दो चरों में रैखिक समीकरण युग्म
दसवीं गणित
NCERT प्रश्नावली 3.7 (ऐच्छिक)
प्रश्न संख्या: 1. दो मित्रों अनी और बीजू की आयु में 3 वर्ष का अंतर है। अनी के पिता धरम की आयु अनी की आयु की दुगुनी और बीजू की आयु अपनी बहन कैथी की आयु की दुगुनी है। कैथी और धरम की आयु का अंतर 30 वर्ष है। अनी और बीजू की आयु ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लिया कि अनी की वर्तमान आयु `=a` वर्ष
तथा मान लिया कि बीजू की आयु `=b` वर्ष
जैसा कि प्रश्न में दिया गया है अनी के पिता धरम की आयु अनी के आयु की दुगुनी है।
अत: अनी के पिता धरम की आयु `=2a`
तथा प्रश्न के अनुसार बीजू आयु अपनी बहन कैथी के आयु की दोगुनी है।
अत: कैथी की आयु `=b/2`
तथा प्रश्न के अनुसार कैथी तथ धरम के आयु में अंतर 30 वर्ष है।
अत:, `2a-b/2=30`
`=>(4a-b)2=30`
क्रॉस गुणा करने पर हम पाते हैं कि
`=>4a-b=60` ----------------- (i)
पुन: दिया गया है बीजू तथा अनी के उम्र में अंतर = 3 वर्ष
यहाँ पर दो स्थिति हो सकती है। या तो अनी बड़ी है या बीजू बड़ा है।
Now, स्थिति : I:यदि अनी बीजू से 3 वर्ष बड़ी है
तब, `a-b = 3` -------------- (ii)
समीकरण (ii) को समीकरण (i) से घटाने पर
`=>a = 57/3=19`
अब `a` का मान समीकरण (ii) में रखने पर हम पाते हैं कि
`19-b=3`
`=>b = 19-3=16`
अत: अनी की आयु = 19 वर्ष तथा बीजू की आयु = 16 वर्ष
तथा, स्थिति: II. जब बीजू अनी से 3 वर्ष बड़ा है।
अत:, `b-a = 3`
`=>-a+b=3` ------------ (iii)
अब समीकरण (i) तथा समीकरण (iii) को जोड़ने पर
`:. a =63/3 = 21`
अब `a` का मान समीकरण (iii) में रखने पर हम पाते हैं कि
`-21 +b = 3`
`=>b = 3+21=24`
अत: अनी की आयु = 21 वर्ष तथा बीजू की आयु = 24 वर्ष
अत: जब अनी बीजू से बड़ी है, तब अनी की आयु = 19 वर्ष तथा बीजू की आयु = 16 वर्ष उत्तर
तथा यदि बीजू अनी से बड़ा है, तब अनी की आयु = 21 वर्ष तथा बीजू की आयु = 24 वर्ष उत्तर
प्रश्न संख्या: 2. एक मित्र दूसरे से कहता है कि "यदि मुझे एक सौ दे दो, तो मैं आपसे दो गुना धनी बन जाऊँगा "। दूसरा उत्तर देता है, "यदि आप मुझे दस दे दें, तो मैं आपसे छ: गुना धनी बन जाऊँगा। " बताइए कि उनकी क्रमश: क्या संपत्तियाँ हैं? [भास्कर II की बीजगणित से].
[संकेत: `x+100=2(y-100), y+10=6(x-10)`]
हल:
मान लिया कि पहले मित्र के पास `x` रूपया है तथा दूसरे मित्र के पास `y` रूपया है।
प्रश्न में दिये गये संकेत के अनुसार,
`x+100=2(y-100)`
`=>x+100=2y-200`
`=>x-2y=-200-100`
`=>x-2y=-300` ------------- (i)
`=>x =-300+2y` ---------- (ii)
तथा पुन: प्रश्न में दिये गये दूसरे संकेत के अनुसार
`y+10=6(x-10)`
`=>y+10=6x-60`
`=>6x-y=10+60`
`=>6x-y=70` ------------ (iii)
अब, `x=-300+2y` मान को उपरोक्त समीकरण (iii) में रखने पर हम पाते हैं कि
`6(-300+2y)-y=70`
`=>-1800+12y-y=70`
`=>11y-1800=70`
`=>11y=70+1800`
`=>11y=1870`
`=>y=1870/11`
`=>y=170`
अब `y=170` मान को समीकरण (iii) [`6x-y=70`], में रखने पर हम पाते हैं कि
`6x-170=70`
`=>6x=70+170`
`=>6x=240`
`=>x=240/6`
`=>x=40`
अत: उन दोनों मित्रों के पास क्रमश: 40 रूपया तथा 170 रूपया हैं। उत्तर
प्रश्न संख्या: 3. एक रेलगाड़ी कुछ दूरी समान चाल से तय करती है। यदि रेलगाड़ी 10 km/h अधिक तेज चलती होती, तो उसे नियत समय से 2 घंटे कम लगते और यदि रेलगाड़ी 10 km/h धीमी चलती होती, तो उसे नियत समय से 3 घंटे अधिक लगते। रेलगाड़ी द्वारा तय की गई दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लिया कि ट्रेन की सामान्य गति `=u\ km//h`
तथा सामान्य चाल पर निर्धारित दूरी तय करने में रेलगाड़ी को लगने वाला समय `=t` घंटा
मान लिया कि दूरी `=d` km
