त्रिभुज (नौवीं का गणित): क्लास नौवीं गणित

प्रश्न संख्या (1) दर्शाईए कि समकोण त्रिभुज में कर्ण सबसे लम्बी भुजा होती है।

हल:

मान लिया कि, ABC एक समकोण त्रिभुज है, जिसमें

∠ A = 90^o

और BC कर्ण है।

तो प्रमाणित करना है कि कर्ण BC सबसे लम्बी भुजा है।

हम जानते हैं कि

त्रिभुज के सभी तीनों कोणों का योग 180^o के बराबर होता है।

∴ त्रिभुज ABC मे

∠ A + ∠ B + ∠ C = 180^o

⇒ 90^o + ∠ B + ∠ C = 180^o

⇒ ∠ B + ∠ C = 180^o – 90^o

⇒ ∠ B + ∠ C = 90^o

स्पष्ट है कि, ∠ B < 90⁰

और, ∠ C < 90⁰

अत: त्रिभुज ABC में, ∠ A = 90^o जो कि सबसे बड़ा कोण है॥

हम जानते हैं कि किसी त्रिभुज में बड़े कोण के सामने की भुजा बड़ी होती है।

चूँकि त्रिभुज ABC में कोण A सबसे बड़ी है, अत: कोण A के सामने की भुजा (BC) सबसे बड़ी होगी

चूँकि भुजा, BC कर्ण है तथा यह समकोण त्रिभुज ABC में सबसे बड़ी है, अत: समकोण त्रिभुज में कर्ण सबसे लम्बी भुजा होती है। प्रमाणित

प्रश्न संख्या (2) आकृति में, Δ ABC की भुजाओं AB और AC को क्रमश: बिन्दुओं P और Q तक बढ़ाया गया है। साथ ही ∠ PBC < ∠ QCB है। दर्शाइए कि AC > AB.

हल:

दिया गया है, ∠ PBC < ∠ QCB

अत: प्रमाणित करना है कि AC > AB

दिये गये चित्र में,

चूँकि, ∠ ABC और ∠ PBC सरल रेखा के कोणों के युग्म हैं

अत:, ∠ ABC + ∠ PBC = 180^o

∴ ∠ ABC = 180^o – ∠ PBC - - - - - (i)

उसी प्रकार, ∠ ACB और ∠ QCB सरल रेखा पर कोणों के युग्म हैं

अत् ∠ ACB + ∠ QCB = 180^o

∴ ∠ ACB = 180^o – ∠ QCB - - - - - (ii)

अब प्रश्न के अनुसार ∠ PBC < ∠ QCB

अत: 180^o – ∠ PBC > 180^o – ∠ QCB

अत: समीकरण (i) और समीकरण (ii) से हम पाते हैं कि

∠ ABC > ∠ ACB

हम जानते हैं कि त्रिभुज में बड़े कोण के सामने की भुजा बड़ी होती है।

अत: भुजा AC जो कि कोण ABC के सामने की भुजा है, छोटी कोण ACB के सामने की भुजा AB से बड़ी है।

अर्थात, AC > AB प्रमाणित

प्रश्न संख्या (3) आकृति में, ∠ B < ∠ A और ∠ C < ∠ D है। दर्शाइए कि AD < BC है॥

हल:

दिया गया है, ∠ B < ∠ A

और, ∠ C < ∠ D

∴ प्रमाणित करें कि AD < BC

हम जानते हैं कि त्रिभुज में बड़े कोण के सामने की भुजा बड़ी और छोटे कोण के सामने की भुजा छोटी होती है।

त्रिभुज ABO मे,

चूँकि, ∠ B < ∠ A

अत: छोटी कोण ∠ B के सामने की भुजा AO बड़ी कोण ∠ A के सामने की भुजा OB से छोटी है।

∴ AO < OB - - - - - - (i)

और, त्रिभुज OCD

चूँकि, ∠ C < ∠ D

अत: छोटी कोण ∠ C के सामने की भुजा OD बड़े कोण ∠ D के सामने की भुजा OC से छोटी होगी।

∴ OD < OC - - - - - - (ii)

अब समीकरण (i) और समीकरण (ii) को जोड़ने पर हम पाते हैं कि

AO + OD < OB + OC - - - - - - (iii)

अब चित्र के अनुसार चूँकि AO + OD = AD और OB + OC = BC

अत: समीकरण (iii) को निम्नांकित रूप में लिखा जा सकता है

AD < BD प्रमाणित

प्रश्न संख्या (4) AB और CD क्रमश: एक चतुर्भुज ABCD की सबसे छोटी और सबसे बड़ी भुजाएँ हैं (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि ∠ A > ∠ C और ∠ B > ∠ D है।

हल:

दिया गया है, चतुर्भुज ABCD में,

AB सबसे छोटी भुजा है

और CD सबसे बड़ी भुजा है।

अत: प्रमाणित करना है कि ∠ A > ∠ C

And ∠ B > ∠ D

चतुर्भुज में A और C को मिलाया गया

तथा B और D को भी मिलाया गया।

हम जानते हैं कि त्रिभुज में बड़े कोण के सामने की भुजा बड़ी और छोटे कोण के सामने की भुजा छोटी होती है।

अब त्रिभुज ABC में

चूँकि AB चतुर्भुज ABCD की सबसे छोटी भुजा है,

अत: भुजा AB < BC

∴ ∠ ACB < ∠ BAC - - - - - - (i)

