एक चर वाले रैखिक समीकरण - आठवीं गणित

प्रश्न संख्या (12) 15 वर्ष बाद रवि की आयु, उसकी वर्तमान आयु से चार गुनी हो जाएगी। रवि की वर्तमान आयु क्या है?

हल:

दिया गया है, आज से 15 वर्ष बाद रवि की आयु = रवि की वर्तमान आयु × 4

अतएव, रवि की वर्तमान आयु = ?

मान लिया कि रवि की वर्तमान आयु = a वर्ष

अत: 15 वर्ष बाद रवि की आयु = a + 15 वर्ष

अब चूँकि प्रश्न के अनुसार 15 वर्ष बाद रवि की आयु = a × 4

अत: रवि की वर्तमान आयु + 15 = a × 4

⇒ a + 15 = a × 4

ऊपर के ब्यंजक को पुनर्व्यवस्थित करने पर हम पाते हैं कि

⇒ 4 a = a + 15

a को बायाँ पक्ष (LHS) में स्थानांतरित करने पर हम पाते हैं कि

⇒ 4 a – a = 15

⇒ 3 a = 15

3 को दायाँ पक्ष (RHS) में स्थानांतरित करने पर हम पाते हैं कि

⇒ a = 15/3 = 5

अत: रवि की वर्तमान आयु = 5 वर्ष उत्तर

प्रश्न संख्या (13) एक परिमेय संख्या को 5/2 से गुणा कर 2/3 जोड़ने पर प्राप्त होता है। वह संख्या क्या है?

हल: मान लिया कि = a/b

प्रश्न के अनुसार

2/3 को दायाँ पक्ष (RHS) में स्थानांतरित करने पर हम पाते हैं कि

5/2 को दायाँ पक्ष (RHS) में स्थानांतरित करने पर हम पाते हैं कि

अत: वांछित परिमेय संख्या = –1/2 उत्तर

प्रश्न संख्या (14) लक्ष्मी एक बैंक में खजांची है। उसके पास ₹100, ₹50 व ₹10 वाले नोट हैं। उनकी संख्याओं में क्रमश: 2:3:5 का अनुपात है और उनका कुल मूल्य ₹4,00,000 है। उसके पास प्रत्येक प्रकार के कितने कितने नोट हैं?

हल:

दिया गया है, खजांची के पास नोट के प्रकार = ₹ 100, ₹ 50 और ₹ 10

तथा इन नोटों का अनुपात = 2:3:5

तथा नोट का कुल मूल्य = ₹ 400000

अत: प्रत्येक प्रकार के नोट की अलग अलग संख्या = ?

चूँकि खजांची के पास ₹ 100, ₹ 50 और ₹ 10 के नोट का अनुपात = 2:3:5

अत: मान लिया कि ₹ 100 वाले नोट की संख्या =2x

अत: ₹ 100 वाले नोट का मूल्य= 2 × 100 = 200 x

तथा ₹ 50 वाले नोट की संख्या =3x

अत: ₹ 20 वाले नोट का मूल्य = 3 × 50 = 150 x

तथा ₹ 10 वाले नोट की संख्या =5x

अत: ₹ 10 वाले नोट का मूल्य = 5 × 10 = 50 x

अब चूँकि प्रश्न के अनुसार नोट का कुल मूल्य = ₹ 400000

अत: स्पष्ट: ₹ 200 x + ₹ 150 x + ₹ 50 x = ₹ 400000

⇒ ₹ 400 x = ₹ 400000

400 को दायाँ पक्ष (RHS) में स्थानांतरित करने पर हम पाते हैं कि

x = ₹ 400000/₹ 400

⇒ x =1000

विभिन्न प्रकार के नोट की संख्या की गणना

चूँकि ₹ 100 वाले नोट की संख्या = 2 x

⇒ ₹ 100 वाले नोट की संख्या = 2 × 1000 = 2000

पुन: चूँकि ₹ 50 वाले नोट की संख्या = 3 x

⇒ ₹ 50 वाले नोट की संख्या = 3 × 1000 = 3000

उसी प्रकार चूँकि ₹ 10 वाले नोट की संख्या = 5 x

⇒ ₹ 10 वाले नोट की संख्या = 5 × 1000 = 5000

अत: ₹ 100 वाले नोट की संख्या = 2000, ₹ 50 वाले नोट की संख्या = 3000 और ₹ 10 वाले नोट की संख्या = 5000 उत्तर

प्रश्न संख्या (15) मेरे पास ₹300 मूल्य के ₹1, ₹ 2 और ₹ 5 वाले सिक्के हैं। ₹2 वाले सिक्कों की संख्या ₹5 वाले सिक्कों की संख्या की तिगुनी है और सिक्कों की कुल संख्या 160 है। मेरे पास प्रत्येक प्रकार के कितने कितने सिक्के हैं?

हल:

दिया गया है, सिक्कों का कुल मूल्य = Rs 300

सिक्कों के प्रकार = ₹1 , ₹ 2 और ₹ 5

सिक्कों की कुल संख्या = 160

₹ 2 वाले सिक्कों की संख्या = 3 × ₹ 5 वाले सिक्कों की संख्या

अत: प्रत्येक प्रकार के सिक्कों की अलग अलग संख्या = ?

