क्षेत्रमिति - आठवीं गणित

क्षेत्रमिति क्लास आठवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 11.3 प्रश्न संख्या (1) दो घनाभाकार डिब्बे हैं जैसा कि संलग्न आकृति में दर्शाया गया है। किस डिब्बे को बनाने के लिए कम सामग्री की आवश्यकता है?

हल

प्रश्न को हल करने की योजना दिये गये डब्बे को बनाने में आवश्यक सामग्री डिब्बों के आयतन के बराबर होगी। अत: दिये गये डब्बों में से जिसका आयतन कम होगा उसे बनाने में कम सामग्री की आवश्यकता होगी।

घनाभाकार डब्बा A के लिए

दिया गया है, लम्बाई (l) = 60cm

चौड़ाई (b) = 40cm

और, ऊँचाई (h) = 50cm

अत: आयतन = ?

हम जानते हैं कि, एक घनाभ का आयतन = लम्बाई × चौड़ाई × ऊँचाई

अत: दिये गये घनाभाकार डिब्बे का आयतन = 60cm × 40cm × 50cm

= 120000 cm³

अत: घनाभाकार डिब्बे A का आयतन = 120000cm³

अत: घनाभाकार डिब्बे A को बनाने के लिए 120000cm³ समाग्री की आवश्यकता होगी।

घनाभाकार डिब्बा B के लिए

दिया गया है लम्बाई (l) = 50cm

चौड़ाई (b) = 50cm

और ऊँचाई (h) = 50cm

अत: घनाभाकार डिब्बे का आयतन = ?

हम जानते हैं कि, एक घनाभ का आयतन = लम्बाई × चौड़ाई × ऊँचाई

अत: दिये गये घनाभाकार डिब्बे का आयतन = 50cm × 50cm × 50cm

= 125000 cm³

अत: दिये गये घनाभाकार डिब्बे B का आयतन = 125000cm³

अत: घनाभाकार डिब्बे B को बनाने के लिए आवश्यक सामग्री = 125000cm³

अत: 40cm चौड़ाई वाले घनाभाकार डिब्बे को बनाने के लिए कम सामग्री की आवश्यकता होगी। उत्तर

क्षेत्रमिति क्लास आठवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 11.3 प्रश्न संख्या (2) 80cm × 48cm × 24cm माप वाले एक सूटकेस को तिरपाल के कपड़े से ढ़कना है। ऐसे 100 सूटकेसों को ढ़कने के लिए 96cm चौड़ाई वाले कितने तिरपाल के कपड़े की आवश्यकता है?

हल

हल करने की योजना एक सूटकेस का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल उसे ढ़कने के लिए आवश्यक तिरपाल के क्षेत्रफल के बराबर होगा। तिरपाल के इस क्षेत्रफल में तिरपाल के दिये गये चौड़ाई से भाग देने पर एक सूटकेस को ढ़कने के लिए तिरपाल की लम्बाई ज्ञात हो जायेगी। इसे 100 से गुणा करने पर 100 सूटकेस को ढ़कने के लिए आवश्यक तिरपाल की लम्बाई ज्ञात की जा सकती है।

दिया गया है, सूटकेस की लम्बाई (l) = 80cm

= 80/100 m = 0.8m

तथा सूटकेस की चौड़ाई (b) = 48cm

= 48/100 m = 0.48m

तथा सूटकेस की ऊँचाई (h) = 24cm

= 24/100m = 0.24m

तिरपाल की चौड़ाई = 96cm

= 96/100m = 0.96m

अत: 100 सूटकेस को ढ़कने के लिए आवश्यक तिरपाल की लम्बाई मीटर में = ?

हम जानते हैं कि, घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(lb + bh + hl)

जहाँ l = लम्बाई, b = चौड़ाई और h = ऊँचाई

अत: दिये गये सूटकेस का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2[(0.8 × 0.48) + (0.48 × 0.24) + (0.24 × 0.8)] वर्ग मीटर

= 2(0.384 + 0.1152 + 0.192) m²

= 2 × 0.6912 m²

= 1.3824 m²

अत: सूटकेस का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 1.3824 m²

चूँकि सूटकेस का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 1.3824 m² है।

अत: एक सूटकेस को ढ़कने के लिए आवश्यक तिरपाल का क्षेत्रफल = 1.3824 m²

अब दिया गया है, तिरपाल की चौड़ाई = 0.96 m

मान लिया कि एक सूटकेस को ढ़कने के लिए आवश्यक तिरपाल की लम्बाई = k

हम जानते हैं कि एक आयत का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई

अत: तिरपाल का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई

⇒ 1.3824 m² = k × 0.96m

⇒ तिरपाल की लम्बाई (k) = 1.44m

अत: 1 सूटकेस को ढ़कने के लिए दिये गये चौड़ाई वाले 1.44m लम्बे तिरपाल की आवश्यकता होगी।

अब चूँकि 1 सूटकेस को ढ़कने के लिए आवश्यक तिरपाल की लम्बाई = 1.44m

अत: 100 सूटकेस को ढ़कने के लिए आवश्यक तिरपाल की लम्बाई = 1.44m × 100 = 144m

अत: 100 सूटकेस को ढ़कने के लिए आवश्यक तिरपाल की लम्बाई = 144m उत्तर

क्षेत्रमिति क्लास आठवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 11.3 प्रश्न संख्या (3) एक ऐसे घन की भुजा ज्ञात कीजिए जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल 600cm² है।

हल

दिया गया है घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 600cm²

अत: घन की एक भुजा = ?

