प्रश्न : 2 के प्रथम 50 गुणकों (multiples) का औसत कितना होगा?
सही उत्तर
51
हल एवं ब्याख्या
51
ब्याख्या:
2 के प्रथम 50 गुणकों का औसत ज्ञात करने की लघु विधि (शॉर्टकट ट्रिक)
किसी p संख्या के प्रथम n गुणकों का औसत
= p +(n-1)p/2 सूत्र के उपयोग से गणना की जा सकती है।
अत: 2 के प्रथम 50 गुणकों का औसत निकालें
यहाँ p = 2 तथा n = 50
अत: औसत = 2 + (50 – 1) 2/2
= 2 + 49
= 51
अत: 2 के प्रथम 50 गुणकों का औसत 51 है।
2 के प्रथम 50 गुणकों का औसत निकालने की वैकल्पिक विधि
विधि: सर्वप्रथम 2 के प्रथम 50 गुणकों का योग निकालें।
फिर उस योग में 50 से भाग देने पर 2 के प्रथम 50 गुणकों का औसत प्राप्त होगा।
हल:
2 के प्रथम 50 गुणक हैं
2, 4, 6, 8, . . . . 100
यह सूची एक समांतर श्रेणी बनाता है।
यहाँ प्रथम पद a = 2
सार्व अंतर (कॉमन डिफ्रेंस) = 2
तथा पदों की संख्या = 50
एक समांतर श्रेणी के n पदों का योग
Sn = n/2[2a + (n - 1)d] होता है।
अत: S50 = 50/2 [2 × 2 +(50 – 1)2]
= 25[4 +(49 × 2)]
= 25 [4 + 98]
= 25 × 102
= 2550
2 के प्रथम 50 गुणकों का औसत
= 2550/50 = 51
अत: 2 के प्रथम 50 गुणकों का औसत 51 है।
2 के प्रथम 50 गुणकों का औसत निकालने की दुसरी वैकल्पिक विधि
2 के प्रथम 50 गुणक (मल्टिपल्स) हैं
2, 4, 6, 8, . . . . 100
अत: 2 के प्रथम 50 गुणकों (मल्टिपल्स) का योग
= 2 + 4 + 6 + 8 . . . .+ 100
= 2(1 + 2 + 3+. . . + 50)
= 2 ×50(50 + 1)/2
[∵ प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग = n(n+1)/2]
= 2 × (50 × 51)/2
= 2 × 2550/2
= 2550
अब 2 के प्रथम 50 गुणकों (मल्टिपल्स) का औसत
= 2550/50 = 51
अत: 2 के प्रथम 50 गुणकों (मल्टिपल्स) का औसत 51 है।उत्तर 51
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