मान लिया कि ₹ 5 वाले सिक्कों की संख्या = a

अब चूँकि ₹ 2 वाले सिक्कों की संख्या = 3 × ₹ 5 के सिक्कों की संख्या

अत: ₹ 2 वाले सिक्कों की संख्या = 3 × a = 3 a

अब चूँकि प्रश्न के अनुसार, सिक्कों की कुल संख्या = 160

अत: ₹ 1 के सिक्कों की संख्या = सिक्कों की कुल संख्या – (₹ 2 के सिक्कों की संख्या + ₹ 5 के सिक्कों की संख्या)

⇒ ₹ 1 के सिक्कों की संख्या = 160 – (3a + a)

⇒ ₹ 1 के सिक्कों की संख्या = 160 – 4a

अब जैसा कि प्रश्न में दिया गया है, सिक्कों का कुल मूल्य = ₹300

अत:, (₹ 1 × ₹ 1 वाले सिक्कों की संख्या) + (₹ 2 × ₹ 2 वाले सिक्कों की संख्या) + (₹ 5 × ₹ 5 वाले सिक्कों की संख्या) = ₹ 300

⇒ [1 × (160 – 4 a)] + (2 × 3 a) + (5 × a) = ₹ 300

⇒ 160 – 4 a + 6 a + 5 a = ₹ 300

⇒ 160 – 4 a + 11 a = 300

⇒ 160 – 7 a = 300

160 को दायाँ पक्ष (RHS) में स्थानांतरित करने पर हम पाते हैं कि

⇒ 7 a = 300 – 160

⇒ 7 a = 140

7 को दायाँ पक्ष (RHS) में स्थानांतरित करने पर हम पाते हैं कि

a = 140/7

⇒ a = 20

अत: ₹1 वाले सिक्कों की संख्या = 160 – 4 a

अब a = 20 को प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं कि

₹ 1 वाले सिक्कों की संख्या = 160 – (4 × 20)

= 160 – 80 = 80

अत: ₹ 1 वाले सिक्कों की संख्या = 80

अब चूँकि ₹ 2 वाले सिक्कों की संख्या = 3 a

ऊपर के ब्यंजक में a = 20 प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं कि

₹ 1 वाले सिक्कों की संख्या = 3 × 20 = 60

अब चूँकि ₹ 5 वाले सिक्कों की संख्या = a

a = 20 को प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं कि

₹ 5 वाले सिक्कों की संख्या = 20

अत: ₹ 1 वाले सिक्कों की संख्या = 80, ₹ 2 वाले सिक्कों की संख्या = 60, और ₹ 5 वाले सिक्कों की संख्या = 20 उत्तर

प्रश्न संख्या (16) एक निबंध प्रतियोगिता में आयोजकों ने तय किया कि प्रत्येक विजेता को ₹100 और विजेता को छोड़कर प्रत्येक प्रतिभागी को ₹25 पुरस्कार के रूप में दिए जाएँगे। यदि पुरस्कारों में बाँटी गयी राशि ₹3,000 थी तो कुल 63 प्रतिभागियों में विजेताओं की संख्या ज्ञात कीजिए।

हल:

दिया गया है, प्रतिभागियों की कुल संख्या = 63

पुरस्कार के रूप में बाँटी गयी कुल राशि = ₹3000

और प्रत्येक विजेता को दिया गया पुरस्कार की राशि = ₹100

तथा विजेता को छोड़कर अन्य प्रत्येक प्रतिभागी को दी गयी पुरस्कार की राशि = ₹25

अत: विजेताओं की संख्या = ?

मान लिया कि विजेताओं की संख्या = w

अब चूँकि प्रश्न के अनुसार कुल प्रतिभागियों की संख्या = 63

अत: विजेताओं को छोड़कर अन्य प्रतिभागियों की संख्या = 63 – विजेताओं की संख्या

⇒ विजेताओं को छोड़कर अन्य प्रतिभागियों की संख्या = 63 – w

अब प्रश्न के अनुसार,

विजेताओं की संख्या × प्रत्येक विजेता को दी गयी राशि + विजेता को छोड़कर अन्य प्रतिभागियों की संख्या × विजेताओं को छोड़कर प्रत्येक अन्य प्रतिभागी को दी गयी पुरस्कार की राशि = ₹3000

⇒ w × ₹ 100 + [(63 – w) × ₹ 25] = ₹ 3000

⇒ 100 w + (1575 – 25 w) = 3000

⇒ 100 w + 1575 – 25 w = 3000

1575 को दायाँ पक्ष में स्थानांतरित करने पर हम पाते हैं कि

⇒ 100 w – 25 w = 3000 – 1575

⇒ 75 w = 1425

75 को दायाँ पक्ष में स्थानांतरित करने पर हम पाते हैं कि

w = 1425/75

⇒ w = 19

अत: विजेताओं की संख्या = 19 उत्तर