क्षेत्रमिति - आठवीं गणित

क्षेत्रमिति से संबंधित महत्वपूर्ण सूत्र

(1)आयत का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई

(2) वर्ग का क्षेत्रफल = एक भुजा²

(3) त्रिभुज का क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई

(4) समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई

(5) वृत्त का क्षेत्रफल = π × त्रिज्या²

(6) आयत की परिमिति = 2(लम्बाई + चौड़ाई)

(7) वर्ग की परिमिति = 4 × एक भुजा

(8) त्रिभुज की परिमिति = तीनों भुजाओं का योग

(9) वृत्त की परिधि = 2 π r

(10) अर्धवृत्त की परिधि = π r

(11) अर्धवृत्त का क्षेत्रफल = 1/2 × π r²

एनसीईआरटी प्रश्नावली 11.1 का हल

क्षेत्रमिति क्लास आठवीं एनसीईआरटी प्रश्नावली 11.1 प्रश्न संख्या (1) जैसा कि संलग्न आकृति में दर्शाया गया है, एक आयताकार और एक वर्गाकार खेत के माप दिये हुए हैं। यदि इनके परिमान समान हैं, तो किसे खेत का क्षेत्रफल अधिक होगा?

हल

दिये गये वर्गाकार खेत के लिए गणना

दिया गया है वर्गाकार खेत की एक भुजा = 60m

अत: वर्गाकार खेत का क्षेत्रफल = ?

हम जानते हैं कि, वर्ग की परिमिति = 4 × एक भुजा

अत: दिये गये वर्गाकार खेत का परिमाप = 4 × 60m

= 240 m

अब हम जानते हैं कि, वर्ग का क्षेत्रफल = भुजा²

अत: दिये गये वर्गाकार खेत का क्षेत्रफल = (60 m)²

= 60 m × 60 m

= 3600 m²

दिए गये आयताकार खेत से संबंधित गणना

दिया गया है आयताकार खेत की लम्बाई = 80 m

तथा दिया गया है कि वर्गाकार खेत का परिमाप = आयताकार खेत का परिमाप

अत: दिये गये आयताकार खेत का क्षेत्रफल = ?

ऊपर की गणना के अनुसार, वर्गाकार खेत का परिमाप = 240 m = आयताकार खेत का परिमाप

अत: आयताकार खेत का परिमाप = 240 m

अब हम जानते हैं कि, आयत का परिमाप = 2 (लम्बाई + चौड़ाई)

मान लिया कि दिये गये आयताकार खेत की चौड़ाई = w

अत: दिये गये आयताकार खेत का परिमाप = 2 (80 m + w)

⇒ 240 m = 2 (80 m + w)

⇒ 2 (80m + w) = 240 m

⇒ 80 m + w = 120 m

⇒ w = 120 m – 80 m

⇒ w = 40 m

अत: आयताकार खेत की चौड़ाई = 40 m

अब हम जानते हैं कि, आयत का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई

अत: दिये गये आयत का क्षेत्रफल = 80 m × 40 m

= 3200 m²

अब दिये गये वर्गाकार खेत का क्षेत्रफल = 3600 m² तथा दिये गये आयताकार खेत का क्षेत्रफल= 3200 m²

अत: स्पष्ट रूप से वर्गाकार खेत का क्षेत्रफल अधिक है। उत्तर

क्षेत्रमिति क्लास आठवीं एनसीईआरटी प्रश्नावली 11.1 प्रश्न संख्या (2) श्रीमति कौशिक के पास चित्र में दर्शाये गये मापों वाला एक वर्गाकार प्लॉट है। वह प्लॉट के बीच में एक घर बनाना चाहती है। घर के चारों ओर एक बगीचा विकसित किया गया है। 55 रूपये प्रति वर्गमीटर की दर से इस बगीचे को विकसित करने का व्यय ज्ञात कीजिए।

हल

दिया गया है, वर्गाकार खेत की एक भुजा = 25 m

तथा वर्गाकार खेत के मध्य स्थित आयताकार प्लॉट की लम्बाई = 20m

तथा वर्गाकार खेत के मध्य स्थित आयताकार प्लॉट की चौड़ाई = 15m

घर के चारों ओर बगीचा विकसित करने की दर = ₹55 प्रति m²

अत: बगीचा विकसित करने का कुल व्यय = ?

