औसत
गणित एमoसीoक्यूo


प्रश्न :    6 के प्रथम 20 गुणकों का औसत कितना होगा?


सही उत्तर  63

हल एवं ब्याख्या

63

ब्याख्या:

6 के प्रथम 20 गुणकों का औसत ज्ञात करने की लघु विधि (शॉर्टकट ट्रिक)

किसी p संख्या के प्रथम n गुणकों के औसत की गणना सूत्र

p + (n-1) p/2 के उपयोग से गणना की जा सकती है।

प्रश्न 6 के प्रथम 20 गुणकों का औसत निकालें का हल

यहाँ p = 6 तथा n = 20

अत: औसत

= 6 + (20-1)6/2

= 6 + 19 × 3

= 6 + 57

= 63

अत: 6 के प्रथम 20 गुणकों का औसत 63 है।

6 के प्रथम 20 गुणकों का औसत निकालने की वैकल्पिक विधि

चरण (क) सर्वप्रथम 6 के प्रथम 20 गुणकों का योग निकालें।

चरण: (ख) तत्पश्चात उस योग को 20 से भाग देने पर 6 के प्रथम 20 गुणकों (multiples) का औसत प्राप्त होगा।

हल:

6 के प्रथम 20 गुणक हैं

6, 12, 18, 24,. . . . ., 120

यह सूची एक समांतर श्रेणी बनाती है।

यहाँ प्रथम पद (a) = 6

सार्व अंतर (d) = 6

तथा पदों की संख्या = 20

एक समांतर श्रेणी के n पदों का योग

Sn = n/2[2a + (n – 1) d] होता है।

अत: S20 = 20/2 [2 × 6 + (20 – 1) 6]

= 10 [12 + (19 × 6)]

= 10 [12 + 114]

= 10 × 126

= 1260

औसत ज्ञात करने का सूत्र

औसत = दी गयी संख्याओं का योग/संख्याओं की संख्या

अत: 6 के प्रथम 20 गुणकों का औसत

= 1260/20 = 63

अत: 6 के प्रथम 20 गुणकों का औसत 63 है।

6 के प्रथम 20 गुणकों का औसत निकालने की दूसरी वैकल्पिक विधि

6 के प्रथम 20 गुणक हैं

6, 12, 18, 24, . . . . ., 120

अत: 6 के प्रथम 20 गुणक का योग

= 6 + 12 + 18 + 24 . . . . . + 120

= 6 (1 + 2 + 3 +. . . ..+ 20)

= 6 × [20 (20 + 1)]/2

[∵ प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग = n(n + 1)/2]

= 6 × (20 × 21)/2

= 6 × 420/2

= 6 × 210

= 1260

अब 6 के प्रथम 20 गुणकों का औसत

= 1260/20 = 63

अत: 6 के प्रथम 20 गुणकों का औसत 63 है।

=63 उत्तर


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