प्रश्न : 6 के प्रथम 20 गुणकों का औसत कितना होगा?
सही उत्तर 63
हल एवं ब्याख्या
63
ब्याख्या:
6 के प्रथम 20 गुणकों का औसत ज्ञात करने की लघु विधि (शॉर्टकट ट्रिक)
किसी p संख्या के प्रथम n गुणकों के औसत की गणना सूत्र
p + (n-1) p/2 के उपयोग से गणना की जा सकती है।
प्रश्न 6 के प्रथम 20 गुणकों का औसत निकालें का हल
यहाँ p = 6 तथा n = 20
अत: औसत
= 6 + (20-1)6/2
= 6 + 19 × 3
= 6 + 57
= 63
अत: 6 के प्रथम 20 गुणकों का औसत 63 है।
6 के प्रथम 20 गुणकों का औसत निकालने की वैकल्पिक विधि
चरण (क) सर्वप्रथम 6 के प्रथम 20 गुणकों का योग निकालें।
चरण: (ख) तत्पश्चात उस योग को 20 से भाग देने पर 6 के प्रथम 20 गुणकों (multiples) का औसत प्राप्त होगा।हल:
6 के प्रथम 20 गुणक हैं
6, 12, 18, 24,. . . . ., 120
यह सूची एक समांतर श्रेणी बनाती है।
यहाँ प्रथम पद (a) = 6
सार्व अंतर (d) = 6
तथा पदों की संख्या = 20
एक समांतर श्रेणी के n पदों का योग
Sn = n/2[2a + (n – 1) d] होता है।
अत: S20 = 20/2 [2 × 6 + (20 – 1) 6]
= 10 [12 + (19 × 6)]
= 10 [12 + 114]
= 10 × 126
= 1260
औसत ज्ञात करने का सूत्र
औसत = दी गयी संख्याओं का योग/संख्याओं की संख्या
अत: 6 के प्रथम 20 गुणकों का औसत
= 1260/20 = 63
अत: 6 के प्रथम 20 गुणकों का औसत 63 है।
6 के प्रथम 20 गुणकों का औसत निकालने की दूसरी वैकल्पिक विधि
6 के प्रथम 20 गुणक हैं
6, 12, 18, 24, . . . . ., 120
अत: 6 के प्रथम 20 गुणक का योग
= 6 + 12 + 18 + 24 . . . . . + 120= 6 (1 + 2 + 3 +. . . ..+ 20)
= 6 × [20 (20 + 1)]/2
[∵ प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग = n(n + 1)/2]
= 6 × (20 × 21)/2
= 6 × 420/2
= 6 × 210
= 1260
अब 6 के प्रथम 20 गुणकों का औसत
= 1260/20 = 63
अत: 6 के प्रथम 20 गुणकों का औसत 63 है।
=63 उत्तर
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