वर्गाकार प्लॉट के क्षेत्रफल की गणना

हम जानते हैं कि वर्ग का क्षेत्रफल = भुजा²

अत: दिये गये वर्गाकार प्लॉट का क्षेत्रफल = (25 m)²

= 625 m²

आयताकार प्लॉट के क्षेत्रफल की गणना

हम जानते हैं कि आयत का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई

अत: दिये गये आयताकार प्लॉट का क्षेत्रफल = 20 m × 15 m

= 300 m²

घर के चारों ओर बगीचे के क्षेत्रफल की गणना

अब घर के चारों ओर स्थित बगीचे का क्षेत्रफल = वर्गाकार प्लॉट का क्षेत्रफल – आयताकार प्लॉट का क्षेत्रफल

= 625 m² – 300 m²

⇒ घर के चारों ओर स्थित बगीचे का क्षेत्रफल= 325 m²

बगीचे के विकसित करने के व्यय की गणना

∵ 1m² बगीचे को विकसित करने का व्यय = ₹ 55

∴ 325m² बगीचे के विकसित करने का व्यय= ₹ 55 × 325

= ₹ 17875

अत: घर के चारों ओर स्थित बगीचे को विकसित करने का व्यय = ₹ 17875.00 उत्तर

क्षेत्रमिति क्लास आठवीं एनसीईआरटी प्रश्नावली 11.1 प्रश्न संख्या (3) जैसा कि आरेख में दर्शाया गया है, एक बगीचे का आकार मध्य में आयताकार है और किनारों पर अर्धवृत्त के रूप में है। इस बगीचे का परिमाप और क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। [आयत की लम्बाई = 20 – (3.5 + 3.5) मीटर है।]

हल

दिया गया है, पूरे बगीचे की लम्बाई = 20m

तथा बगीचे की चौड़ाई = 7 m

तथा यह भी दिया गया है कि बगीचे के दोनों किनारे अर्धवृत्त आकार के हैं।

अत: बगीचे का क्षेत्रफल और परिमाप = ?

बगीचे के मध्य वाले आयताकार भाग के मापों की गणना

चूँकि बगीचे के दोनों किनारे अर्धवृत्ताकार हैं

तथा दिया गया है कि बगीचे की चौड़ाई = 7 m

इसका अर्थ है कि अर्धवृत्ताकार भाग का ब्यास = 7 m

अत: अर्धवृत्ताकार भाग की त्रिज्या = ब्यास/2

= 7m / 2 = 3.5 m

अत: अर्धवृत्ताकार भाग की त्रिज्या = 3.5 m

अत: बगीचे के मध्य वाले आयताकार भाग की लम्बाई = बगीचे की लम्बाई – (एक अर्धवृत्ताकार भाग की त्रिज्या + दूसरे अर्धवृत्ताकार भाग की त्रिज्या)

= 20 m – (3.5m + 3.5m)

