एक चर वाले रैखिक समीकरण - आठवीं गणित

प्रश्न संख्या (1) अमीना एक संख्या सोचती है। वह इसमें से 5/2 घटाकर परिणाम को 8 से गुणा करती है। अब जो परिणाम मिलता है वह सोची गयी संख्या की तिगुनी है। वह सोची गयी संख्या ज्ञात कीजिए।?

हल:

दिया गया है

अत: संख्या = ?

अब मान लिया कि वांछित संख्या = n

⇒ (2n – 5) × 4 = 3n

⇒ (2n × 4) – (5 × 4) = 3n

⇒ 8n – 20 = 3n

20 को दायाँ पक्ष (RHS) में स्थानांतरित करने पर हम पाते हैं कि

8n = 3n + 20

अब 3n को बायाँ पक्ष (LHS) में स्थानांतरित करने पर हम पाते हैं कि

8n – 3n = 20

⇒ 5n = 20

अब 5 को दायाँ पक्ष (RHS) में स्थानांतरित करने पर हम पाते हैं कि

n = 20/5 = 4

अत: वांछित संख्या = 4 उत्तर

प्रश्न संख्या (2) दो संख्याओं में पहली संख्या दूसरी की पाँच गुनी है। प्रत्येक संख्या में 21 जोड़ने पर पहली संख्या दूसरी की दुगुनी हो जाती है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

हल:

दिया गया है, दो संख्याओं में पहली संख्या = 5 × दूसरी संख्या

पुन: दिया गया है, जब दोनों संख्याओं में 21 जोड़ने पर,

अर्थात, पहली नई संख्या = 2 × दूसरी संख्या नई

अत: संख्याएँ = ?

मान लिया कि दी गई संख्याओं में पहली संख्या = n

अत: प्रश्न के अनुसार दूसरी संख्या जो कि पहली से पाँच गुनी है = 5n

अब जैसा कि प्रश्न में दिया गया है,

जब दोनों संख्याओं में 21 को जोड़ा जाता है,

अर्थात, पहली संख्या + 21 तथा दूसरी संख्या + 21

तब, (पहली संख्या + 21) × 2 = दूसरी संख्या + 21

⇒ (n + 21) × 2 = 5n + 21

⇒ 2n + 21 × 2 = 5n + 21

⇒ 2n + 42 = 5n + 21

अब 21 को बायाँ पक्ष (LHS) में ले जाने पर, हम पाते हैं कि

2n + 42 – 21 = 5n

⇒ 2n + 21 = 5n

अब 2n को दायाँ पक्ष (RHS) में ले जाने पर हम पाते हैं कि

21 = 5n – 2n

⇒ 21 = 3n

ऊपर के ब्यंजक को पुनर्व्यवस्थित करने पर

⇒ 3n = 21

अब 3 को दायाँ पक्ष (RHS) में ले जाने पर हम पाते हैं कि

⇒ n =7

अत: पहली संख्या = 7

अब चूँकि दूसरी संख्या = 5n

अत: n = 7 को प्रतिस्थापित करने पर

दूसरी संख्या = 5 × 7 = 35

अत: वांछित संख्याएँ क्रमश: 7 और 35 हैं। उत्तर

प्रश्न संख्या (3) दो अंकों वाली दी गयी के संख्या के अंकों का योग 9 है। इस संख्या के अंकों के स्थान बदलकर प्राप्त संख्या, दी गई संख्या से 27 अधिक है। दी गयी संख्या ज्ञात कीजिए।

हल:

दिया गया है, एक दो अंकों वाली संख्या के अंकों का योग = 9

तथा जब इस संख्या के अंकों के स्थान को बदल दिया जाता है तो,

प्राप्त नयी संख्या – 27 = पहले वाली संख्या

अत: संख्या = ?

मान लिया कि दी गयी दो अंकों वाली संख्या के इकाई स्थान वाला अंक = n

अब प्रश्न के अनुसार दी गयी संख्या के अंकों का योग = 9

अत: दी गयी संक्या के दहाई स्थान वाली संख्या = 9 – n

अत: दिया गया दो अंकों वाली संख्या = 10(9 – n) + n

अब दी गयी इस संख्या में अंकों के स्थान को बदलने पर

नयी संख्या = 10n + (9 – n)

अब प्रश्न के अनुसार,

10(9 – n) + n + 27 = 10n + (9 – n)

