दो चरों में रैखिक समीकरण युग्म
दसवीं गणित
एनसीईआरटी प्रश्नावली 3.3 (भाग:2)
प्रश्न संख्या: 3. निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरण युग्म बनाइए और उनके हल प्रतिस्थापन विधि द्वारा ज्ञात कीजिए:
(i) दो संख्याओं का अंतर 26 है और एक संख्या दूसरी संख्या की तीन गुनी है। उन्हें ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लिया कि दी गई संख्याएँ x तथा y हैं।
अब प्रश्न के अनुसार
x – y = 26 - - - - (i)
तथा, x = 3y - - - - (ii)
अब समीकरण (ii) से x का मान समीकरण (i) में रखने पर हम पाते हैं।
3y – y = 26
⇒ 2y = 26
∴ y = 26/2 = 13
अब y का मान समीकरण (ii) में रखने पर हम पाते हैं कि
x = 3 × 13 = 39
अत:, x = 39 और y = 13 उत्तर
(ii) दो संपूरक कोणों में बड़ा कोण छोटे कोण से 18 डिग्री अधिक है। उन्हें ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लियी कि दिया गये संपूरक कोण x तथा y हैं।
अत: प्रश्न के अनुसार
x + y = 180 - - - - (i)
[∵ चूँकि संपूरक कोणों का योग 180^0 होता है।]
तथा, x – y = 18 - - - - (ii)
अब समीकरण (ii) से
x = 18 + y - - - - (iii)
अब x का मान समीकरण (i) में रखने पर हम पाते हैं कि
18+y + y = 180
⇒ 18 + 2y = 180
⇒ 2y = 180 – 18 = 162
∴ y = 162/2 = 81
अब y का मान समीकरण (ii) में रखने पर हम पाते हैं कि
x = 18 + 81 = 99
अत: प्रश्न में वांछित संपूरक कोण क्रमश: 99o और 81o हैं। उत्तर
(iii) एक क्रिकेट टीम के कोच ने 7 बल्ले तथा 6 गेंदें Rs 3800 में खरीदीं। बाद में उसने 3 बल्ले तथा 5 गेंदें Rs 1750 में खरीदी। प्रत्येक बल्ले और प्रत्येक गेंद का मूल्य ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लिया कि एक बल्ले का मूल्य = Rs x
तथा एक गेंद का मूल्य = Rs y
अत: प्रश्न के अनुसार
7x + 6 y = 3800 - - - - (i)
3x + 5y = 1750 - - - - (ii)
⇒ 3x = 1750 – 5y
⇒ x = 1750 – 5y/3 - - - - (iii)
अब x का मान समीकरण (i) में प्रतिस्थापित करने पर
7 × 1750 – 5y/3 + 6y = 3800
⇒ 12250 – 35y/3 + 6y = 2800
⇒ 12250 – 35y + 18y/3 = 3800
⇒ 12250 – 35y + 18y = 3800 × 3
⇒ 12250 + 17y = 11400
⇒ – 17 y = 11400 – 12250
⇒ – 17 y = – 850
⇒ y = – 850/– 17 = 50
अब y का मान समीकरण (ii) में रखने पर
3x + 5 × 50 = 1750
⇒ 3x + 250 = 1750
⇒ 3x = 1750 – 250
⇒ 3x = 1500
∴ x = 1500/3 = 500
अत: एक बल्ले का मूल्य = Rs 500 तथा एक गेंद का मूल्य = Rs 50 है। उत्तर
(iv) एक नगर में टैक्सी के भाड़े में एक नियत भाड़े के अतिरिक्त चली गई दूरी पर भाड़ा सम्मिलित किया जाता है। 10 km दूरी के लिए भाड़ा Rs 105 है तथा 15 km के लिए भाड़ा Rs 155 है। नियत भाड़ा तथा प्रति km भाड़ा क्या है? एक व्यक्ति को 25 km यात्रा करने के लिए कितना भाड़ा देना होगा?
