प्रायोगिक ज्यामिति - आठवीं गणित

एक चतुर्भुज की रचना करना जब तीन भुजाएँ और उनके बीच के दो कोणों की माप दी हो

क्लास 8 गणित प्रायोगिक ज्यामिति चतुर्भुज की रचना एनसीईआरटी प्रश्नावली 4.4 का हल प्रश्न संख्या (1) निम्नलिखित चतुर्भुजों की रचना कीजिए

(i) चतुर्भुज DEAR

DE = 4 cm

EA = 5 cm

AR = 4.5 cm

∠E = 60^o

∠A = 90^o

हल

सर्वप्रथम दिये गये चतुर्भुज की रचना को समझने के लिए सबसे पहले उसके रचना की एक कच्ची आकृति खींचकर उसके मापों को चिन्हित करें।

चरण (i) भुजा DE की रचना के लिए एक क्षैतिज रेखा खींचे और उसे 4 cm की लम्बाई में दो चापों की सहायता से काटें।

चरण (ii) बिन्दु E पर एक 60^o का कोण बनायें तथा कोण बनाने वाली रेखा को आगे तक बढ़ायें। कोण बनाने वाली रेखा पर 5cm त्रिज्या का एक चाप बनायें। इस कोण बनाने वाली रेखा को चाप जहाँ पर काटती है उस बिन्दु का नाम A रखें।

चरण (iii) बिन्दु A पर एक 90^o का कोण बनायें और इस कोण बनाने वाली रेखा पर एक त्रिज्या वाले चाप की सहायता से चिन्ह लगायें। चाप जहाँ पर रेखा को काटती है, उस बिन्दु का नाम R रखें।

चरण (iv) बिन्दु R और बिन्दु D को मिलायें, यह दिये गये चतुर्भुज की भुजा RD हुई।

यह दिये गये चतुर्भुज की रचना है।

क्लास आठवीं गणित प्रायोगिक ज्यामिति चतुर्भुज की रचना एनसीईआरटी प्रश्नावली 4.4 का हल प्रश्न संख्या (1) (ii) चतुर्भुज TRUE जिसमें

TR = 3.5 cm

RU = 3 cm

UE = 4 cm

∠R = 75^o

∠U = 120^o

हल

दिये गये चतुर्भुज की रचना को समझने के लिए सबसे पहले उसके रचना की एक कच्ची आकृति खींचकर उसके मापों को चिन्हित करें।

चरण (i) एक क्षैतिज रेखा खींचकर उसे दो चाप की सहायता से 3.5 cm लम्बाई में काटें।

चरण (ii) बिन्दु R पर एक 75^o का कोण बनायें। और इस कोण बनाने वाली रेखा पर एक चाप का बनायें। चाप जहाँ पर रेखा को काटती है, उस बिन्दु का नाम U रखें। यह दिये गये चतुर्भुज की भुजा RU हुयी।

चरण (iii) बिन्दु U पर एक का कोण बनायें। इस कोण बनाने वाली रेखा पर एक 4 cm त्रिज्या वाले चाप से चिन्ह लगायें अर्थात उस रेखा को 4 cm लम्बाई में काटें। चाप जहाँ पर रेखा को काटती है, उस बिन्दु का नाम E रखें।

चरण (iv) अब बिन्दु E और T को मिलायें और दिये गये चतुर्भुज की रचना को पूरा करें।

यह दिये गये चतुर्भुज की रचना है।

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए (1) उपरोक्त उदाहरण में, हमने सर्वप्रथम BC खींची। इसके स्थान पर दूसरे अन्य प्रारम्भ बिन्दु और कौन से हो सकते हैं?

हल

इस प्रश्न में दिया गया उदाहरण है उदाहरण (4) एक चतुर्भुज ABCD की रचना कीजिए जहाँ AB = 4 cm, BC = 5 cm, CD = 6.5 cm और ∠B = 105^o और ∠C = 80^o है।

इस हल किये गये उदाहरण में चतुर्भुज की रचना भुजा BC = 5 cm से शुरू की गयी है।

इस चतुर्भुज की रचना या DC = 6.5 cm दोनों में से किसी भुजा से शुरू करते हुए की जा सकती है।

भुजा AB से शुरू करते हुए दिये गये चतुर्भुज की रचना निम्नांकित तरह से की जा सकती है।

यहाँ चतुर्भुज की रचना है।

दिये गये चतुर्भुज की रचना को समझने के लिए सबसे पहले उसके रचना की एक कच्ची आकृति खींचकर उसके मापों को चिन्हित करें।

भुजा AB = 4 cm से शुरू कर दिये गये चतुर्भुज की रचना

चरण (i) भुजा AB की रचना के लिए सर्वप्रथम एक क्षैतिज रेखा खींचे और उसमें से कम्पास और स्केल की सहायता से 4 cm लम्बाई का एक खंड काटें।

चरण (ii) बिन्दु B पर एक 105^o का कोण बनायें। और इस कोण बनाने वाली रेखा पर एक 5 cm की त्रिज्या वाले चाप की सहायता से एक चिन्ह लगायें। यह दिये गये चतुर्भुज की भुजा BC = 5cm हुयी।

चरण (iii) बिन्दु C पर एक 80^o का कोण बनायें। और इस कोण बनाने वाली रेखा पर एक 5 cm की त्रिज्या वाले चाप की सहायता से एक चिन्ह लगायें। इस रेखा को बिन्दु M तक बढ़ायें।

चरण (iv) इस रेखा BM पर एक त्रिज्या का चाप बनायें। चाप द्वारा रेखा को काटे गये बिन्दु का नाम D रखें। यह दिये गये चतुर्भुज की भुजा CD = 6.5 cm हुयी।

चरण (v) बिन्दु D और C को एक सरल रेखा द्वारा मिलायें और दिये गये चतुर्भुज की रचना पूरा करें।

यह दिये गये चतुर्भुज की रचना है।

सोचिये, चर्चा कीजिए और लिखिए (2) हमने अभी तक चतुर्भुजों की रचना के लिए कोई पाँच मापों का प्रयोग किया। क्या एक चतुर्भुज की रचना करने के लिए पाँच मापों के अलग-अल्ग समुच्चय (अभी तक देखे गये मापों के अतिरिक्त) हो सकते हैं?

निम्नलिखित समस्याएँ प्रश्नों के उत्तर देने में आपकी सहायता कर सकती है।

(i) चतुर्भुज ABCD जिसमें AB = 5 cm, BC = 5.5 cm, CD = 4 cm, AD = 6 cm और ∠B = 80^o

हल

दिये गये चतुर्भुज की रचना को समझने के लिए सबसे पहले उसके रचना की एक कच्ची आकृति खींचकर उसके मापों को चिन्हित करें।

दिये गये चतुर्भुज की रचना

चरण (i) भुजा AB की रचना के लिए सर्वप्रथम एक क्षैतिज रेखा खींचे और इस रेखा पर एक 5cm का खंड चाप की सहायता से काटें।

चरण (ii) बिन्दु B पर एक 80^o का कोण बनायें और कोण बनाने वाली रेखा को आगे तक बढ़ायें।

चरण (iii) इस कोण बनाने वाली रेखा पर के 5.5 cm के चाप की सहायता से खंड काटें। चाप और रेखा के कटाव वाले बिन्दु का नाम C रखें।

चरण (iv) भुजा CD की रचना के लिए बिन्दु C से एक 4cm त्रिज्या वाला चाप खींचे और भुजा AD की रचना के लिए बिन्दु A से एक 6 cm त्रिज्या वाला चाप खींचे। चापों के मिलने वाले बिन्दु का नाम D रखें।

चरण (iv) बिन्दु A और बिन्दु D को एक सरल रेखा द्वारा मिलायें और दिये गये चतुर्भुज की रचना पूरा करें।

यह दिये गये चतुर्भुज ABCD की रचना है।

अत: चारों भुजाएँ और एक कोण ज्ञात रहने पर चतुर्भुज की रचना की जा सकती है।

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए (2) (ii) चतुर्भुज PQRS जिसमें , ∠P = 70^o, ∠Q = 100^o, ∠R = 80^o, और ∠S = 110^o है।

हल

एक अद्वितीय चतुर्भुज की रचना करने के लिए निम्नलिखित में से किसी एक परिस्थिति अनिवार्य है

(i) जब चार भुजाएँ और एक विकर्ण दिया हुआ है।

(ii) जब दो विकर्ण और तीन भुजाएँ दी हुई हैं।

(iii) जब दो आसन्न भुजाएँ और तीन कोण दिये हुए हैं।

(iv) जब तीन भुजाएँ और उनके बीच के दो कोण दिये हुए हैं।

(v) जब अन्य विशिष्ट गुण ज्ञात हैं।

चूँकि दिये गये प्रश्न में चार कोण और एक भुजा दी गयी है, जो कि इन दिये गये परिस्थितियों में से कोई नहीं है, अत: दिये गये स्थिति में एक अद्वितीय चतुर्भुज की रचना संभव नहीं है।