⇒ 90 – 10n + n + 27 = 10n + 9 – n

⇒ 90 + 27 – 10n + n = 10n – n + 9

⇒ 117 – 9n = 9n + 9

अब –9 को दायाँ पक्ष (RHS) में ले जाने पर हम पाते हैं कि

117 = 9n + 9 + 9n

⇒ 117 = 18n + 9

अब 9 को बायाँ पक्ष (LHS) में ले जाने पर, हम पाते हैं कि,

117 – 9 = 18n

⇒ 108 = 18n

उपर के ब्यंजक को पुनर्व्यवस्थित करने पर

18 n = 108

अब 18 को दायाँ पक्ष (RHS) में ले जाने पर हम पाते हैं कि

⇒ n = 108/18 = 6

अत: दी गई दो अंकों वाली संख्या के इकाई स्थान का अंक = 6

अब चूँकि दहाई के स्थान की संख्या = 9 – n

= 9 – 6 =3

अत: इकाई स्थान की संख्या = 6 और दहाई के स्थान की संख्या = 3

अत: वांछित संख्या = 36 उत्तर

प्रश्न संख्या (4) दो अंकों वाली दी गयी संख्या में एक अंक दूसरे अंक का तीन गुना है। इसके अंकों के स्थान बदलकर प्राप्त संख्या को, दी गई संख्या में जोड़ने पर 88 प्राप्त होता है। दी गई संख्या ज्ञात कीजिए।

हल:

दिया गया है, दो अंकों वाली संख्या का एक अंक = 3 × उसकी दूसरी संख्या

जब संख्या की स्थान को बदल दिया जाता है तथा उस बदली हुयी संख्या को पहली संख्या में जोड़ा जाता है तो दोनों का योग 88 हो जाता है।

अत: पहले वाली मूल संख्या =?

मान लिया कि दी गयी दो अंकों की संख़्या की पहली संख्या अर्थात इकाई संख्या = n

अत: प्रश्न के अनुसार दहाई स्थान वाली संख्या = 3n

अत: संख्या = (10 × 3n) + n

और संख्या के अंकों के स्थान को बदलने पर प्राप्त संख्या = 10n + 3n

अब प्रश्न के अनुसार,

दोनों संख्याओं अर्थात पहली संख्या + प्राप्त दूसरी नयी संख्या = 88

अतएव, [(10 × 3n) + n] + [10n + 3n] = 88

⇒ [30n + n] + 13n = 88

⇒ 31n + 13n = 88

⇒ 44n = 88

अब n को दायाँ पक्ष (RHS) में ले जाने पर हम पाते हैं कि

n = 88/44 = 2

अत: इकाई स्थान की संख्या (n) = 2

अब चूँकि दहाई स्थान की संख्या = 3n

= 3 × 2 = 6

अत: इकाई स्थान की संख्या = 2 और दहाई स्थान की संख्या = 6

अत: संख्या = 62

उत्तर की जाँच

प्रश्न के अनुसार, पहली संख्या + अंकों के स्थान को बदलकर प्राप्त संख्या = 88

⇒ 26 + 62 = 88 प्रमाणित

अत: वांछित संख्या = 62

प्रश्न संख्या (5) शोबो की माँ की आयु, शोबो की आयु की छ: गुनी है। 5 वर्ष बाद शोबो की आयु, उसकी माँ की वर्तमान आयु की एक तिहाई हो जायेगी। उनकी आयु ज्ञात कीजिए।

हल:

दिया गया है, शोबो की माँ की आयु = शोबो की वर्तमान आयु × 6

अब से पाँच वर्ष बाद शोबो के माँ की आयु = शोबो की वर्तमान आयु × 3

अत: शोबो और उनकी माँ की वर्तमान आयु = ?

मान लिया कि शोबो की वर्तमान आयु = s

अत: शोबो के माँ की वर्तमान आयु = s × 6 year

और अब से पाँच वर्ष बाद शोबो के माँ की वर्तमान आयु = (s + 5) × 3

अत:, 6s = (s + 5) × 3

⇒ 6s = 3s + 15

अब 3s को बायाँ पक्ष (LHS) में ले जाने पर, हम पाते हैं कि,

6s – 3s = 15

3s = 15

अब 3 को दायाँ पक्ष (RHS) में ले जाने पर हम पाते हैं कि

s = 15/3 = 5

अत: शोबो की वर्तमान आयु = 5 वर्ष

अब चूँकि शोबो के माँ की वर्तमान आयु = शोबो की आयु × 6

= 5 × 6 = 30

अत: शोबो की आयु = 5 और शोबो के माँ की वर्तमान आयु = 30 वर्ष उत्तर