क्षेत्रमिति - आठवीं गणित

क्षेत्रमिति क्लास आठवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 11.2 प्रश्न संख्या (7) किसी भवन के फर्श में समचतुर्भज के आकार की 3000 टाइलें हैं और इनमें से प्रत्येक के विकर्ण 45 cm एवं 30 cm लम्बाई के हैं। 4 रूपये प्रति वर्ग मीटर की दर से इस फर्श को पॉलिश करने का व्यय ज्ञात कीजिए।

हल

दिया गया है,

भवन के फर्श में लगे समचतुर्भुज के आकार की टाइलों की कुल संख्या = 3000 tiles

समचतुर्भुज के आकार की टाइल का एक विकर्ण (d₁) = 45 cm

= 45/100 m

अत: एक विकर्ण (d₁) = 0.45 m

तथा समचतुर्भुज के आकार की टाइल का दूसरा विकर्ण (d₂) = 30 cm

अत: समचतुर्भुज के आकार की टाइल का दूसरा विकर्ण (d₂) = 0.3 m

फर्श को पॉलिश कराने का दर = ₹4 प्रति वर्ग मीटर

अत: भवन के फर्श को पॉलिश कराने का व्यय = ?

हम जानते हैं कि, समचतुर्भज का क्षेत्रफल = 1/2 × विकर्णों का गुणनफल

अत: दिये गये टाइलों में से एक टाइल का क्षेत्रफल = 1/2 × 0.45 m × 0.3 m

= 0.45 m × 0.15 m

= 0.0675 m²

अत: समचतुर्भुज के आकार की एक टाइल का क्षेत्रफल = 0.0675 m²

अब चूँकि भवन का फर्श कुल 3000 टाइलों से बने हैं, अत: भवन के फर्श का क्षेत्रफल

= एक टाइल का क्षेत्रफल × 3000

= 0.0675 m² × 3000

= 202.5 m²

अब,

∵ 1 वर्ग मीटर फर्श को पॉलिश कराने का व्यय =₹4

∴ 202.5 m² वर्ग मीटर को पॉलिश कराने का व्यय =₹4 × 202.5

= ₹ 810

अत: भवन के फर्श को पॉलिश कराने का कुल व्यय = ₹ 810 उत्तर

क्षेत्रमिति क्लास आठवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 11.2 प्रश्न संख्या (8) मोहन एक समलम्ब चतुर्भुज के आकार का खेत खरीदना चाहता है। इस केह्त की नदी के साथ वाली भुजा सड़क के साथ वाली भुजा के समांतर है और लम्बाई में दुगुनी है। यदि इस खेत का क्षेत्रफल 10500 m² है, और दो समांतर भुजाओं के बीच की लम्बबत दूरी 100m है, तो नदी के साथ वाली भुजा की लम्बाई ज्ञात कीजिए।

हल

दिया गया है, समलम्ब चतुर्भज के आकार के खेत का क्षेत्रफल = 10500 m²

तथा यह भी दिया गया है कि खेत की नदी के साथ वाली भुजा की लम्बाई सड़क की साथ वाली भुजा के दुगुनी है।

समांतर भुजाओं के बीच की लम्बबत दूरी (h) = 100m

अत: नदी के साथ वाली भुजा की लम्बाई = ?

मान लिया कि सड़क के साथ वाली भुजा की लम्बाई (a) = a

अत: प्रश्न के अनुसार, नदी के साथ वाली भुजा की लम्बाई (b) = 2a

अब, हम जानते हैं कि, एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = 1/2 × (a + b) × h

अत: दिये गये समांतर चतुर्भुज आकार के खेत का क्षेत्रफल = 1/2 (a + 2a) 100m

⇒ 10500 = (a + 2a) 50

⇒ (a + 2a) 50 = 10500

⇒ 3a × 50 = 10500

⇒ 150 a = 10500

⇒ a = 70 m

अब चूँकि नदी के साथ वाली भुजा की लम्बाई = 2a

= 2 × 70 m = 140 m

अत: दिये गये समांतर चतुर्भुज आकार के खेत का नदी के साथ वाली भुजा की लम्बाई = 140 m उत्तर

क्षेत्रमिति क्लास आठवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 11.2 प्रश्न संख्या (9) एक ऊपर उठे हुए चबूतरे का ऊपरी पृष्ठ अष्टभुज के आकार का है। जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। अष्टभुजी पृष्ट का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल

दिया गया है, अष्टभुज के आकार के चबूतरे की एक भुजा = 5m

और, AF = 11m

और HN = 4m

अत: दिये गए अष्टभुज आकार के चबूतरे के ऊपरी भाग का क्षेत्रफल = ?

