क्षेत्रमिति - आठवीं गणित

क्षेत्रमिति क्लास आठवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 11.3 प्रश्न संख्या (6) वर्णन कीजिए कि दाईं तरफ दी गयी आकृतियाँ किस प्रकार एक समान हैं और किस प्रकार एक दूसरे से भिन्न हैं? किस डिब्बे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल अधिक है?

हल

दोनों चित्रों वीमाओं के आधार पर समान परंतु आकार में भिन्न हैं एक बेलनाकार है जबकि दूसरा घन के आकार का है।

बेलन के पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना

दिया गया है बेलन की ऊँचाई = 7cm

तथ बेलन का ब्यास = 7cm

अत: बेलन की त्रिज्या = ब्यास/2

=7/2=3.5cm

अत: दिये गये बेलन की त्रिज्या = 3.5cm

अत: दिये गये बेलनाकार टैंक का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = ?

हम जानते हैं कि, एक बेलन का पार्श्व पृष्ठीय या वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh

अत: दिये गये बेलन का पार्श्व पृष्ठीय या वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 π × 3.5cm × 7cm

= 2 × 22 × 3.5 cm²

= 154 cm²

बेलन का पार्श्व पृष्ठीय या वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 154cm²

घन के वक्र पृष्ठ या पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना

हम जानते हैं कि, एक घन का पार्श्व पृष्ठीय या वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2h(l+b)

अत: दिये गये घनाकार टैंक का पार्श्व पृष्ठीय या वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 × 7cm (7cm +7cm)

= 14 cm × 14

अत: दिये गये घनाकार टैंक का पार्श्व पृष्ठीय या वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 196 cm²

दोनों चित्र वीमाओं के आधार पर समान हैं परंतु आकार में भिन्न है। एक बेलनाकार है जबकि दूसरा घनाकार। तथा घनाकार टैंक का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल अधिक है तथा 196 cm² के बराबर है। उत्तर

क्षेत्रमिति क्लास आठवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 11.3 प्रश्न संख्या (7) 7m त्रिज्या और 3m ऊँचाई वाला एक बंद बेलनाकार टैंक किसी धातु की चादर से बना हुआ अहि। उसे बनाने के लिए वांछित धातु की चादर की मात्रा ज्ञात कीजिए।

हल

प्रश्न को हल करने की योजना दिये गये बेलनाकार टैंक को बनाने के लिए धातु के चादर की आवश्यक मात्रा बेलन के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल के बराबर होगी। अत: टैंक के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना कर उत्तर ज्ञात किया जा सकता है।

दिया गया है, बेलनाकार टैंक की त्रिज्या = 7m

तथा टैंक की ऊँचाई = 3m

अत: बेलनाकार टैंक का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = ?

बेलनाकार टैंक का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना

हम जानते हैं कि, एक बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr(r+h)

अत: दिये गये बेलनाकार टैंक का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 2 × 22 × 10m²

= 440 m²

अत: दिये गये बेलनाकार टैंक का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 440m²

अत: दिये गये बेलनाकार टैंक को बनाने के लिए वांछित धातु के चादर की आवश्यक मात्रा = 440m² उत्तर

क्षेत्रमिति क्लास आठवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 11.3 प्रश्न संख्या (8) एक खोखले बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 4224 cm² है। इसे इसकी ऊँचाई के अनुदिश काटकर 33cm चौड़ाई की एक आयताकार चादर बनाई जाती है। आयताकार चादर का परिमाप ज्ञात कीजिए।

हल

प्रश्न को हल करने की योजना दिये गये खोखले बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल चादर के क्षेत्रफल के बराबर होगी। इस क्षेत्रफल में चादर की चौड़ाई से भाग देकर चादर की लम्बाई ज्ञात की जा सकती है। फिर लम्बाई और चौड़ाई के उपयोग से चादर के परिमाप की गणना की जा सकती है।

दिया गया है, खोखले बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4224cm²

चूँकि दिये गये खोखले बेलन को लम्बाई के अनुदिश काट कर आयताकार चादर बनायी गयी है, अत: चादर का क्षेत्रफल = खोखले बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4224cm²