हल:
मान लिया कि टैक्सी का नियत भाड़ा = Rs x है
तथा प्रति km भाड़ा = Rs y है।
प्रश्न के अनुसार
10 km दूरी के लिए भाड़ा = Rs. 105
अत: x + 10 y = 105 - - - - (i)
तथा, 15 km दूरी के लिए भाड़ा = Rs. 155
अत: x + 15 y = 155 - - - - (ii)
⇒ x = 155 – 15y - - - - (iii)
अब समीकरण (iii) से x का मान समीकरण (i) में रखने पर
155 – 15y + 10y = 105
⇒ 155 – 5 y = 105
⇒ – 5y = 105 – 155
⇒ – 5y = – 50
⇒ y = – 50/– 5 = 10
अब y का मान समीकरण (i) में रखने पर
x + 10 × 10 = 105
⇒ x +100 = 105
⇒ x = 105 – 100 = 5
अत: नियत भाड़ा = Rs 5 तथा प्रति किलोमीटर भाड़ा = Rs 10 है।
अब 25 km यात्रा करने के लिए भाड़ा
= नियत भाड़ा + प्रति किलोमीटर भाड़ा × 25
= 5 + 10 × 25
= 5 + 250 = 255
अत:,
नियत भाड़ा = Rs 5, प्रति किलोमीटर भाड़ा = Rs 10 तथा 25 km यात्रा के लिए भाड़ा = Rs 255 उत्तर
(v) यदि किसी भिन्न के अंश और हर दोनों में 2 जोड़ दिया जाय, तो वह 9/11 हो जाती है। यदि अंश और हर दोनों में 3 जोड़ दिया जाए, तो वह 5/6 हो जाती है। वह भिन्न ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लिया कि भिन्न = x/y
प्रश्न के अनुसार
अंश तथा हर में 2 जोड़ने पर
x + 2/y + 2 = 9/11
क्रॉस गुणा (बज्र गुणन) करने पर हम पाते हैं कि
⇒ 11(x + 2) = 9(y + 2)
⇒ 11x + 22 = 9y + 18
⇒ 11x – 9y = 18 – 22
⇒ 11x – 9y = – 4 - - - - (i)
तथा पुन: प्रश्न के अनुसार अंश तथा हर में 3 जोड़ने पर
x + 3/y + 3 = 5/6
क्रॉस गुणा (बज्र गुणन) करने पर
⇒ 6(x + 3) = 5(y + 3)
⇒ 6x + 18 = 5y + 15
⇒ 6x – 5y = 15 – 18
⇒ 6x – 5y = – 3 - - - - (ii)
⇒ 6x = – 3 + 5y
⇒ x = – 3 + 5y/6 - - - - (iii)
अब x का मान समीकरण (i) में रखने पर हम पाते हैं कि
11 × – 3 + 5y/6 – 9 y = – 4
⇒ – 33 + 55 y/6 – 9 y = – 4
⇒ ( – 33 + 55y – 54y ) 6 = – 4
⇒ – 33 + y = – 24
⇒ y = – 24 + 33 = 9
अब y का मान समीकरण (iii) में रखने पर हम पाते हैं कि
x = – 3 + 5 × 9/6
⇒ x = – 3 + 45/6
⇒ x = 42/6 = 7
अत: x = 7 तथा y = 9
अत: भिन्न = 7/9 उत्तर
(vi) पाँच वर्ष बाद जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु से तीन गुनी हो जाएगी। पाँच वर्ष पूर्व जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु की सात गुनी थी। उसकी वर्तमान आयु क्या है?
हल:
मान लिया कि जैकब की वर्तमान आयु = j वर्ष
तथा जैकब के पुत्र की वर्तमान आयु = s वर्ष
प्रश्न के अनुसार आज से पाँच वर्ष बाद
j + 5 = 3(s + 5)
⇒ j + 5 = 3s + 15
⇒ j – 3s = 15 – 5
⇒ j – 3s = 10 - - - - (i)
तथा प्रश्न के अनुसार पाँच वर्ष पहले
j – 5 = 7(s – 5)
⇒ j – 5= 7s – 35
⇒ j – 7s = – 35+5 = – 30 - - - - (ii)
अब,
⇒ j = – 30 + 7 s - - - - (iii)
समीकरण (iii) से j का मान समीकरण (i) में रखने पर हम पाते हैं कि
– 30 + 7s – 3s = 10
⇒ – 30 + 4s =10
⇒ 4s = 10 + 30 = 40
⇒ s = 40/4 = 10
अब s का मान समीकरण (i) में रखने पर हम पाते हैं कि
j – 3 × 10 = 10
⇒ j – 30 = 10
⇒ j = 10 + 30 = 40
अत: जैकब की वर्तमान आयु = 40 वर्ष तथा जैकब के पुत्र की वर्तमान आयु = 10 वर्ष उत्तर
Reference: