क्षेत्रमिति - आठवीं गणित

क्षेत्रमिति क्लास आठवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 11.4 प्रश्न संख्या (1) आपको एक बेलनाकार टैंक दिया हुआ है, निम्नलिखित में से किस स्थिति में आप उसका पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करेंगे और किस स्थिति में आयतन।

(a) यह ज्ञात करने के लिए कि इसमें कितना पानी रखा जा सकता है।

(b) इसका प्लास्टर करने के लिए वांछित सीमेंट बोरियों की संख्या

(c) इसमें भरे पानी से भरे जाने वाले छोटे टैंकों की संख्या।

हल

(a) यह ज्ञात करने के लिए कि इसमें कितना पानी रखा जा सकता है।

आयतन उत्तर

ब्याख्या

यह ज्ञात करने के लिए कि इस दिये गये टैंक में कितना पानी रखा जा सकता है, दिये गये टैंक के आयतन को ज्ञात करना होगा क्योंकि इसमें रखे जाने वाले पानी का आयतन टैंक के आयतन के बराबर होगा।

(b) इसका प्लास्टर करने के लिए वांछित सीमेंट बोरियों की संख्या

पृष्ठीय क्षेत्रफल उत्तर

ब्याख्या

चूँकि प्लास्टर दिये गये टैंक के ऊपरी सतह पर चढ़ाया जाना है अत: इसमें लगने वाले आवश्यक सींमेंट की बोरियों की संख्या ज्ञात करने के लिए टैंक के पृष्ठीय क्षेत्रफल को ज्ञात करने की आवश्यकता होगी।

(c) इसमें भरे पानी से भरे जाने वाले छोटे टैंकों की संख्या।

टैंक का आयतन एवं इससे भरे जाने वाले छोटे टैंकों का आयतन उत्तर

ब्याख्या

दिये गये टैंक के आयतन को उससे भरे जाने वाले छोटे टैंकों के आयतन से भाग देने पर छोटे टैंकों की संख्या ज्ञात की जा सकती है।

क्षेत्रमिति क्लास आठवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 11.4 प्रश्न संख्या (2) बेलन A का व्यास 7cm और ऊँचाई 14cm है। बेलन B का व्यास 14cm और ऊँचाई 7cm है। परिकलन किए बिना क्या आप बता सकते हैं कि इन दोनों में किसका आयतन अधिक है। दोनों बेलनों का आयतन ज्ञात करते हुए इसका सत्यापन कीजिए। जाँच कीजिए कि क्या अधिक आयतन वाले बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल भी अधिक है?

हल

हम जानते हैं कि एक बेलन का आयतन = πr²h

इसका अर्थ है कि बेलन जिसकी त्रिज्या अधिक होगी उसका आयतन अधिक होगा तथा जिसकी त्रिज्या कम होगी उसका आयतन अपेक्षाकृत कम होगा। अत: बेलन B जिसकी त्रिज्या बेलन A की त्रिज्या से अधिक है, उसका आयतन अधिक होगा।

अर्थात बेलन B का आयतन अधिक होगा।

बेलन A के आयतन की गणना

दिया गया है, व्यास = 7cm

अत: त्रिज्या (r) = 7/2 = 3.5cm

तथा ऊँचाई (h) = 14cm

अत: आयतन = ?

हम जानते हैं कि एक बेलन का आयतन = πr²h

अत: बेलन A का आयतन

= 22 × 12.25 × 2

= 539 cm³

अत: बेलन A का आयतन = 539 cm³

बेलन A के पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना

हम जानते हैं कि, बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr(r + h)

अत: बेलन A का पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 2 × 22 × 0.5 × 17.5

= 22 × 17.5

= 385 cm²

अत: बेलन A का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 385cm²

बेलन B के आयतन की गणना

दिया गया है, व्यास = 14cm

अत: त्रिज्या (r) = 14/2 = 7cm

तथा ऊँचाई (h) = 7cm

अत: बेलन का आयतन = ?

हम जानते हैं कि एक बेलन का आयतन = πr²h

अत: बेलन B का आयतन

= 22 × 49

= 1078 cm³

अत: बेलन B का आयतन = 1078 cm³

बेलन B के पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना

हम जानते हैं कि, एक बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr(r + h)

अत: बेलन B का पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 2 × 22 × 14

= 616 cm²

अत: बेलन B का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 616cm²

अत: बेलन B का आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल बेलन A से अधिक है। उत्तर

क्षेत्रमिति क्लास आठवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 11.4 प्रश्न संख्या (3) एक ऐसे घनाभ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए जिसके आधार का क्षेत्रफल 180 cm² और जिसका आयतन 900 cm³ है?

हल

दिया गया है दिये गये घनाभ के आधार का क्षेत्रफल = 180 cm²

और दिये गये घनाभ का आयतन = 900 cm³

अत: दिये गये घनाभ की ऊँचाई (h) = ?

हम जानते हैं कि, घनाभ का आयतन = लम्बाई × चौड़ाई × ऊँचाई

⇒ घनाभ का आयतन = घनाभ के आधार का क्षेत्रफल × ऊँचाई

⇒ 900cm³ = 180cm² × ऊँचाई

⇒ ऊँचाई

⇒ ऊँचाई = 5 cm

अत: दिये गये घनाभ की ऊँचाई = 5 cm उत्तर

क्षेत्रमिति क्लास आठवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 11.4 प्रश्न संख्या (4) एक घनाभ की विमाएँ 60cm × 54cm × 30cm हैं। इस घनाभ के अंदर 6 cm भुजा वाले कितने छोटे घन रखे जा सकते हैं?