तथा आयताकार चादर की चौड़ाई = 33cm

हम जानते हैं कि, आयत का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई

⇒ 4224cm² = लम्बाई × 33cm

अत: लम्बाई

⇒ लम्बाई = 128 cm

आयताकार चादर के परिमाप की गणना

हम जानते हैं कि, आयत का परिमाप = 2(Length + Breadth)

अत: दिये गये आयताकार चादर का परिमाप = 2 (128cm + 33cm)

= 2 × 161 cm

= 322 cm

अत: दिये गये आयताकार चादर का परिमाप = 322 cm उत्तर

क्षेत्रमिति क्लास आठवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 11.3 प्रश्न संख्या (9) किसी सड़क को समतल करने के लिए एक सड़क रोलर को सड़क के ऊपर एक बार घूमने के लिए 750 चक्कर लगाने पड़ते हैं। यदि सड़क रोलर का व्यास 84cm और लम्बाई 1m है तो सड़क का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

प्रश्न को हल करने की योजना रोड रोलर का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल उसके एक बार चक्कर लगाने में तय किये गये सड़क के क्षेत्रफल के बराबर होगा। अत: रोड रोलर के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल को दिये गये कुल चक्कर 750 से गुणा करने पर समतल किये जाने वाले सड़क का क्षेत्रफल ज्ञात होगा।

हल

दिया गया है, रोड रोलर को सड़क के ऊपर एक बार घूमने में लगाये जाने वाले चक्करों की संख्या = 750

तथा रोड रोलर का व्यास = 84cm

= 84/100m = 0.84m

अत: रोड रोलर की त्रिज्या = 0.84/2 = 0.42m

तथा रोड रोलर की लम्बाई = 1m

अत: सड़क का क्षेत्रफल = ?

हम जानते हैं कि, एक बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh

अत: दिये गये रोड रोलर का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 2 × 22 × 0.6 × 1 m²

= 26.4 m²

अत: दिये गये रोड रोलर का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 26.4 m²

अब चूँकि रोड रोलर के एक चक्कर में समतल किये जाने वाले सड़क का क्षेत्रफल = 26.4m²

अत: रोड रोलर के 750 चक्कर में समतल किये जाने वाले सड़क का क्षेत्रफल = 26.4m² × 750

= 1980 m²

अत: रोड रोलर द्वारा समतल किये गये सड़क का क्षेत्रफल = 1980 m² उत्तर

क्षेत्रमिति क्लास आठवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 11.3 प्रश्न संख्या (10) एक कम्पनी अपने दूध पाउडर को ऐसे बेलनाकार बर्तनों में पैक करती है जिनका व्यास 14cm और ऊँचाई 20cm है। कम्पनी बर्तन के पृष्ठ के चारों ओर एक लएबल लगाती है (जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है)। यदि यह लेबल बर्तन के तल और शीर्ष दोनों से 2cm की दूरी पर चिपकाया जाता है तो लेबल का क्षेत्रफल क्या है?

हल

दूध पाउडर के बेलनाकार बर्तन का व्यास = 14cm

अत: बर्तन की त्रिज्या = व्यास/2 = 14/2

अत: दिये गये बेलनाकार बर्तन की त्रिज्या = 7 cm

तथा बर्तन की ऊँचाई (h) = 20cm

तथा दिया गया है कि लेबल को बर्तन के तल और शीर्ष दोनों से 2cm की दूरी पर चिपकाया जाता है।

तो लेबल का क्षेत्रफल = ?

चूँकि लेबल को बर्तन के शीर्ष और तल से चिपकाने की दूरी = 2cm

लेबल की ऊँचाई = बर्तन की ऊँचाई – (2cm + 2cm)

= 20 cm – 4cm = 16cm

अत: लेबल की ऊँचाई = 16cm

तथा लेबल की त्रिज्या = दूध के बर्तन की त्रिज्या = 7cm

अत: लेबल का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = लेबल का क्षेत्रफल

अब हम जानते हैं कि, एक बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh

अत: दिये गये लेबल का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 2 × 22 × 16 cm²

= 704 cm²

अत: दिये गये लेबल का क्षेत्रफल = 704 cm² उत्तर