पुन: त्रिभुज ADC में,

चूँकि CD सबसे बड़ी भुजा है [प्रश्न के अनुसार]

i.e. AD < CD

∴ ∠ ACD < ∠ CAD - - - - - - - (ii)

समीकरण (i) और (ii) को जोड़ने पर

∠ ACB + ∠ ACD < ∠ BAC + ∠ CAD

⇒ ∠ BCD < ∠ BAD

⇒ ∠ BAD > ∠ BCD

R ∠ A > ∠ C - - - - - - (iii)

अब त्रिभुज ABD में

चूँकि AB सबसे छोटी भुजा है {प्रश्न के अनुसार}

अत:, AB < AD

∴ ∠ ADB < ∠ ABD - - - - - (iv)

अब त्रिभुज BDC में

चूँकि CD चतुर्भुज की सबसे बड़ी भुजा है [प्रश्न के अनुसार]

∴ BC < CD

∴ ∠ BDC < ∠ DBC - - - - - (v)

अब समीकरण (iv) और समीकरण (v) को जोड़ने पर हम पाते हैं कि

∠ ADB + ∠ BDC < ∠ ABD + ∠ DBC

⇒ ∠ ADC < ∠ ABC

⇒ ∠ ABC > ∠ ADC

⇒ ∠ B > ∠ D - - - - - - (vi)

अत: समीकरण (iii) और समीकरण (vi) के आधार पर

∠ A > ∠ C और ∠ B > ∠ D प्रमाणित

प्रश्न संख्या (5) आकृति में PR > PQ और PS कोण QPR को समद्विभाजित करता है। सिद्ध कीजिए कि ∠ PSR > ∠ PSQ है।

हल:

दिया गया है, PR > PQ

और PS कोण QPR को समद्विभाजित करता है।

∴ ∠ QPS = ∠ RPS - - - - - - (i)

अत: प्रमाणित करना है कि ∠ PSR > ∠ PSQ

अब त्रिभुज PQR में

जैसा कि प्रश्न में दिया गया है, PR > PQ

और हम जानते हैं कि त्रिभुज में बड़ी भुजा के सामने का कोण बड़ा होता है।

अत:, ∠ PQR > ∠ PRQ - - - - - - - (ii)

अब त्रिभुज QSP में

∠ PSR बहिष्कोण है

हम जानते हैं कि किसी त्रिभुज में बहिष्कोण सामने के अंत: कोणों के योग के बराबर होता है।

∴ ∠ PSR = ∠ QPS + ∠ PQR - - - - - - (iii)

उसी प्रकार त्रिभुज PSR में,

PSQ बहिष्कोण हा

∴ ∠ PSQ = ∠ PRQ + ∠ RPS - - - - - - (iv)

अब समीकरण (i) और समीकरण (ii) को जोड़ने पर हम पाते हैं कि

∠ QPS + ∠ PQR > ∠ RPS + ∠ PRQ

समीकरण (iii) और समीकरण (iv) से मान रखने पर हम पाते हैं कि

∠ PSR > ∠ PSQ

अत: प्रमाणित

प्रश्न संख्या (6) दर्शाइए कि एक रेखा पर एक दिए हुए बिन्दु से, जो उस रेखा पर स्थित नहीं है, जितने रेखाखंड खींचे जा सकते हैं उनमें लम्ब रेखाखंड सबसे छोटा होता है।

हल:

मान लिया कि m एक रेखा खंड है

मान लिया कि P एक बिन्दु है जो रेखाखंड m पर स्थित नहीं है।

मान लिया कि बिन्दु P से एक रेखा PR जो कि रेखा m पर लम्ब है खींची जाती है।

पुन: बिन्दु P से एक रेखा PQ जो कि रेखा m पर लम्ब नहीं है खींची जाती है।

अब प्रमाणित करना है कि PR जो कि रेखा m पर लम्ब है सबसे छोटी है।

त्रिभुज Δ PQR में

∠ R = 90^o

[∵ PR रेखा QR पर लम्ब है।]

त्रिभुज के कोणो के योग वाले प्रमेय से, हम जानते हैं कि किसी त्रिभुज के तीनों कोणॉं का योग 180^o होता है।.

अत:, ∠ R + ∠ P + ∠ Q = 180^o

⇒ 90^o + ∠ P + ∠ Q = 180^o

⇒ ∠ P + ∠ Q = 180^o – 90^o

⇒ ∠ P + ∠ Q = 90^o

अत: यह स्पष्ट है कि ∠ Q एक न्यूनकोण है।

i.e. ∠ Q < ∠ R

हम जानते हैं कि त्रिभुज में बड़े कोण के सामने की भुजा बड़ी और छोटे कोण के सामने की भुजा छोटी होती है।

अत, PR < PQ प्रमाणित

उसी प्रकार यह सिद्ध किया जा सकता है कि बिन्दु P से खींची गई वैसी सभी रेखाएँ जो रेखाखंड m पर लम्ब नहीं है, रेखाखंड पर खींची गई लम्ब से बड़ी होती है।

अत: यह दर्शाया जा सकता है कि एक रेखा पर एक दिए हुए बिन्दु से, जो उस रेखा पर स्थित नहीं है, जितने रेखाखंड खींचे जा सकते हैं उनमें लमब रेखाखंड सबसे छोटा होता है।