एक चर वाले रैखिक समीकरण - आठवीं गणित

Question प्रश्न संख्या (1) यदि आपको किसी संख्या से घटाने और परिणाम को से गुणा करने पर प्राप्त होता है तो वह संख्या क्या है?

हल:

मान लिया कि वांछित संख्या n है।

अब प्रश्न के अनुसार

अब दोनों तरफ 1/2 से भाग देने पर हम पाते हैं कि

अब – 1/2 को दायाँ पक्ष में ले जाने पर हम पाते हैं कि,

अत: वांछित संख्या = 3/4 उत्तर

वैकल्पिक विधि

मान लिया कि वांछित संख्या n है।

अब प्रश्न के अनुसार

अब 1/2 को दायाँ पक्ष में ले जाने पर हम पाते हैं कि,

अब – 1/2 को दायाँ पक्ष में ले जाने पर हम पाते हैं कि,

अत: वांछित संख्या = 3/4 उत्तर

प्रश्न संख्या (2) एक आयताकार तरण ताल (swimming pool) की लम्बाई उसकी चौड़ाई के दुगुने से 2 मीटर अधिक है। यदि इसका परिमाप 154 मीटर है तो इसकी लम्बाई व चौड़ाई ज्ञात कीजिए।

हल:

दिया गया है, आयताकार तरण ताल का परिमाप = 154 m

तथा उसकी लम्बाई = उसकी चौड़ाई से 2 मीटर अधिक

मान लिया कि दिये गये तरण ताल की चौड़ाई = b मीटर

∴ अत: प्रश्न के अनुसार दिये गये तरण ताल की लम्बाई = 2 b m + 2 m

अत: दिये गये तरण ताल की लम्बाई और चौड़ाई = ?

हम जानते हैं कि एक आयत का परिमाप = 2 (लम्बाई + चौड़ाई)

∴ 154 = 2 [ (2b + 2) + b ]

⇒ 154 = 2(2 b + 2 + b )

⇒ 154 = 2 (3 b + 2 )

⇒ 154 = 6 b + 4

दोनों पक्षों से 4 को घटाने पर हम पाते हैं कि

⇒ 154 – 4 = 6 b + 4 – 4

⇒ 150 = 6 b

अब दोनों पक्षों में 6 से भाग देने पर हम पाते हैं कि

⇒ 25 = b

अत: चौड़ाई (b) = 25 m

अब चूँकि लम्बाई = 2 b + 2

अत: उपर के व्यंजक में चौड़ाई (b) का मान रखने पर हम पाते हैं कि

2 × 25 + 2 m = 50 + 2 = 52 m

अत: दिये गये तरण ताला की लम्बाई = 52 m और उसकी चौड़ाई = 25 m उत्तर

प्रश्न संख्या (3) एक समद्विबाहु त्रिभुज का आधार 4/3 cm तथा उसका परिमाप cm है। उसकी दो बराबर भुजाओं की माप ज्ञात कीजिए।

हल:

दिया गया है,

एक समद्विबाहु त्रिभुज का आधार = 4/3 cm

तथा उस समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप cm है।

अत: उसकी दो बराबर भुजाओं की माप = ?

हम जानते हैं कि एक समद्विबाहु त्रिभुज की दो भुजाएँ बराबर होती हैं।

अब हम जानते हैं कि,

समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप = उसकी दो बराबर भुजाओं की माप का योग + तीसरी भुजा की माप

मान लिया कि दी गयी समद्विबाहु त्रिभुज की बराबर वाली भुजा = a

तथा उसकी तीसरी भुजा = b

अत: दी गयी समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप = 2a + b

अत:

अब 4/3 को दायें पक्ष में ले जाने पर हम पाते हैं कि

अब 2 को दायें पक्ष में ले जाने पर हम पाते हैं कि

अत: दिये गये समद्विबाहु त्रिभुज के बराबर भुजाओं में प्रत्येक की माप = 7/5 cm उत्तर

प्रश्न संख्या (4) दो संख्याओं का योग 95 है। यदि एक संख्या दूसरी से 15 अधिक है तो दोनों संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

हल:

दिया गया है, दो संख्याओं का योग = 95

तथा एक संख्या दूसरी से 15 अधिक है।

अत: दोनों संख्याएँ = ?

मान लिया कि एक संख्या = a

अत: प्रश्न के अनुसार दूसरी संख्या = a + 15

अब जैसा कि प्रश्न में दिया गया है, दोनों संख्याओं का योग = 95

अत:,

a + a + 15 = 95

⇒ 2a + 15 = 95

अब 15 को दायाँ पक्ष में ले जाने पर

⇒ 2a = 95 – 15

⇒ 2 a = 80

अब दोनों पक्षों में 2 से भाग देने पर हम पाते हैं कि

⇒ a = 40

अब चूँकि दूसरी संख्या = a + 15

अत: a का मान रखने पर हम पाते हैं कि

दूसरी संख्या = 40 + 15 = 55

अत: पहली संख्या = 40 और दूसरी संख्या = 55 उत्तर

प्रश्न संख्या (5) दो संख्याओं में अनुपात 5:3 है। यदि उनमें अंतर 18 है तो संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

हल:

दिया गया है, दो संख्याओं का अनुपात = 5:3

तथा उनमें अंतर = 18

अत: संख्याएँ = ?

मान लिया कि एक संख्या = 5x

तथा दूसरी संख्या = 3x

अब प्रश्न के अनुसार, 5x – 3x = 18

⇒ 2x = 18

दोनों पक्षों में 2 से भाग देने पर हम पाते हैं कि

⇒ x = 9

अब चूँकि पहली संख्या = 5 x

अत: x = 9 रखने पर हम पाते हैं कि

पहली संख्या = 5 × 9 = 45

अत: पहली संख्या = 45

और दूसरी संख्या = 3 x

अत: x = 9 रखने पर हम पाते हैं कि

दूसरी संख्या = 3 × 9

अत: दूसरी संख्या = 27

अत: वांछित दोनों संख्याएँ क्रमश: 45 और 27 हैं। उत्तर

प्रश्न संख्या (6) तीन लगातार पूर्णांकों का योग 51 है। पूर्णांक ज्ञात कीजिए।

हल:

दिया गया है, तीन लगातार पूर्णांकों का योग = 51

अत: तीनों पूर्णांक = ?

मान लिया कि पहला पूर्णांक = a

अत: दूसरा लगातार पूर्णांक = a + 1

उसी प्रकार तीसरा लगातार पूर्णांक = a + 2

अब चूँकि प्रश्न के अनुसार तीनों पूर्णांकों का योग = 51

अत:,

a + (a +1) + (a + 2) = 51

⇒ a + a + 1 + a + 2 = 51

उपर के ब्यंजक को पुनर्व्यवस्थित करने पर

⇒ a + a + a + 1 + 2 = 51

⇒ 3a + 1 + 2 = 51

⇒ 3a + 3 = 51

अब 3 को दायाँ पक्ष में ले जाने पर हम पाते हैं कि

3a = 51 – 3

⇒ 3a = 48

अब दोनों पक्षों में 3 से भाग देने पर हम पाते हैं कि

⇒ a =16

अत: पहला पूर्णांक = 16

अत: दो अगले लगातार पूर्णांक

= 16 + 1 = 17 और 17 + 1 = 18

अत: तीनों वांछित पूर्णांक क्रमश: 16, 17 और 18 हैं। उत्तर