प्रश्न : 11 के प्रथम 30 गुणको (multiples) का औसत कितना होगा?
सही उत्तर
170.5
हल एवं ब्याख्या
170.5
ब्याख्या
लघु विधि (Shortcut method)
किसी संख्या p के प्रथम n गुणकों (multiples) के औसत की गणना सूत्र
p + (n – 1) p/2 के उपयोग से की जा सकती है।
प्रश्न: 11 के प्रथम 30 गुणकों (multiples) का औसत निकालें
यहाँ p = 11 तथा n = 30
अत: औसत = 11 + (30 – 1) 11/2
= 11 + 29 × 5.5
= 11 + 159.5
= 170.5
अत: 11 के प्रथम 30 गुणकों (multiples) का औसत 170.5 है।
वैकल्पिक विधि (Alternate method)
विधि: सर्वप्रथम 11 के प्रथम 30 गुणकों (multiples) का योग निकालें। फिर उस योग में 30 से भाग देने पर 11 के प्रथम 30 गुणकों (multiples) का औसत प्राप्त होगा।
हल:
11 के प्रथम 30 गुणक (multiples) हैं
11, 22, 33, . . . .330
यह सूची एक समांतर श्रेणी बनाती है।
यहाँ प्रथम पद a = 11
सार्व अंतर (Common difference), d = 11
तथा पदों की संख्या = 30
एक समांतर श्रेणी के n पदों का योग
Sn = n/2 [2a + (n – 1)d] होता है।
अत: S30 = 30/2 [2 × 11 + (30 – 1)11]
= 15 [22 + (29 × 11)]
= 15 [22 + 319]
= 15 × 341
= 5115
औसत = दी गयी संख्याओं का योग/संख्याओं की संख्या
अत: 11 के प्रथम 30 गुणकों (multiples) का औसत
= 5115/30 = 170.5
अत: 11 के प्रथम 30 गुणकों (multiples) का औसत 170.5 है।
वैकल्पिक विधि (Alternate method)
11 के प्रथम 30 गुणक (multiples) हैं
11, 22, 33, . . . .330
अत: 11 के प्रथम 30 गुणक (multiples) का योग
= 11 + 22 + . . . + 330
= 11(1 + 2 + 3 + . . . + 30)
= 11 × [30(30 + 1)]/2
[∵ प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग = n(n + 1)/2]
= 11 × (30 × 31)/2
= 11 × 930/2
= 11 × 465
= 5115
अब 11 के प्रथम 30 गुणकों (multiples) का औसत
= 5115/30 = 170.5
अत: 11 के प्रथम 30 गुणकों (multiples) का औसत 170.5 है।
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