एक चर वाले रैखिक समीकरण - आठवीं गणित

प्रश्न संख्या (7) 8 के तीन लगातार गुणजों का योग 888 है। गुणजों को ज्ञात कीजिए।

हल:

मान लिया कि 8 का प्रथम गुणज = 8a

अत: 8 का दूसरा गुणज = 8 ( a + 1)

उसी प्रकार 8 का तीसरा गुणज = 8 ( a + 2 )

जैसा कि प्रश्न में दिया गया है, 8 के तीन लगातार गुणजों का योग = 888

अत:,

8a + [8 (a + 1)] + [8 (a + 2)] = 888

⇒ 8a + (8a + 8) + (8a + 16) = 888

⇒ 8a + 8a + 8 + 8a + 16 = 888

ऊपर के ब्यंजक को पुनर्व्यवस्थित करने पर

⇒ 8a + 8a + 8a + 8 + 16 = 888

⇒ 24a + 24 = 888

24 को दायाँ पक्ष (RHS) में ले जाने पर हम पाते हैं कि

⇒ 24a = 888 – 24

⇒ 24a = 864

ऊपर के ब्यंजक में दोनों ओर 24 से भाग देने पर हम पाते हैं कि

अब चूँकि 8 का प्रथम गुणज = 8a

अत: 8 का प्रथम गुणज = 8 × 36= 288

[a = 36 को रखने पर]

तथा 8 का दूसरा गुणज = 8(a + 1)

अत: 8 का दूसरा गुणज = 8 (36 + 1)

[ऊपर के ब्यंजक में a = 36 रखने पर]

= 8 × 37 = 296

तथा 8 का तीसरा गुणज = 8 (a + 2)

[ऊपर के ब्यंजक में a = 36 रखने पर]

अत: 8 का तीसरा गुणज = 8 ( 36 + 3)

= 8 × 39 = 304

अत: 8 का लगातार तीन गुणज = 288, 296 और 304 उत्तर

प्रश्न संख्या (8) तीन लगातार पूर्णांक बढ़ते क्रम में लेकर उन्हें क्रमश: 2, 3 तथा 4 से गुणा कर योग करने पर योगफल 74 प्राप्त होता है। तीनों पूर्णांक ज्ञात कीजिए।

हल

मान लिया कि पहला पूर्णांक = a

अत: दूसरा लगातार पूर्णांक = a + 1

तथा उसी प्रकार तीसरा लगातार पूर्णांक = a + 2

अब प्रश्न के अनुसार

(पहला पूर्णांक × 2) + (दूसरा लगातार पूर्णांक × 3) + (तीसरा लगातार पूर्णांक × 4) = 74

⇒ (a × 02)+[(a+1) × 3]+[(a+2) × 4]=74

⇒ 2a + (3a + 3) + (4a + 8) = 74

⇒ 2 a + 3 a + 3 + 4 a + 8 = 74

ऊपर के ब्यंजक को पुनर्व्यवस्थित करने पर

⇒ 2 a + 3 a + 4 a + 3 + 8 = 74

⇒ 9 a + 11 = 74

ऊपर के ब्यंजक में 11 को दायाँ पक्ष (RHS) में ले जाने पर

9 a = 74 – 11

⇒ 9 a = 63

ऊपर के ब्यंजक में 9 को दायाँ पक्ष (RHS) में ले जाने पर

⇒ a = 7

अत: पहला पूर्णांक, a = 7

अब बाकी दो लगातार पूर्णांकों में a = 7 रखने पर हम पाते हैं कि

दूसरा लगातार पूर्णांक

= a + 1 = 7 + 1 = 8

तथा तीसरा लगातार पूर्णांक

= a + 2 = 7 + 2 = 9

अत: वांछित तीन लगातार पूर्णांक = 7, 8 और 9 उत्तर

प्रश्न संख्या (9) राहुल और हारून की वर्तमान आयु में अनुपात 5:7 है। 4 वर्ष बाद उनकी आयु का योग 56 वर्ष हो जायेगा। उनकी वर्तमान आयु क्या है?

हल:

दिया गया है, राहुल और हारून की वर्तमान आयु का अनुपात = 5:7

अत: मान लिया कि राहुल की वर्तमान आयु = 5 x

और हारून की वर्तमान आयु = 7 x

अब चार वर्ष के बाद

राहुल की आयु = 5 x + 4

और हारून की आयु = 7 x + 4

अब प्रश्न के अनुसार, 4 वर्षों के बाद राहुल और हारून की आयु का योग = 56 वर्ष

अत:, (5 x + 4) + (7 x + 4) = 56

⇒ 5 x + 7 x + 4 + 4 = 56

⇒ 12 x + 8 = 56

ऊपर के ब्यंजक में 8 को दायाँ पक्ष में ले जाने पर

⇒ 12 x = 56 – 8

⇒ 12 x = 48

ऊपर के ब्यंजक में 12 को दायाँ पक्ष (RHS) में ले जाने पर

⇒ x = 4

अब राहुल और हारून के माने गये आयु में x = 4 रखने पर उनकी वर्तमान आयु ज्ञात की जा सकती है।

अत: राहुल की आयु

= 5 x = 5 × 4 = 20 वर्ष

और हारून की आयु

= 7 x = 7 × 4 = 28 वर्ष

अत: राहुल की आयु = 20 वर्ष और हारून की आयु = 28 वर्ष। उत्तर

प्रश्न संख्या (10) किसी कक्षा में बालक और बालिकाओं की संख्याओं का अनुपात 7:5 है। यदि बालकों की संख्या बालिकाओं की संख्या से 8 अधिक है तो कक्षा में कुल कितने विद्यार्थी हैं?

हल:

दिया गया है बालक और बालिकाओं की संख्या का अनुपात = 7:5

और, बालक की संख्या = बालिकाओं की संख्या + 8

अत: कक्षा में कुल विद्यार्थियों की संख्या = ?

चूँकि प्रश्न के अनुसार बालक की संख्या : बालिकाओं की संख्या = 7:5

अत: मान लिया कि बालकों की संख्या = 7 x

और बालिकाओं की संख्या = 5 x

प्रश्न के अनुसार बालक की संख्या बालिकाओं की संख्या से 8 अधिक है। इसका अर्थ है कि बालिकाओं की संख्या बालकों की संख्या से 8 कम है।

अब चूँकि बालक की संख्या = 7x

अत: प्रश्न के अनुसार, बालिकाओं की संख्या = 7x – 8

⇒ 5x = 7x – 8

ऊपर के ब्यंजक को पुनर्व्यवस्थित करने पर

⇒ 7x – 8 = 5x

अब –8 को दायाँ पक्ष (RHS) में ले जाने पर

⇒ 7 x = 5x + 8

ऊपर के ब्यंजक में 5x को बायाँ पक्ष (LHS) में ले जाने पर

⇒ 7 x – 5 x = 8

⇒ 2 x = 8

2 को दायाँ पक्ष (RHS) में ले जाने पर

⇒

⇒ x = 4

अब चूँकि लड़कों की संख्या = 7 x

अत: x का मान रखने पर हम पाते हैं कि

अत: बालकों की संख्या = 7 × 4 = 28

अब चूँकि बालिकाओं की संख्या = बालकों की संख्या – 8

अत: बालिकाओं की संख्या = 28 – 8 = 20

अत: कक्षा में विद्यार्थियों की कुल संख्या = लड़कों की संख्या + लड़कियों की संख्या

= 28 + 20 = 48

अत: कक्षा में विद्यार्थियों की कुल संख्या = 48 उत्तर

प्रश्न संख्या (11) बाइचुंग के पिताजी उसके दादाजी से 26 वर्ष छोटे हैं और उससे 29 वर्ष बड़े हैं। यदि उन तीनों की आयु का योग 135 वर्ष है तो उनकी आयु अलग अलग ज्ञात कीजिए।

हल:

दिया गया है, बाइचुंग के पिता की आयु = बाइचुंग की आयु + 29

और बाइचुंग के दादाजी की आयु = बाइचुंग के पिता की आयु + 26

तथा सभी तीनों की आयु का योग = 135 वर्ष

अत: सभी की अलग अलग आयु = ?

मान लिया कि बाइचुंग की आयु = b वर्ष

अत: बाइचुंग के पिता की आयु = बाइचुंग की आयु + 29

⇒ बाइचुंग के पिता की आयु = b + 29

और बाइचुंग के दादाजी की आयु = बाइचुंग के पिता की आयु + 26

अत: बाइचुंग के दादाजी की आयु = (b + 29) + 26

अब चूँकि प्रश्न के अनुसार तीनों की आयु का योग = 135 वर्ष

⇒ b + (b+29) + [(b + 29) + 26] = 135

⇒ b + b + 29 + b + 29 + 26 = 135

ऊपर के ब्यंजक को पुनर्व्यवस्थित करने पर

⇒ b + b + b + 29 + 29 + 26 = 135

⇒ 3 b + 84 = 135

ऊपर के ब्यंजक में 84 को दायाँ पक्ष (RHS) में ले जाने पर हम पाते हैं कि

3 b = 135 – 84

⇒ 3 b = 51

ऊपर के ब्यंजक में 3 को दायाँ पक्ष (RHS) में ले जाने पर हम पाते हैं कि

b = 51/3 = 17

अत: बाइचुंग की आयु = 17 वर्ष

अब चूँकि बाइचुंग के पिता की आयु = b + 29

अत: b = 17 रखने पर हम पाते हैं कि

बाइचुंग के पिता की आयु = 17 + 29 = 46 वर्ष

अब चूँकि बाइचुंग के दादाजी की आयु = [(b + 29) + 26]

अत: b = 17 रखने पर हम पाते हैं कि

बाइचुंग के दादाजी की आयु = [(17 + 29) + 26]

⇒ बाइचुंग के दादाजी की आयु = 46 + 26

⇒ बाइचुंग के दादाजी की आयु = 72 years

अतएव, बाइचुंग, उसके पिताजी और उसके दादाजी की आयु क्रमश: 17 वर्ष, 46 वर्ष और 72 वर्ष है। उत्तर