हम जानते हैं कि दूरी = गति × समय
अत:, `d=uxxt` ---------- (i)
प्रश्न के अनुसार
स्थिति : I. जब रेलगाड़ी की गति सामन्य से `10\ km//h` अधिक तेज है।
i.e. गति `= u+10` km/h
इस स्थिति में निर्धारित दूरी तय करने में लगने वाला समय `=t-2` घंटा
अत:, `d = (u+10)(t-2)`
`=>d = ut + 10 t-2u-20`
अब `d=ut` मान को समीकरण (i) में रखने पर
`ut = ut+10t-2u-20`
`=>10t-2u-20=ut-ut`
`=>10t-2u=20` --------------- (ii)
स्थिति : II. यदि रेलगाड़ी की गति सामान्य से `10\ km//h` धीमी है।
अत: गति `=u-10` km/h
तथा इस गति पर दूरी तय करने में लगने वाला समय `=t+3` घंटा
अत:, `d=(u-10)(t+3)`
`=>d=ut-10t+3u-30`
अब `d=ut` मान को समीकरण (i) में रखने पर
`ut = ut-10t+3u-30`
`=>-10t+3u-30=ut-ut`
`=>-10t+3u=30` ----------- (iii)
अब समीकरण (ii) तथा (iii) को जोड़ने पर
`(10t-2u)+(-10t+3u)=20+30`
`=>\cancel(10t)-2u-\cancel(10t)+3u=50`
`=>u=50`
समीकरण (ii) [`10t-2u=20`] में `u=50` रखने पर
`10t-2xx50=20`
`=>10t-100=20`
`=>10t=20+100`
`=>10t=120`
`=>t=120/10`
`=>t=12`
अब `u=50` तथा `t=12` को समीकरण (i) [`d=ut`] में रखने पर
`d=50xx12`
`=>d = 600`
अत: रेलगाड़ी द्वार तय की गई दूरी = 600 km उत्तर
प्रश्न संख्या: 4. एक कक्षा के विद्यार्थियों को पंक्तियों में खड़ा होना है। यदि पंक्ति में 3 विद्यार्थी अधिक होते, तो 1 पंक्ति कम होती। यदि पंक्ति में 3 विद्यार्थी कम होते, तो 2 पंक्तियाँ अधिक बनतीं। कक्षा में विद्यार्थियों की संख्या ज्ञाता कीजिए।
हल:
मान लिया कि पंक्तियों की संख्या `=r` तथा एक पंक्ति में विद्यार्थी की संख्या `=n`
अत: विद्यार्थियों की कुल संख्या
= पंक्तियों की संख्या × एक पंक्ति में विद्यार्थियों की संख्या
`=>s=rxxn` ---------- (i)
प्रश्न के अनुसार,
स्थिति : I.
जब एक पंक्ति में विद्यार्थिओं की संख्या 3 अधिक है, तो 1 पंक्ति कम होती
अत:, `s=(r-1)(n+3)`
`=>r\ n= rn+3r-n-3`
[∵ `(s=r\ n)` समीकरण (i)]
`=>3r-n-3=rn-rn`
`=>3r-n-3=0`
`=>3r-n=3` ------------ (ii)
प्रश्न के अनुसार
स्थिति : 2.
जब पंक्ति में विद्यार्थी की संख्या 3 कम होते, तो 2 पंक्तियाँ अधिक बनती
अत: विद्यार्थियों की कुल संख्या `=(r+2)(n-3)`
`=>s=rn-3r+2n-6`
`=>rn=rn-3r+2n-6`
[∵ `(s=r\ n)` समीकरण (i)]
`=>-3r+2n-6=rn-rn`
`=>-3r+2n=6` ----------- (iii)
अब समीकरण (ii) तथा (iii) को जोड़ने पर
`(3r-n)+(-3r+2n)=3+6`
`=>\cancel(3r)-n-\cancel(3r)+2n=9`
`=>-n+2n=9`
`=>n=9`
अब `n=9` को समीकरण (ii) [`3r-n=3`] में रखने पर
`3r-9=3`
`=>3r=3+9=12`
`=>r=12/3`
`=>r=4`
अब विद्यार्थियों की कुल संख्या `(s)=rxxn`
`=4xx9=36`
अत: विद्यार्थियों की कुल संख्या = 36 उत्तर
प्रश्न संख्या: 5. एक `triangle\ ABC` में, `/_C=3 /_B=2(/_A+/_B)` है। त्रिभुज के तीनों कोण ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया गया है,
`/_C=3 /_B=2(/_A+/_B)`
`=>3/_B=2/_A+2/_B`
`=>3/_B-2/_B=2/_A`
`=>/_B=2/_A` ---------- (i)
हम जानते हैं कि
त्रिभुज के तीनों कोणों का योग `=180^o`
अत: `triangleABC` में
`/_A+/_B+/_C=180^o`
`=>/_A+/_B+3/_B=180^o`
[∵ जैसा कि प्रश्न में दिया गया है `/_C=3/_B`]
`=>/_A+4/_B=180^o`
अब `/_B=2/_A` मान को समीकरण (i) में रखने पर
`=>/_A+4(2/_A)=180^o`
`=>/_A+8/_A=180^0`
`=>9/_A=180^o`
`=>/_A=(180^o)/9`
`=>/_A=20^o`
अब `/_A=20^o` को समीकरण (i) [`/_B=2/_A`] में रखने पर
`/_B=2xx20^o`
`=>/_B=40^0`
अब चूँकि प्रश्न में दिये गये मान `/_C=3/_B` में `/_B=40^o` को प्रतिस्थापित करने पर
`/_C=3xx40^o`
`=>/_C=120^o`
अत:, `/_A=20^o, /_B=40^o` तथा `/_C=120^o` उत्तर
Reference: