Tenth Math chapter list-hindi medium

त्रिकोणमिति का परिचय

प्रश्न संख्या (5) निम्नलिखित सर्वसमिकाएँ सिद्ध कीजिए, जहाँ वे कोण, जिनके लिए व्यंजक परिभाषित है, न्यूनकोण हैं।

(i) (cosec θ – cot θ)² = ^{1 – cos θ}/_{1 + cos θ}

हल:

LHS (बायाँ पक्ष) = (cosec θ – cot θ)²

= (¹/_{sin θ} – ^{cos θ}/_{sin θ})²

=(^{1 – cos θ}/_{sin θ})²

=^{(1 – cos θ)²}/_{sin² θ}

= ^{(1 – cos θ)²}<...

The Fundamental Theorem of Arithmetic

अंक गणित की आधारभूत प्रमेय (The Fundamental Theorem of Arithmetic) के अनुसार प्रत्येक भाज्य संख्या को अभाज्य संख्याओं के एक गुणनफ्ल के रूप में व्यक्त (गुणनखंडित) किया जा सकता थ तथा यह गुणनखंड अभाज्य गुणनखंडों के आने वाले क्रम के बिना अद्वितीय होता है। ( The Fundamental Theorem of Arithmetic states that Every composite number can be expressed (factorised) as a product of primes, and this factorisatin is unique, apart from the order in which the prime factors occur. )

अर्थात अंकगणित की आधारभूत प्रमेय कहती है कि प्रत्येक भाज्य संख्या अभाज्य संख्याओं के एक गुणनफ्ल के रूप में गुणनखंडित की जा सकती है। अर्ताथ एक दी गुई भाज्य संख्या को अभाज्य संख्याओं के एक गुणनफल के रूप में बिना ध्यान दिए कि अभाज्य संख्याएँ किस क्रम में आ रही हैं एक अ...

द्विघात समीकरण

चर x में समीकरण a x² + b x + c = 0 के रूप को एक द्विघात का समीकरण कहते हैं। यह समीकरण a x² + b x + c = 0 जहाँ a ≠ 0 द्विघात समीकरण का मानक रूप है।

यदि α द्विघात समीकरण ax² + b x + c = 0 का मूल हो, तो समीकरण को a α² + b α + c = 0 लिखा जाता है।

द्विघाती सूत्र

यदि एक द्विघाती समीकरण a x² + b x + c = 0 के लिये b² – 4 a c ≥ 0 हो तो समीकरण के मूल x = ^{– b ±√b² – 4 a c}/_{2 a} होता है।

किसी द्विघात समीकरण a x² + b x + c = 0 के लिये b² – 4 a c को विविक्तकर (Discriminant) कहते हैं।

...

निर्देशांक ज्यामिति

त्रिभुज का का क्षेत्रफल, जिसके शीर्ष के निर्देशांक दिये गये हैं

निर्देशांक ज्यामिति में जब त्रिभुज के शीर्ष के निर्देशांक दिये गये हैं, तो

त्रिभुज का क्षेत्रफल =1/2[x₁(y₂–y₃) + x₂(y₃–y₁) + x₃(y₁–y₂)]

प्रश्न (1) उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष हैं:

(i) (2, 3), (–1, 0), (2, –4)

हल

दिया गया है, त्रिभुज के शीर्ष = (2, 3), (–1, 0), तथा (2, –4)

अत: त्रिभुज का क्षेत्रफल = ?

हम जानते हैं, निर्देशांक ज्यामिति (कोऑर्डिनेट ज्योमेट्री) में जब त्रिभुज के शीर्ष ज्ञात हों, तो

त्रिभुज का क्षेत्रफल =...