मान लिया कि घन की भुजा = s

हम जानते हैं कि, घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6 × भुजा²

अत: दिये गये घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6 × भुजा²

⇒ 600cm² = 6 × s²

⇒ 6 × s² = 600cm²

⇒ s² = 100 cm²

⇒ s = 10cm

अत: दिये गये घन की एक भुजा = 10cm उत्तर

क्षेत्रमिति क्लास आठवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 11.3 प्रश्न संख्या (4) रूखसार ने 1m × 2m × 1.5m माप वाली एक पेटी को बाहर से पेंट किया। यदि उनसे पेटी के तल केअ अतिरिक्त उसे सभी जगह से पेंट किया हो तो ज्ञात कीजिए कि उसने कितने पृष्ठीय क्षेत्रफल को पेंट किया।

हल

दिया गया है, पेटी की लम्बाई (l) = 2m

पेटी की चौड़ाई (b) = 1m

तथा पेटी की ऊँचाई (h) = 1.5m

अत: आधार को छोड़कर पेटी का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = ?

हम जानते हैं कि, एक घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(lb + bh + hl)

जहाँ l = लम्बाई, b = चौड़ाई और h = ऊँचाई

अत: घनाभ आकार वाले पेटी का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2[(2m × 1m) + (1m × 1.5m) + (1.5m × 2m)]

= 2(2m² + 1.5m² + 3m²)

= 2 × 6.5m²

= 13m²

अत: घनाभ आकार वाले पेटी का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 13m²

पेटी के आधार के क्षेत्रफल की गणना

पेटी के आधार की लम्बाई = 2m और चौड़ाई = 1m

अब हम जानते हैं कि, = लम्बाई × चौड़ाई

अत: पेटी के आधार (तल) का क्षेत्रफल = 2m × 1m

⇒ पेटी के आधार (तल) का क्षेत्रफल = 2m²

अब चूँकि रूखसार ने पेटी के तल को छोड़कर पेटी को पेंट किया है, अत: तल अर्थात आधार को छोड़कर पेटी का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल

= पेटी का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल – पेटी के आधार का क्षेत्रफल

= 13m² – 2m²

= 11m²

अत: रूखसार द्वारा पेंट किया गया पेटी का क्षेत्रफल = 11m² उत्तर

क्षेत्रमिति क्लास आठवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 11.3 प्रश्न संख्या (5) डैनियल एक ऐसे घनाभाकार कमरे की दीवारों और छत को पेंट कर रहा है जिसकी लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमश: 15 m, 10 m और 7 m हैं। पेंट की प्रत्येक कैन की सहायता से 100m² क्षेत्रफल को पेंट किया जा सकता है। तो उस कमरे के लिए उसे पॆंट की कितनी कैनों की आवश्यकता होगी?

हल

प्रश्न को हल करने की योजना सर्वप्रथम कमरे के तल को छोड़कर कमरे के पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना करना है। फिर उस क्षेत्रफल में एक कैन द्वारा पेंट किये जाने वाले क्षेत्रफल अर्थात 100m² से भाग देने पर कैन की आवश्यक संख्या ज्ञात हो जायेगी।

दिया गया है, घनाभाकार कमरे की लम्बाई (l) = 15m

तथा घनाभाकार कमरे की चौड़ाई (b) = 10m

तथा घनाभाकार कमरे की ऊँचाई (h) = 7m

एक कैन द्वारा पेंट किया जा सकने वाला क्षेत्रफल = 100m²

अत: कमरे के तल को छोड़कर उसे पेंट करने के लिए आवश्यक कैन की संख्या = ?

हम जानते हैं कि, एक घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(lb + bh + hl)

जहाँ l = लम्बाई, b = चौड़ाई और h = ऊँचाई

अत: घनाभाकार वाले कमरे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2[(15m × 10m) + (10m × 7m) + (7m × 15m)]

= 2(150m² + 70m² + 105m²)

= 2 × 325m²

= 650 m²

अत: घनाभाकार कमरे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 650m²

कमरे के तल के क्षेत्रफल की गणना

हम जानते हैं कि, एक आयत का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई

अत: कमरे के तल का क्षेत्रफल = 15m × 10m

⇒ कमरे के तल का क्षेत्रफल = 150m²

अब तल को छोड़कर कमरे का पृष्ठीय क्षेत्रफल = कमरे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल – कमरे के तल का क्षेत्रफल

= 650m² – 150m²

= 500m²

⇒ अत: कमरे को पेंट किये जाने भाग का क्षेत्रफल= 500m²

कमरे को पेंट किये जाने के लिए आवश्यक कैन की संख्या की गणना

∵ 100m² क्षेत्रफल को पेंट करने के लिए आवश्यक कैन की संख्या = 1

∴ 1m² क्षेत्रफल को पेंट करने के लिए आवश्यक कैन की संख्या

∴ 500m² क्षेत्रफल को पेंट करने के लिए आवश्यक कैन की संख्या

अत: दिये गये कमरे को पेंट करने के लिये आवश्यक कैन की संख्या = 5 उत्तर