= 20m – 7m = 13m

अत: बगीचे के मध्य वाले आयताकार भाग की लम्बाई = 13 m

बगीचे के मध्य वाले आयताकार भाग के क्षेत्रफल की गणना

अब बगीचे के मध्य वाले आयताकार भाग की लम्बाई = 13m

तथा बगीचे के मध्य वाले आयताकार भाग की चौड़ाई = 7 m

अब हम जानते हैं कि आयत का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई

अत: बगीचे के मध्य वाले आयताकार भाग का क्षेत्रफल = 13m × 7m

= 91 m²

बगीचे के अर्धवृत्ताकार भाग के क्षेत्रफल की गणना

दिया गया है, अर्धवृताकार भाग की त्रिज्या = 3.5 m

हम जानते हैं कि, अर्धवृत्त का क्षेत्रफल = 1/2 × π r²

अत: दिये गये बगीचे के एक अर्धवृत्ताकार भाग का क्षेत्रफल = 1/2 × π (3.5m)²

= 11 × 3.5 m × 0.5 m

= 19.25 m²

अत: बगीचे के एक अर्धवृत्ताकार भाग का क्षेत्रफल = 19.25 m²

बगीचे के अर्धवृत्ताकार भाग के परिधि की गणना

हम जानते हैं कि, अर्धवृत्त की परिधि = π r

अत: दिये गये बगीचे के एक अर्धवृत्ताकार भाग परिमिति = π 3.5m

= 22 × 0.5 m

= 11 m

अत: दिये गये बगीचे के एक अर्धवृत्ताकार भाग की परिधि = 11 m

अब दिये गये बगीचे का क्षेत्रफल

= बगीचे के आयताकार भाग का क्षेत्रफल + 2(बगीचे के एक ओर के अर्धवृत्त का क्षेत्रफल)

= 91m² + 2 × 19.25m²

= 91m² + 38.5m²

= 129.5 m²

बगीचे के परिमाप की गणना

बगीचे का परिमाप = 2 × बगीचे के एक ओर के अर्धवृत्त का परिमाप + (2 × आयताकार भाग की लम्बाई)

= 2 × 11m + (2 × 13m)

= 22 m + 26m

= 48 m

अत: दिये गये बगीचे का क्षेत्रफल = 129.5 m² और परिमाप = 48m उत्तर

क्षेत्रमिति क्लास आठवीं एनसीईआरटी प्रश्नावली 11.1 प्रश्न संख्या (4) फर्श बनाने के लिए उपयोग की जाने वाली एक टाइल का आकार समांतर चतुर्भुज का है जिसका आधार 24cm और संगत ऊँचाई 10cm है। 1080 वर्ग मीटर क्षेत्रफल के एक फर्श को ढ़कने के लिए इएसी कितनी टाइलों की आवश्यकता है? (फर्श के कोनों को भरने के लिए आवश्यकतानुसार आप टाइलों को किसी भी रूप में तोड़ सकते हैं)।

हल

दिया गया है, समांतर चतुर्भुज का आधार = 24cm

= 0.24 m

तथा समांतर चतुर्भुज की ऊँचाई = 10cm

= 0.1 m

फर्श जिसे टाइलों से ढ़का जाना है का क्षेत्रफल = 1080m²

अत: फर्श को ढ़कने के लिए आवश्यक टाइलों की संख्या = ?

हम जानते हैं कि, समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई

अत: दिये गये समांतर चतुर्भुज आकार वाले टाइल का क्षेत्रफल = 0.1m × 0.24m

= 0.024 m²

अत: दिये गये एक टाइल का क्षेत्रफल = 0.024m²

अब,

∵ 0.024m² को ढ़कने के लिए आवश्यक टाइल की संख्या = 1

∴ अत: 1m² को ढ़कने के लिए आवश्यक टाइलों की संख्या = 1/0.024

∴ 1080m² को ढ़कने के लिए आवश्यक टाइलों की संख्या

= 45000

अत: प्रश्न में दिये गये फर्श को ढ़कने के लिए आवश्यक टाइलों की संख्या = 45000 उत्तर

क्षेत्रमिति क्लास आठवीं एनसीईआरटी प्रश्नावली 11.1 प्रश्न संख्या (5) एक चींटी किसी फर्श पर बिखरे हुए विभिन्न आकारों के भोज्य पदार्थ के टुकड़ों के चारों ओर घूम रही है। भोज्य पदार्थ के किस टुक़ड़े के लिए चींटी को लम्बा चक्कर लगाना पड़ेगा? स्मरण रखिए, वृत्त की परिधि सूत्र c = 2πr, जहाँ r वृत्त की त्रिज्या है, की सहायता से प्राप्त की जा सकती है।

हल

दिये गये आकारों के परिमाप या परिधि चींटी द्वारा चक्कर लगाने में तय की जाने वाली दूरी के बराबर होगा।

आकृत्ति (a) के परिधि की गणना

दिया गया है, अर्धवृत्ताकार आकृत्ति का ब्यास = 2.8 cm

अत: दिये गये अर्धवृत्ताकार आकृत्ति की त्रिज्या = 2.8/2 cm = 1.4 cm

हम जानते हैं कि, अर्धवृत्त की परिधि = π r

अत: दिये गये अर्धवृत्त की परिधि = π 1.4 cm

= 22 × 0.2 cm

= 4.4 cm

अत: दिये गये अर्धवृत्त की परिधि = 4.4 cm

अब दिये गये अर्धवृत्त का परिमाप = दिये गये अर्धवृत्त की परिधि + ब्यास

= 4.4 cm + 2.8 cm = 7.2 cm

अत: चींटी को इस दिये गये अर्धवृत्ताकार आकृत्ति का चक्कर लगाने के लिए 7.2 cm की दूरी तय करनी होगी।

आकृत्ति (b) का परिमाप

दिया गया है, आयताकार आकृत्ति की लम्बाई = 2.8 cm

तथा आयताकार आकृत्ति की चौड़ाई = 1.5 cm

तथा आकृत्ति के अर्धवृत्ताकार भाग का ब्यास = 2.8 cm

अत: अर्धावृत्ताकार भाग की त्रिज्या = 2.8 cm/2 = 1.4cm

दिये गये आयताकार आकृत्ति के परिमाप की गणना

हम जानते हैं कि, आयत का परिमाप = 2(लम्बाई + चौड़ाई)

अत: दिये गये आयताकार आकृत्ति का परिमाप = 2(2.8 cm + 1.5 cm)

= 2 × 4.3 cm

= 8.6 cm

अब दिये गये आयताकार आकृत्ति का आधार को छोड़कर परिमाप

= आयत का परिमाप – आधार

= 8.6 cm – 2.8 cm

= 5.8 cm

अत: दिये गये आयताकार आकृत्ति का आधार को छोड़कर परिमाप = 5.8 cm

दिये गये आयताकार आकृत्ति के अर्धवृत्ताकार भाग के परिधि की गणना

अर्धवृत्त की त्रिज्या = 1.4 cm

हम जानते हैं कि अर्धवृत्त की परिधि = π r

अत: दिये गये आकार के अर्धवृत्त वाले भाग की परिधि = π 1.4cm

= 22 × 0.2 cm

= 4.4 cm

दिये गये आयताकार एवं अर्धवृत्ताकार आकृत्ति के परिमाप की गणना

दिये गये आयताकार-अर्धवृत्ताकार आकृत्ति के परिमाप की गणना = आयताका भाग का परिमाप आधार को छोड़कर + अर्धवृत्ताकार भाग की परिधि

= 5.8 cm + 4.4 cm

= 10.2 cm

अत: इस आयताकार-अर्धवृत्ताकार आकृत्ति वाले भोज्य पदार्ध का चक्कर लगाने के लिए चींटी द्वारा तय की जाने वाली दूरी = 10.2 cm

आकृत्ति (c) के परिमाप की गणना

आकृत्ति के अर्धवृत्ताकार भाग का ब्यास = 2.8 cm

अत: अर्धवृत्ताकार भाग की त्रिज्या = 2.8/2 cm = 1.4 cm

हम जानते हैं कि, अर्धवृत्त की परिधि = π r

अत: दिये गये आकृत्ति के अर्धवृत्ताकार भाग की परिधि = π 1.4 cm

= 22 × 0.2 cm

= 4.4 cm

दिये गये आकृत्ति के शंकु वाले भाग की प्रत्येक भुजा = 2 cm

अत: दिये गये अर्धवृत्ताकार-शंकुकार आकृत्ति का परिमाप = अर्धवृत्ताकार भाग की परिधि + शंकु आकार वाले दोनों भुजाओं की लम्बाई का योग

= 4.4 cm + 4 cm

= 8.4 cm

अत: चींटी को आकृत्ति (d) वाले भोज्य पदार्थ के चक्कर लगाने में तय की जाने वाली दूरी = 8.4 cm

अब आकृत्ति (a) का परिमाप = 7.2 cm

तथा आकृत्ति (b) का परिमाप = 10.2 cm

एवं आकृत्ति (c) का परिमाप = 8.4 cm

अत: स्पष्ट रूप से चींटी को आकृत्ति (b) वाले भोज्य पदार्थ का चक्कर लगाने में सबसे अधिक दूरी तय करना पड़ेगा जो कि 10.2 cm के बराबर है। उत्तर