समांतर श्रेणी

संख्याओं की एक ऐसी सूची है जिसमें प्रत्येक पद (पहले पद के अतिरिक्त) अपने पद में एक निश्चित संख्या जोड़ने पर प्राप्त होता है, को समांतर श्रेणी (Arithmetic Progression) कहते हैं।समांतर श्रेणी को संक्षिप्त में AP लिखा जाता है।

यथा: 2, 4, 6, 8 , ...... सूची का प्रत्येक संख्या एक पद (term) कहलाता है। इस सूची में दूसरा पद पहले पद में 2 जोड़ने पर, तीसरा पद दूसरे पद में 2 जोड़ने पर, चौथा पद तीसरे पद में 2 जोड़ने पर प्राप्त होता है। अत: दिया गया सूची एक समांतर श्रेणी है। सार्व अंतर (Common difference) वह निश्चित संख्या 2, जिसे जोड़ने पर सूची की अगली संख्या प्राप्त होती है, को सार्व अंतर कहते हैं। दूसरे शब्दों में प्रत्येक अगले पद तथा पूर्व पद का अंतर सार्व अंतर कहलाता है। सार्व अंतर धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य हो सकता है। सार्व अंतर को d से निरूपित किया जाता है। प्रथम पद (F...

पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन

(1) घनाभ (Cuboid)

घनाभ का आयतन =(ℓ × b × h) घन मात्रक

जहाँ, ℓ = लम्बाई, b = चौड़ाई, तथा h = ऊँचाई

घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 (ℓb + bh + ℓh) घन मात्रक

घनाभ की तिर्यक ऊँचाई (कर्ण) = ℓ² + b² + h² मात्रक

(2) घन (Cube)

मान लिया कि घन की लम्बाई या एक भुजा a, है, अत:

घन का आयतन = a³ घन मात्रक

घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6a² वर्ग मात्रक

घन की तिर्यक ऊँचाई (कर्ण) = 3 a मात्रक

(3) बेलन (Cylinder)

यदि बेलन के निचले पृष्ठ की त्रिज्या = r तथा ऊँचाई या लम्बाई = h, हो, तो

बेलन का आयतन = π r²

त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग

प्रश्न :1. सर्कस का एक कलाकार एक 20 m लम्बी डोर पर चढ़ रहा है जो अच्छी तरह तनी हुई है और भूमि पर सीधे लगे खंभे के शिखर से बंधा हुआ है। यदि भूमि स्तर के साथ डोर द्वारा बनाया गया कोण `30^0` का हो तो खंभे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए (देखिए आकृति)।

हल:

यहाँ, `triangle\ BAC` एक समकोण त्रिभुज है, जिसमें

`/_ B = 90^0`

AC = कर्ण

AB = लम्ब

तथा, BC = आधार

यहाँ, `/_ BCA =30^0`

तथा, डोर की लम्बाई, AC = 20 m

अत: खंभे की ऊँचाई, AB = ?

हम जानते हैं कि, `sin\ theta = p/h`

जहाँ, `theta` भूमि स्तर के साथ डोर द्वारा बनाया गया कोण है, तथा `=30^0` है।

`h` = कर्ण = 20 ...

बहुपद

चर, अचर, चर के गुणांक तथा ऋणेतर घातांक के जोड़, घटाव या गुणन की क्रिया वाले बीजगणितीय ब्यंजक को बहुपद (POLYNOMIAL) कहा जाता है।

उदारण:

x² + 4 x – 7, x³ + 2 x² y – y + 1, 3 x, 5, इत्यादि

दूसरी तरफ x^–2 y, ¹/_x, ²/_x+1, x, इत्यादि बहुपद (POLYNOMIAL) नहीं हैं। क्योंकि एक बहुपद (POLYNOMIAL) में निम्नांकित ब्यंजक नहीं हो सकते हैं, या निम्नांकित ब्यंजक वाले बहुपद (POLYNOMIAL) नहीं कहे जाते हैं:

(i) ऋणात्मक चिन्ह वाले घातांक जैसे कि – 2, – 5, आदि

(ii) कोई भी पद जो किसी चर से विभाजित हों, यथा