हल

दिया गया है, घनाभ की विमाएँ = 60cm × 54cm × 30cm

तथा एक घन की एक भुजा = 6cm

अत: दिये गये घनाभ में 6cm भुजा वाले घन रखे जा सकने की संख्या = ?

हम जानते हैं कि, एक घनाभ का आयतन = लम्बाई × चौड़ाई × ऊँचाई

अत: दिये गये घनाभ का आयतन = 60cm × 54cm × 30cm

= 97200 cm³

तथा हम जानते हैं कि, एक घन का आयतन = भुजा³

अत: दिये गये घन का आयतन = (6 cm)³

= 216 cm³

अब दिये गये घनाभ में दिये गये घन को रखे जा सकने की संख्या = घनाभ का आयतन/घन का आयतन

= 450

अत: दिये गये घनाभ में दिये गये घन को रखे जाने की अधिकतम संख्या = 450 उत्तर

क्षेत्रमिति क्लास आठवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 11.4 प्रश्न संख्या (5) एक ऐसे बेलन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए जिसका आयतन 1.54 m³ और जिसके आधार का व्यास 140 cm है।

हल

दिया गया है बेलन का आयतन = 1.54 cm³

तथा उस दिये गये बेलन के आधार का व्यास = 140cm

अत: उस दिये गये बेलन के आधार की त्रिज्या (r) = 140/2 =70cm

= 70/100m = 0.7 m

अत: बेलन की ऊँचाई = ?

हम जानते हैं कि, बेलन का आयतन = π r² h

⇒ 1.54 = 22 × 0.1 × 0.7 × h

⇒ 1.54 = 1.54 × h

⇒ h = 1 m

अत: दिये गये बेलन की ऊँचाई = 1m उत्तर

क्षेत्रमिति क्लास आठवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 11.4 प्रश्न संख्या (6) एक दूध का टैंक बेलन के आकार का है जिसकी त्रिज्या 1.5m और लम्बाई 7m है। इस टैंक में भरे जा सकने वाले दूध की मात्रा लीटर में ज्ञात कीजिए।

हल

दिया गया है दूध का टैंक जो बेलन के आकार का है की त्रिज्या (r) = 1.5 m

तथा टैंक की लम्बाई = 7m

अत: टैंक में भरे जा सकने वाली दूध की मात्रा लीटर में = ?

दिये गये बेलनाकार टैंक में भरे जा सकने वाली दूध की मात्र लीटर में = टैंक का आयतन घन मीटर में × 1000

हम जानते हैं कि, एक बेलन का आयतन = π r² h

अत: दिये गये बेलनाकार दूध के टैंक का आयतन

= 22 × 2.25 m³

= 49.5 m³

अत: दूध के टैंक का आयतन = 49.5 m³

अब हम जानते हैं कि 1 घन मीटर = 1000 लीटर

अत:, 49.5 घन मीटर = 49.5 × 1000 लीटर

= 49500 लीटर

अत: दिये गये टैंक में रखे जा सकने वाली दूध की मात्रा = 49500 लीटर उत्तर

क्षेत्रमिति क्लास आठवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 11.4 प्रश्न संख्या (7) यदि किसी घन के प्रत्येक किनारे को दुगुना कर दिया जाये, तो

(i) इसके पृष्ठीय क्षेत्रफल में कितने गुना की वृद्धि होगी?

(ii) इसके आयतन में कितने गुना की वृद्धि होगी?

हल

मान लिया कि घन का किनारा = a

हम जानते हैं कि, एक घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6 a²

और जब घन का किनारा दुगुना हो जाता है, अर्थात घन का किनारा = 2a

घन के पृष्ठीय क्षेत्रफल में वृद्धि जब उसका किनारा दुगुना हो जाता है

घन के किनारे के दुगुने हो जाने की स्थिति में उसका पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6 (2a)²

= 6 × 4 a²

= 4 × 6a²

अत: घन के किनारे के दुगुना हो जाने पर उसके पृष्ठीय क्षेत्रफल में होने वाली वृद्धि = 4 गुना

एक घन के किनारे के दुगुना हो जाने की स्थिति में उसके आयतन में होने वाली वृद्धि

हम जानते हैं कि, एक घन का आयतन = a³

अत: जब घन का किनारा दुगुना हो जाता है, अर्थात a = 2a

अत: किनारा दुगुना हो जाने पर घन का आयतन = (2a)³

= 8 a³

अत: किनारा दुगुना हो जाने पर घन का आयतन 8 गुना बढ़ जाता है।

अत: जब एक घन का किनारा दुगुना हो जाता है, तो उसके पृष्ठीय क्षेत्रफल में वृद्धि 4 गुना और आयतन में वृद्धि 8 गुना हो जाता है। उत्तर

क्षेत्रमिति क्लास आठवीं गणित एनसीईआरटी प्रश्नावली 11.4 प्रश्न संख्या (8) एक कुंड के अंदर 60 लीटर प्रति मिनट की दर से पानी गिर रहा है। यदि कुंड का आयतन 108 m³ है, तो ज्ञात कीजिए कि इस कुंड को भरने में कितने घंटे लगेंगे।

हल

दिया गया है, कुंड का आयतन = 108 m³

= 108 × 1000 लीटर

= 10800 लीटर

तथा कुंड में पानी के गिरने की दर = 60 लीटर प्रति मिनट

अत: कुंड के भरने में लगने वाला समय घंटा में = ?

∵ कुंड में 60 पानी भरने में लगने वाला समय = 1 मिनट

∴ कुंड में 1 लीटर पानी भरने में लगने वाला समय = 1/60 मिनट

∴ कुंड में 108000 लीटर पानी भरने में लगने वाला समय minute

= 1800 मिनट

= 1800/60 घंटा = 30 घंटा

अत: कुंड को भरने में लगने वाला समय = 30 घंटा उत्तर