अष्टभुजाकार चबूतरे के आयताकार भाग ABEF का क्षेत्रफल

आयताकार भाग ABEF की लम्बाई AF = 11m

तथा इस आयत की चौड़ाई, EF = 5m

अब, हम जानते हैं कि, एक आयत का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई

अत: अष्टभुजाकार चबूतरा के आयताकार भाग ABEF का क्षेत्रफल = 11m × 5m

= 55 m²

अष्टभुजाकार चबूतरे के समांतर चतुर्भुज वाले भाग AFGH के क्षेत्रफल की गणना

समांचर चतुर्भुज के के समांतर भुजा की लम्बाई, AF (a) = 11m

तथा इसकी दूसरी समांतर भुजा की लम्बाई, HG (b) = 5m

तथा दोनों समांतर भुजाओं के बीच की लम्बबत दूरी (h) = 4m

अब, हम जानते हैं कि, एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = 1/2 × (a + b) × h

अत: समांतर चतुर्भुज AFGH का क्षेत्रफल= 1/2 × (11m + 5m) 4m

= (11m + 5m) 2m

= 16m × 2m

अत: समांतर चतुर्भुज AFGH का क्षेत्रफल = 32 m²

अब चूँकि समांतर चतुर्भुज BCDE = समांतर चतुर्भुज AFGH

अत: समांतर चतुर्भुज BCDE का क्षेत्रफल = 32 m²

अत: अष्टभुज आकार के चबूतरे का क्षेत्रफल = AFGH का क्षेत्रफल + BCDE का क्षेत्रफल + ABEF का क्षेत्रफल

= 32 m² + 32 m² + 55 m²

= 119 m²

अत: अष्टभुज आकार के चबूतरे का क्षेत्रफल = 119 m² उत्तर

क्षेत्रमिति क्लास आठवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 11.2 प्रश्न संख्या (10) एक पंचभुज आकार का बगीचा है जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। इसका क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए ज्योति और कविता ने इसे दो विभिन्न तरीकों से विभाजित किया। दोनों तरीकों का उपयोग करते हुए इस बगीचे का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। क्या आप इसका क्षेत्रफल ज्ञात करने की कोई और विधि बता सकते हैं?

हल

(a) ज्योति द्वारा बगीचे को विभाजित किये गये तरीके से क्षेत्रफल की गणना

दिया गया है, AB = (a) = 15m

अत:, AF = FB = 15/2 = (h) = 7.5 m

और, AE = BC = 15m

और DF = (b) = 30 m

अत: दिये गये पंचभुज आकार के बगीचा का क्षेत्रफल = ?

यहाँ, AFDE एक समांतर चतुर्भुज बनाता है

अब हम जानते हैं कि एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = 1/2 × (a + b) h

अत: समांतर चतुर्भुज AFDE का क्षेत्रफल = 1/2 (15m + 30m) 7.5m

= 22.5m × 7.5m

अत: समांतर चतुर्भुज AFDE का क्षेत्रफल = 168.75 m²

अब चूँकि समांतर चतुर्भुज AFDE = समांतर चतुर्भुज FBCD

अत: समांतर चतुर्भुज FBCD का क्षेत्रफल = 16.75 m²

अत: दिये गये पंचभुज का क्षेत्रफल = 2 × समांतर चतुर्भुज AFDE का क्षेत्रफल

= 2 × 168.75 m²

= 337.50 m²

अत: दिये गये पंचभुज का क्षेत्रफल = 337.50 m² उत्तर

(b) कविता द्वारा बगीचे को विभक्त किये गये तरीके से बगीचे के क्षेत्रफल की गणना

दिया गया है, AE = BC = 15m

AB = EC = 15m

तथा OD = 30m

अत:, DF = FC = 1/2 EC = 7.5m

और, FD = OD – OF

= 30m – 15m

⇒ FD = 15m

वर्ग ABCE के क्षेत्रफल की गणना

हम जानते हैं कि, एक वर्ग का क्षेत्रफल = भुजा²

यहाँ, वर्ग ABCE की एक भुजा = 15m

अत: वर्ग ABCE का क्षेत्रफल = (15 m)²

अत: वर्ग ABCE का क्षेत्रफल ABCE = 225 m²

त्रिभुज DEC के क्षेत्रफल की गणना

हम जानते हैं कि, एक त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/2 × आधार × ऊँचाई

यहाँ आधार (EC) = 15m

तथा ऊँचाई (DF) = 15m

अत: त्रिभुज DEC का क्षेत्रफल = 1/2 × 15m × 15m

= 1/2 × 225m²

= 112.5 m²

अत: त्रिभुज DEC का क्षेत्रफल = 112.5 m²

अत: दिये गये पंचभुज का क्षेत्रफल = वर्ग ABCE का क्षेत्रफल + त्रिभुज DEC का क्षेत्रफल

= 225 m² + 112.5 m²

= 337.50 m²

अत: दिये गये बगीचे को कविता द्वारा विभक्त किये गये तरीके से क्षेत्रफल = 337.50 m² उत्तर

क्षेत्रमिति क्लास आठवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 11.2 प्रश्न संख्या (11) संलग्न पिक्चर फ्रेम के आरेख की बाहरी एवं अंत: वीमाएँ क्रमश: 24 cm × 28 cm एवं 16 cm × 20 cm हैं। यदि फ्रेम के प्रत्येक खंड की चौड़ाई समान है, तो प्रत्येक खंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल

दिया गया है, AB = DC = 24cm

और, AD = BC = 28 cm

और, EF = HG = 16 cm

और, HE = FG = 20 cm

तथा फ्रेम के प्रत्येक खंड की चौड़ाई समान है।

अत: प्रत्येक खंड का क्षेत्रफल =?

अब चूँकि DC = 24cm

और, HG = 16 cm

अत:, DC – HG = PH + GM

= 24cm – 16 cm

तथा PH + GM = 8cm

तथा अब चूँकि PH = GM [प्रश्न के अनुसार फ्रेम के प्रत्येक खंड की चौड़ाई समान है]

अत:, PH + PH = 8cm

⇒ 2 PH = 8cm

अत:, PH = 8cm/2 = 4 cm

अत:, PH = 4 cm = GM

उसी प्रकार, BC = 28 cm

और, FG = 20cm

अत:, BC – FG = NF + GO

= 28cm – 20 cm = 8 cm

⇒ NF + GO = 8cm

अब चूँकि फ्रेम के प्रत्येक खंड की चौड़ाई समान है

अत:, NF = GO

अत:, NF + NF = 8cm

⇒ 2 NF = 8cm

⇒ NF = 8cm/2 = 4cm

Thus, NF = GO = 8cm

समांतर चतुर्भुज BCGF के क्षेत्रफल की गणना

यहाँ एक समांतर भुजा, BC = (a) = 28cm

तथा दूसरी समांतर भुजा FG = (b) = 20cm

तथा दोनों समांतर भुजाओं के बीच की लम्बबत दूरी, GM (h) = 4cm

अब, हम जानते हैं कि, एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = 1/2 (a + b) h

अत: दिये गये समांतर चतुर्भुज BCGF का क्षेत्रफल = 1/2 (28cm + 20cm) 4cm

= (28cm + 20cm) 2cm

= 48 cm × 2cm

= 96 cm²

अब चूँकि समांतर चतुर्भुज AEHD = समांतर चतुर्भुज BCGF

अत: समांतर चतुर्भुज AEHD का क्षेत्रफल = समांतर चतुर्भुज BCGF का क्षेत्रफल

अत: समांतर चतुर्भुज AEHD का क्षेत्रफल = 96 cm²

समांतर चतुर्भुज ABFE के क्षेत्रफल की गणना

यहा एक समांतर भुजा, AB = a = 24cm

तथा दूसरी समांतर भुजा, EF = HG = b = 16 cm

तथा दोनों समांतर भुजाओं के बीच की लम्बबत दूरी, FN (h) = 4cm

अब, हम जानते हैं कि, एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = 1/2 (a + b) h

अत: समांतर चतुर्भुज ABFE का क्षेत्रफल = 1/2 (24cm + 16cm) 4cm

= (24 cm + 16cm) 2cm

= 40cm × 2cm

अत: समांतर चतुर्भुज ABFE का क्षेत्रफल = 80 cm²

अब चूँकि समांतर चतुर्भुज ABFE का क्षेत्रफल = समांतर चतुर्भुज DHGC का क्षेत्रफल

अत: समांतर चतुर्भुज DHGC का क्षेत्रफल = 80 cm²

अत: दिये गये पिक्चर फ्रेम के प्रत्येक खंड का क्षेत्रफल क्रमश: 96 cm², 80 cm², 96 cm² and 80 cm² उत्तर