त्रिकोणमिति का परिचय
(i) (cosec θ – cot θ)2 = 1 – cos θ/1 + cos θ
हल:
LHS (बायाँ पक्ष) = (cosec θ – cot θ)2
= (1/sin θ – cos θ/sin θ)2
=(1 – cos θ/sin θ)2
=(1 – cos θ)2/sin2 θ
वास्तविक संख्याएँ
The Fundamental Theorem of Arithmetic
अंक गणित की आधारभूत प्रमेय (The Fundamental Theorem of Arithmetic) के अनुसार प्रत्येक भाज्य संख्या को अभाज्य संख्याओं के एक गुणनफ्ल के रूप में व्यक्त (गुणनखंडित) किया जा सकता थ तथा यह गुणनखंड अभाज्य गुणनखंडों के आने वाले क्रम के बिना अद्वितीय होता है। ( The Fundamental Theorem of Arithmetic states that Every composite number can be expressed (factorised) as a product of primes, and this factorisatin is unique, apart from the order in which the prime factors occur. )
द्विघात समीकरण
यदि α द्विघात समीकरण ax2 + b x + c = 0 का मूल हो, तो समीकरण को a α2 + b α + c = 0 लिखा जाता है।
द्विघाती सूत्र
यदि एक द्विघाती समीकरण a x2 + b x + c = 0 के लिये b2 – 4 a c ≥ 0 हो तो समीकरण के मूल x = – b ±√b2 – 4 a c/2 a होता है।
किसी द्विघात समीकरण a x2 + b x + c = 0 के लिये b2 – 4 a c को विविक्तकर (Discriminant) कहते हैं।
निर्देशांक ज्यामिति
त्रिभुज का का क्षेत्रफल, जिसके शीर्ष के निर्देशांक दिये गये हैं
निर्देशांक ज्यामिति में जब त्रिभुज के शीर्ष के निर्देशांक दिये गये हैं, तो
त्रिभुज का क्षेत्रफल =1/2[x1(y2–y3) + x2(y3–y1) + x3(y1–y2)]
प्रश्न (1) उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष हैं:
(i) (2, 3), (–1, 0), (2, –4)
हल
दिया गया है, त्रिभुज के शीर्ष = (2, 3), (–1, 0), तथा (2, –4)
अत: त्रिभुज का क्षेत्रफल = ?
हम जानते हैं, निर्देशांक ज्यामिति (कोऑर्डिनेट ज्योमेट्री) में जब त्रिभुज के शीर्ष ज्ञात हों, तो
समांतर श्रेणी
पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन
(1) घनाभ (Cuboid)
घनाभ का आयतन =(ℓ × b × h) घन मात्रक
जहाँ, ℓ = लम्बाई, b = चौड़ाई, तथा h = ऊँचाई
घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 (ℓb + bh + ℓh) घन मात्रक
घनाभ की तिर्यक ऊँचाई (कर्ण) = ℓ2 + b2 + h2 मात्रक
(2) घन (Cube)
मान लिया कि घन की लम्बाई या एक भुजा a, है, अत:
घन का आयतन = a3 घन मात्रक
घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6a2 वर्ग मात्रक
घन की तिर्यक ऊँचाई (कर्ण) = 3 a मात्रक
(3) बेलन (Cylinder)
यदि बेलन के निचले पृष्ठ की त्रिज्या = r तथा ऊँचाई या लम्बाई = h, हो, तो
त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग
हल:
यहाँ, `triangle\ BAC` एक समकोण त्रिभुज है, जिसमें
`/_ B = 90^0`
AC = कर्ण
AB = लम्ब
तथा, BC = आधार
यहाँ, `/_ BCA =30^0`
तथा, डोर की लम्बाई, AC = 20 m
अत: खंभे की ऊँचाई, AB = ?
हम जानते हैं कि, `sin\ theta = p/h`
जहाँ, `theta` भूमि स्तर के साथ डोर द्वारा बनाया गया कोण है, तथा `=30^0` है।
बहुपद
उदारण:
x2 + 4 x – 7, x3 + 2 x2 y – y + 1, 3 x, 5, इत्यादि
दूसरी तरफ x–2 y, 1/x, 2/x+1, x, इत्यादि बहुपद (POLYNOMIAL) नहीं हैं। क्योंकि एक बहुपद (POLYNOMIAL) में निम्नांकित ब्यंजक नहीं हो सकते हैं, या निम्नांकित ब्यंजक वाले बहुपद (POLYNOMIAL) नहीं कहे जाते हैं:
(i) ऋणात्मक चिन्ह वाले घातांक जैसे कि – 2, – 5, आदि
(ii) कोई भी पद जो किसी चर से विभाजित हों, यथा
त्रिभुज
दो चरों में रैखिक समीकरण युग्म
उदाहरण:
2x + 3y – 5=0
यहाँ, a = 2, b = 3 तथा c = – 5 जो कि वास्तविक संख्याएँ हैं।
तथा 22 + 32 ≠ 0
उपरोक्त समीकरण (2x + 3y – 5 = 0) का हल
मान लिया कि x = 1 तथा y = 1 को रैखिक समीकरण (2x + 3y – 5 = 0) में रखने पर
अत:,
2 × 1 + 3 × 1 – 5=0
⇒ 2 + 3 + 5 = 0
⇒ 0 = 0
अर्थात बायाँ पक्ष (LHS) = दायाँ पक्ष (RHS).
अत: x = 1 तथा y = 1 दिये गये रैखिक समीकरण का हल...
वृत्त
एक तल में स्थि...
वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल
(जब तक अन्यथा न कहा जाए, π = 22/7 का प्रयोग कीजिए)