वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल

दसवीं गणित

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एनसीईआरटी प्रश्नावली 12.3 भाग-2

प्रश्न संख्या (9) आकृति में AB और CD केन्द्र O वाले एक वृत्त के दो परस्पर लम्ब व्यास हैं तथा OD छोटे वृत्त का व्यास है। यदि OA = 7 cm है, तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

10 math area related to circle ex12.3_3q9a

हल

10 math area related to circle ex12.3_3q9b

[प्रश्न हल करने की योजना (a) आकृति में दिये गये अर्धवृत्त ACB का क्षेत्रफल निकालें(b) त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल निकालें (c) अर्धवृत्त ACB के क्षेत्रफल में से त्रिभुज ABC के क्षेत्रफल को घटाने पर अर्धवृत्त ACB के छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात हो जायेगा। (c) फिर छोटे वाले वृत्त का क्षेत्रफल निकालें। (d) छोटे वाले वृत्त के क्षेत्रफल तथा अर्धवृत्त के छायांकित भाग के क्षेत्रफल का योग चित्र में दिये गये कुल छायांकित भाग का क्षेत्रफल होगा।]

दिया गया है, OA और CD दो व्यास हैं जो परस्पर लम्ब हैं

OA = 7 cm

अत:, OA = OB = OD = OC = 7 cm

(चूँकि ये दोनों एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ हैं।)

अत:, छायांकित भाग का क्षेत्रफल = ?

अर्धवृत्त OACB के क्षेत्रफल की गणना

हम जानते हैं कि अर्धवृत्त का क्षेत्रफल = 1/2 × π r²

अत: दिये गये अर्धवृत्त OACB का क्षेत्रफल

10 math area related to circle ex12.3 q17

= 77 cm²

त्रिभुज ABC में,

आधार = AB = OA + OB

⇒ आधार = 7 + 7 = 14 cm

ऊँचाई = OC = 7 cm

हम जानते हैं कि त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/2 × ऊँचाई × आधार

= 1/2 × 7 cm × 14 cm

= 49 cm²

अब छोटे वाले वृत्त (P केन्द्र वाले वृत) के क्षेत्रफल की गणना

यहाँ चूँकि OD = 7 cm

अत: छोटे वाले वृत्त की त्रिज्या = 7/2 = 3.5 cm

हम जानते हैं कि वृत्त का क्षेत्रफल = π r²

10 math area related to circle ex12.3 q18

= 38.5 cm²

अब छायांकित भाग का क्षेत्रफल

= अर्धवृत्त का क्षेत्रफल – त्रिभुज का क्षेत्रफल + छोटे वाले वृत्त का क्षेत्रफल

= 77 cm² – 49 cm² + 38.5 cm²

= 66.5 cm²

अत: छायांकित भाग का क्षेत्रफल = 66.5 cm² उत्तर

प्रश्न संख्या (10) एक समबाहु त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल 17320.5 cm² है। इस त्रिभुज के प्रत्येक शीर्ष को केन्द्र मानकर त्रिभुज की भुजा के आधे के बराबर की त्रिज्या लेकर एक वृत्त खींचा जाता है (देखिए आकृति)। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 और √3 = 1.73205 लीजिए)

10 math area related to circle ex12.3_3q10a

हल

[प्रश्न हल करने की योजना (a) दिये गये क्षेत्रफल के आधार पर समबाहु त्रिभुज की भुजा ज्ञात करें। (b) समबाहु त्रिभुज की भुजा को 2 से भाग देकर वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करें। (c) वृत्त की त्रिज्या तथा समबाहु त्रिभुज के कोण को आधार मानकर एक वृत्त के लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात करें। (d) समबाहु त्रिभुज से क्षेत्रफल में से तीनों त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल के योग को घटाने पर छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात हो जायेगा।]

दिया गया है, समबाहु त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल = 17320.5 cm²

अत: छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल = ?

हम जानते हैं कि समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल 10 math area related to circle ex12.2_2qnn

10 math area related to circle ex12.3 q19

⇒ भुजा = 100 × 2 cm = 200 cm

अत: समबाहु त्रिभुज की भुजा = 200 cm

अत: वृत्त की त्रिज्या = 200/2 = 100 cm

चूँकि चित्र में दिया गया त्रिभुज एक समबाहु त्रिभुज है, तथा हम जानते हैं कि समबाहु त्रिभुज का कोण = 60⁰

अत: त्रिज्यखंड का कोण = 60⁰

चित्र से यह स्पष्ट है कि तीन वृत्तों तथा समबाहु त्रिभुज के द्वारा तीन त्रिज्यखंड बनते हैं।

हम जानते हैं कि θ कोण वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल 10 math area related to circle ex12.2_2q

अत: 60⁰ कोण वाले तीन त्रिज्यखंडों का क्षेत्रफल

10 math area related to circle ex12.3 q20

अब छायांकित भाग का क्षेत्रफल

= त्रिभुज का क्षेत्रफल – तीनों त्रिज्यखंड के क्षेत्रफलों का योग

= 17320.5 cm² – 15700 cm²

= 1620.5 cm²

अत: छायांकित भाग का क्षेत्रफल = 1620.5 cm² उत्तर

प्रश्न संख्या (11) On a square handkerchief, nine circular designs each of radius 7 cm are made (see figure). Find the area of the remaining portion of the handkerchief.

10 math area related to circle ex12.3_3q11a

Solution

[प्रश्न हल करने की योजना (a) वृत्तों की त्रिज्या के उपयोग से वर्गाकार रूमाल की एक भुजा निकालें। (b) वर्गाकार रूमाल का क्षेत्रफल निकालें। (c) एक वृत्त का क्षेत्रफल निकालकर उसे 9 से गुणा कर सभी 9 वृतों का क्षेत्रफल निकालें। (d) वर्गाकार रूमाल के क्षेत्रफल में से वृत्तों के क्षेत्रफल के योग को घटाने पर रूमाल के शेष भाग का क्षेत्रफल ज्ञात हो जायेगा।]

दिया गया है, वृत्त की त्रिज्या = 7 cm

वृत्तों की कुल संख्या = 9

प्रत्येक कतार में वृत्तों की संख्या = 3

तो डिजाइन को छोड़कर रूमाल के शेष भाग का क्षेत्रफल = ?

हम जानते हैं कि, वृत्त का क्षेत्रफल = Π r²

अत: दिये गये वृत्त का क्षेत्रफल

10 math area related to circle ex12.3 q21

= 154 cm²

अत: 9 वृत्तों का क्षेत्रफल = 9 × 1 वृत्त का क्षेत्रफल

= 9 × 154 cm²

= 1386 cm²

वर्गाकार रूमाल के क्षेत्रफल की गणना

वृत्त की त्रिज्या = 7 cm

अत: वृत्त का व्यास = 7 × 2 = 14 cm

चूँकि एक कतार वृत्तों की संख्या = 3

अत: वर्गाकार रूमाल की भुजा = 3 वृत्त = 3 × 14 cm

= 42 cm

अत: वर्गाकार रूमाल की एक भुजा = 42 cm

अब हम जानते हैं कि वर्ग का क्षेत्रफल = (भुजा)²

अत: दिये गये वर्गाकार रूमाल का क्षेत्रफल = (42 cm)²

= 1764 cm²

अत: दिये गये वर्गाकार रूमाल का क्षेत्रफल = 1764 cm²

अब डिजाइन को छोड़कर रूमाल के शेष भाग का क्षेत्रफल

= वर्गाकार रूमाल का क्षेत्रफल – 9 वृत्तों के क्षेत्रफल का योग

= 1764 cm² – 1386 cm²

= 378 cm²

अत: रूमाल के शेष भाग का क्षेत्रफल = 378 cm² उत्तर

प्रश्न संख्या (12) आकृति में, OACB केन्द्र O और त्रिज्या 3.5 cm वाले एक वृत्त का चतुर्थांश है। यदि OD = 2 cm है तो निम्नलिखित के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

(i) चतुर्थांश OACB

(ii) छायांकित भाग

10 math area related to circle ex12.3_3q12a

हल

10 math area related to circle ex12.3_3q12b

दिया गया है, चतुर्थांश वाले वृत्त की त्रिज्या = 3.5 cm

OD = 2 cm

(i) चतुर्थांश OACB का क्षेत्रफल

हम जानते हैं कि वृत्त के चतुर्थांश का क्षेत्रफल 10 math area related to circle ex12.3 q22

अत: दिये गये चतुर्थांश का क्षेत्रफल

10 math area related to circle ex12.3 q23

= 9.625 cm²

अत: दिये गये चतुर्थांश का क्षेत्रफल = 9.625 cm²

(ii) छायांकित भाग का क्षेत्रफल

त्रिभुज OBD में

आधार (OB) = 3.5 cm और ऊँचाई (OD) = 2 cm

हम जानते हैं कि त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/2 × आधार × ऊँचाई

10 math area related to circle ex12.3 q24

अत: दिये गये त्रिभुज OBC का क्षेत्रफल = 3.5 cm²

अब छायांकित भाग का क्षेत्रफल = वृत्त के चतुर्थांश का क्षेत्रफल – त्रिभुज का क्षेत्रफल

= 9.625 cm² – 3.5 cm²

= 6.125 cm²

अत:, (i) चतुर्थांश OACB का क्षेत्रफल = 9.625 cm² और (ii) छायांकित भाग का क्षेत्रफल = 6.125 cm² उत्तर

प्रश्न संख्या (13) आकृति में, एक चतुर्थांश OPBQ के अंतर्गत एक वर्ग OABC बना हुआ है। यदि OA = 20 cm है, तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। ( π = 3.14 लीजिए)

10 math area related to circle ex12.3_3q13a

हल

[प्रश्न हल करने की योजना (a) वर्ग के भुजा के आधार पर वर्ग का कर्ण ज्ञात करें । वर्ग का कर्ण वृत्त के चतुर्थांश की त्रिज्या होगी। (b) चतुर्थांश का क्षेत्रफल ज्ञात करें। (c) वर्ग का क्षेत्रफल ज्ञात करें। (b) चतुर्थांश के क्षेत्रफल में से वर्ग का क्षेत्रफल घटाने पर छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात हो जायेगा।]

दिया गया है, OABC एक वर्ग है जो कि वृत के चतुर्थांश OPBQ के अंदर बना हुआ है।

OA = 20 cm

छायांकित भाग का क्षेत्रफल = ?

10 math area related to circle ex12.3_3q13b

बनाबट

वर्ग में बिन्दु O और B को मिलाया गया

चूँकि, OABC एक वर्ग है, अत:, ∠ A = 90⁰

और, OA = AB = 20 cm

अब त्रिभुज OAB में

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार

OB² = OA² + AB²

= (20 cm)² + (20 cm)²

= 400 cm² + 400 cm²

= 800 cm²

= 400 × 2 cm²

10 math area related to circle ex12.3 q25

अब, OB = 20√2 cm = वृत्त की त्रिज्या

हम जानते हैं कि वृत्त के चतुर्थांश का क्षेत्रफल

10 math area related to circle ex12.3 q26

= 628 cm²

हम जानते हैं कि वर्ग का क्षेत्रफल = (भुजा)²

अत: दिये गये वर्ग OABD का क्षेत्रफल = (20 cm)²

= 400 cm²

अब छायांकित भाग का क्षेत्रफल = वृत्त के चतुर्थांश का क्षेत्रफल – वर्ग का क्षेत्रफल

= 628 cm² – 400 cm²

= 228 cm²

अत: छायांकित भाग का क्षेत्रफल = 228 cm² उत्तर

प्रश्न संख्या (14) AB और CD केन्द्र O तथा त्रिज्याओं 21 cm और 7 cm वाले दो संकेन्द्रीय वृत्तों के क्रमश: दो चाप हैं (देखिए आकृत्ति)। यदि ∠ AOB = 30⁰ है, तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

10 math area related to circle ex12.3_3q14a

हल

दिया गया है, बड़े वाले वृत्त की त्रिज्या = 21 cm

छोटे वाले वृत्त की त्रिज्या = 7 cm

∠ AOB = 30⁰

अर्था त्रिज्यखंड का कोण = 30⁰

अत: छायांकित भाग का क्षेत्रफल = ?

हम जानते हैं कि θ कोण वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल 10 math area related to circle ex12.2_2q

अत: छोटे वृत्त के 30⁰ कोण वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल

10 math area related to circle ex12.3 q27

= 12.833 cm²

उसी तरह बड़े वाले वृत्त के 30⁰ कोण वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल

10 math area related to circle ex12.3 q28

= 115.5 cm²

अब छायांकित भाग का क्षेत्रफल = बड़े वाले वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल – छोटे वाले वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल

= 115.5 cm² – 12.833 cm²

= 102.667 cm²

अत: छायांकित भाग का क्षेत्रफल = 102.667 cm² उत्तर

प्रश्न संख्या (15) आकृति में, ABC त्रिज्या 14 cm वाले एक वृत्त का चतुर्थांश है तथा BC को व्यास मानकर एक अर्धवृत्त खींचा गया है। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

10 math area related to circle ex12.3_3q15a

हल

[प्रश्न हल करने की योजना (a) पाइथागोरस प्रमेय के उपयोग से त्रिभुज ABC में कर्ण BC निकालें। (b) यह अर्धवृत्त का व्यास हुआ, इसे 2 से भाग देकर अर्धवृत्त की त्रिज्या ज्ञात करें। (c) अर्धवृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करें। (d) वृत्त के चतुर्थांश का क्षेत्रफल ज्ञात करें। (e) वृत्त के चतुर्थांश के क्षेत्रफल में से त्रिभुज के क्षेत्रफल को घटाकर वृत्तखंड का क्षेत्रफल ज्ञात करें। (f) अर्धवृत्त के क्षेत्रफल में से वृत्तखंड के क्षेत्रफल को घटाने पर छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात हो जायेगा।]

10 math area related to circle ex12.3_3q15b

दिया गया है, AC = AB = 14 cm

और ∠ A = 90⁰

अत: छायांकित भाग का क्षेत्रफ = ?

त्रिभुज ABC में

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार

BC² = AB² + AC²

= (14 cm)² + (14 cm)²

= 196 cm² + 196 cm²

= 392 cm²

10 math area related to circle ex12.3 q29

हम जानते हैं वृत्त के चतुर्थांश का क्षेत्रफल 10 math area related to circle ex12.3 q22

अत: दिये गये चतुर्थांश ABFC का क्षेत्रफल

10 math area related to circle ex12.3 q30

= 154 cm²

हम जानते हैं कि त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/2 × आधार × ऊँचाई

10 math area related to circle ex12.3 q31

= 98 cm²

अब वृत्तखंड BFC का क्षेत्रफल = त्रिज्यखंड अर्थात चतुर्थांश ABFC का क्षेत्रफल – त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल

= 154 cm² – 98 cm²

= 56 cm²

हम जानते हैं कि अर्धवृत्त का क्षेत्रफल = 1/2 × π × r²

10 math area related to circle ex12.3 q32

= 154 cm²

अब छायांकित भाग का क्षेत्रफल = अर्धवृत्त BEC का क्षेत्रफल – वृत्तखंड BFC का क्षेत्रफल

= 154 cm² – 56 cm²

= 98 cm²

अत: छायांकित भाग का क्षेत्रफल = 98 cm² उत्तर

प्रश्न संख्या (16) आकृति में, छायांकित डिजाइन का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जो 8 cm त्रिज्याओं वाले दो वृत्तों के चतुर्थांशों के बीच उभयनिष्ठ है।

10 math area related to circle ex12.3_3q16a

हल

[प्रश्न हल करने की योजना चूँकि दिया गया डिजाइन वाला भाग वृत्त के दो चतुर्थांशों के बीच का उभयनिष्ठ भाग है, अत: (a) वृत्त के एक चतुर्थांश के आधार पर वृत्तखंड का क्षेत्रफल ज्ञात करें। (b) वृत्तखंड के क्षेत्रफल को 2 से गुणा करने पर डिजाइन वाले उभयनिष्ठ भाग का क्षेत्रफल ज्ञात हो जायेगा।]

दिया गया है, चतुर्थांश वाले वृत्त की त्रिज्या = 8 cm.

और चतुर्थांश का (कोण) ∠ C = ∠ D = 90⁰

10 math area related to circle ex12.3_3q16b