क्षेत्रमिति - आठवीं गणित

क्षेत्रमिति क्लास आठवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 11.2 प्रश्न संख्या (1) एक मेज के ऊपरी पृष्ठ (सतह) का आकार समलम्ब जैसा है। यदि इसकी समांतर भुजाएँ 1m और 1.2m हैं तथा इन समांतर भुजाओं के बीच की दूरी 0.8m है, तो इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल

दिया गया है, समांतर चतुर्भुज वाले आकार के मेज के ऊपरी पृष्ठ की समांतार भुजाएँ क्रमश: (a = 1 m और (b) = 1.2 m हैं।

इन समांतर भुजाओं के बीच की दूरी (h) = 0.8m

अत:, समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = ?

हम जानते हैं कि, समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = 1/2 × (a + b) × h

जहाँ a और b उसकी समांतर भुजाएँ हैं तथा h समांतर भुजाओं के बीच की दूरी है।

अत:, दिये गये समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = 1/2 × (1 + 1.2) × 0.8 m²

= 1.1 × 0.8 m²

= 0.88 m²

अत: दिये गये मेज के समांतर चतुर्भुज आकृति वाले ऊपरी सतह का क्षेत्रफल = 0.88m² उत्तर

क्षेत्रमिति क्लास आठवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 11.2 प्रश्न संख्या (2) एक समलम्ब का क्षेत्रफल 34 cm² है और इसकी ऊँचाई 4cm है। समांतर भुजाओं में से एक की 10 cm लम्बाई है। दूसरी समांतर भुजा की लम्बाई ज्ञात कीजिए।

हल

दिया गया है, समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = 34 cm²

Height of समांतर चतुर्भुज = 4 cm

तथा, समांतर चतुर्भुज की एक समांतर भुजा (a) = 10 cm

अत: उस समांतर चतुर्भुज की दूसरी समांतर भुजा (b) = ?

हम जानते हैं कि, समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = 1/2 × (a + b) × h

जहाँ a और b उसकी समांतर भुजाएँ हैं तथा h समांतर भुजाओं के बीच की दूरी है।

अत: दिये गये समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = 1/2 × (10 + b) × 4

⇒ 34 = (10 + b) × 2

⇒ (10 + b) × 2 = 34

⇒ 10 + b = 34/2

⇒ 10 + b = 17

⇒ b = 17 – 10

⇒ b = 7 cm

अत: दिये गये समांतर चतुर्भुज की दूसरी समांतर भुजा = 7 cm उत्तर

क्षेत्रमिति क्लास आठवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 11.2 प्रश्न संख्या (3) एक समलम्ब के आकार के खेत ABCD की बाड़ की लम्बाई 120 m है। यदि BC = 48 m, CD = 17m और AD = 40m है, तो इस खेत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। भुजा AB समांतर भुजाओं AD तथा BC पर लम्ब है।

हल

दिया गया है, ABCD समांतर चतुर्भुज है।

और इस समांतर चतुर्भुज का परिमाप = 120 m

तथा, AD (a) = 40 m

और BC (b) = 48 m

और CD = 17 m

तथा भुज AB समांतर भुजाओं AD तथा BC पर लम्ब है।

अत: इस दिये गये समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = ?

हम जानते हैं कि, बाड़ की लम्बाई = दिये गये समांतर चतुर्भुज का परिमाप

अब समांतर चतुर्भुज का परिमाप = BC + CD + AD + AB

⇒ 120 m = 48m + 17m + 40m + AB

⇒ 120m = 105 m + AB

⇒ 105m + AB = 120m

⇒ AB = 120 m – 105m

⇒ AB = 15m

अत: इस समांतर चतुर्भुज की ऊँचाई (AB) (h) = 15 m

अब हम जानते हैं कि, समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = 1/2 × (a + b) × h

अत: दिए गये समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = 1/2 × (40 + 48) × 15 m²

= 1/2 × 88 × 15 m²

= 44 × 15 m²

= 660 m²

अत: दिये गये समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = 660 m² उत्तर

क्षेत्रमिति क्लास आठवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 11.2 प्रश्न संख्या (4) एक चतुर्भुज आकार के खेत का विकर्ण 24 m है और शेष सम्मुख शीर्षों से इस विकर्ण पर खींचे गये लम्ब 8 m और 13 m हैं। खेत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल

हम जानते हैं कि एक दो त्रिभुजों में विभक्त चतुर्भुज का क्षेत्रफल = 1/2 (विकर्ण × चतुर्भुज के अन्य शीर्षों से खींचे गये लम्बों का योग)

अर्थात, दो त्रिभुजों में विभक्त चतुर्भुज का क्षेत्रफल = 1/2 × d(h₁ + h₂) वर्ग इकाई

यहाँ, विकर्ण (d) = 24 m

तथा एक लम्ब की लम्बाई (h₁) = 13 m

तथा दूसरे लम्ब की ऊँचाई (h₂ = 8 m

अत: इस दिये गये चतुर्भुज का क्षेत्रफल

= 1/2 × 24 × (13 + 8)

= 12 × 21

= 252 m²

अत: इस दिये गये चतुर्भुज का क्षेत्रफल = 252 m² उत्तर

वैकल्पिक विधि

दिया गया चतुर्भुज दो त्रिभुजों से बना है, i.e. Δ ACD और Δ ABC

त्रिभुज ACD में,

त्रिभुज का आधार (b) = 24 m

तथा त्रिभुज की ऊँचाई (h) = 13m

अब, हम जानते हैं कि, त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/2 × आधार × ऊँचाई

अत: त्रिभुज ACD का क्षेत्रफल = 1/2 × 24 m × 13m

= 12 m × 13m

= 156 m²

अत: Δ ACD का क्षेत्रफल = 156 m²

त्रिभुज ABC में

त्रिभुज का आधार (b) = 24 m

तथा त्रिभुज की ऊँचाई (h) = 8m

अब, हम जानते हैं कि, त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/2 × Base × Height

अत: त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल = 1/2 × 24 m × 8m

= 12 m × 8m

= 96 m²

अत: Δ ACD का क्षेत्रफल = 96 m²

अत: दिये गये चतुर्भुज का क्षेत्रफल = Δ ACD का क्षेत्रफल + Δ ABC का क्षेत्रफल

= 156 m² + 96 m²

= 252 m²

अत: दिये गये चतुर्भुज का क्षेत्रफल = 252 m² उत्तर

क्षेत्रमिति क्लास आठवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 11.2 प्रश्न संख्या (5) किसी समचतुर्भुज के विकर्ण 7.5 cm एवं 12cm हैं। इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल

दिया गया है, समचतुर्भुज के विकर्ण क्रमश: = 7.5 cm और 12 cm

अत: दिये गये समचतुर्भुज का क्षेत्रफल = ?

हम जानते हैं कि, समचतुर्भुज का क्षेत्रफल (यदि विकर्ण दिए गये हैं) = 1/2 × विकर्णों का गुणनफल

अत: दिये गये समचतुर्भुज का क्षेत्रफल = 1/2 × 7.5 cm× 12 cm

= 7.5 cm × 6 cm

= 45.0 cm²

अत: दिये गये समचतुर्भुज का क्षेत्रफल = 45 cm² उत्तर

क्षेत्रमिति क्लास आठवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 11.2 प्रश्न संख्या (6) एक समचतुर्भज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी भुजा 6 cm और शीर्षलम्ब 4 cm है। यदि एक विकर्ण 8 cm है तो दूसरे विकर्ण की लम्बाई ज्ञात कीजिए।

हल

दिया गया है, समचतुर्भुज की एक भुजा = 6 cm

तथा समचतुर्भुज का शीर्षलम्ब = 4 cm

समचतुर्भुज का एक विकर्ण = 8 cm

तो दिये गये समचतुर्भुज का दूसरा विकर्ण = ?

हम जानते हैं कि, समचतुर्भज जिसकी भुजा और ऊँचाई दी गयी है का क्षेत्रफल = भुजा × ऊँचाई

अत: दिये गये समचतुर्भुज का क्षेत्रफल = 6cm × 4cm

= 24 cm²

अत: दिये गये समचतुर्भज का क्षेत्रफल = 24 cm²

अब पुन: हम जानते हैं कि, समचतुर्भज का क्षेत्रफल जिसके विकर्ण ज्ञात हों = 1/2 × विकर्णों का गुणनफल

यहाँ दिया गया है, एक विकर्ण (d₁) = 8 cm

तथा समचतुर्भज का क्षेत्रफल = 24 cm² (ऊपर की गणना के अनुसार)

अत: दूसरा विकर्ण (d₂) = ?

अत: दिये गये समचतुर्भुज का क्षेत्रफल = 1/2 × 8 cm × d₂

⇒ 24 = 4 cm × d₂

⇒ d₂ = 6 cm

अत: दिये गये समचतुर्भज का क्षेत्रफल = 24 cm² दूसरे विकर्ण की लम्बाई = 6 cm उत्तर