और,

अब चूँकि, AD||BC और DC||AB

अत:, &8736;B = ∠D = ∠A = ∠C

अत:, ABCD एक आयत है।

तथा AC और BD इस आयत ABCD के विकर्ण हैं।

अत: दोनों विकर्ण AC और BD एक दूसरे पर लम्ब हैं तथा एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।

अत: AO = OC = BO = OD

अत: O बिन्दु A, B और C से समान दूरी पर स्थित हैं। प्रमाणित