सरल रेखा में गति - ग्यारहवीं भौतिकी

प्रश्न संख्या (3.1) नीचे दिये गये गति के कौन से उदाहरणों में वस्तु को लगभग बिन्दु वस्तु माना जा सकता है:

(a) दो स्टेशनों ए बीच बिना किसी झटके के चल रही कोई रेलगाड़ी।

(b) किसी वृत्तीय पथ पर साइकिल चला रहे किसी व्यक्ति के ऊपर बैठा कोई बंदर।

(c) जमीन से टकरा कर तेजी से मुड़ने वाली क्रिकेट की कोई फिरकती गेंद।

(d) किसी मेज के किनारे से फिसल कर गिरा कोई बीकर।

हल

यहाँ विकल्प (a), (b) और (c) में दी गयी वस्तुओं को लगभग बिन्दु वस्तु माना जा सकता है।

ब्याख्या

विशेषकर सरल रेखा के अनुदिश गतिमान वस्तुओं को अतिसूक्ष्म मानकर बिन्दु रूप में निरूपित किया जाता है। यह सन्निकटन तब तक मान्य होता है जब तक वस्तु का आकार निश्चित समय अंतराल में वस्तु द्वारा चली गयी दूरी की अपेक्षा पर्याप्त रूप से कम होता है। वास्तविक जीवन में बहुत सी स्थितियों में वस्तु के साइज की उपेक्षा की जा सकती है और बिना अधिक त्रुटि के उन्हें एक बिन्दु वस्तु माना जा सकता है।

विकल्प (a) में चूँकि दो स्टेशनों के बीच की दूरी अधिक है तथा उस दूरी को तय करने में रेलगाड़ी को समय भी लगता है, अत: इन दो स्टेशनों के बीच चल रही रेलगाड़ी की गति का आकलन करने के लिए इसे बिन्दु साइज का माना जा सकता है।

विकल्प (b) में किसी वृत्तीय पथ पर साइकिल चला रहे किसी व्यक्ति के ऊपर बैठे बंदर को भी बिन्दु साइज का माना जा सकता है। चूँकि बंदर तय की जाने वाली दूरी और उसमें लगने वाले समय के अनुपात में छोटा है।

विकल्प (c) में क्रिकेट बॉल को एक बिन्दु साइज माना जा सकता है, चूँकि ग्राऊंड की तुलना में बॉल काफी छोटा है।

विकल्प (d) में मेज और मेज से जमीन तक की जगह को बिन्दु साइज नहीं माना जा सकता है। क्योंकि दूरी और उसे तय करने में लगने वाला समय अपेक्षाकृत काफी कम है।

प्रश्न संख्या (3.2) दो बच्चे A व B अपने विद्यालय O से लौट कर क्रमश: P तथा Q को जा रहे हैं। उनके स्थिति-समय (x-t) ग्राफ चित्र में दिखाए गये हैं। नीचे लिखे कोष्टक में समी प्रविष्टियों को चुनिये:

(a) (B/A) की तुलना में (A/B) विद्यालय के निकट रहता है।

(b) (B/A) की तुलना में (A/B) विद्यालय से पहले चलता है।

(c) (B/A) की तुलना में (A/B) तेज चलता है।

(d) A और B घर (एक ही/भिन्न) समय पर पहुँचता है।

(e) (A/B) सड़क पर (B/A) से (एक बार/दो बार) आगे हो जाते हैं।

हल

(a) B की तुलना में A विद्यालय से अधिक नजदीक रहता है।

ब्याख्या दिये गये स्थिति-समय ग्राफ से यह स्पष्ट है कि OP कम है OQ से। अर्थात B की तुलना में A को विद्यालय आने और जाने के लिए कम दूरी तय करना पड़ता है।

इसका अर्थ यह है कि B की तुलना में A विद्यालय से अधिक नजदीक रहता है।

(b) B की तुलना में A विद्यालय से पहले चलता है।

ब्याख्या दिये गये स्थिति-समय ग्राफ से यह स्पष्ट है कि A विद्यालय से x=0 और t=0 पर चलता है जबकि B विद्यालय से x=0 और t=कुछ समय (t=0 के कुछ समय बाद) विद्यालय से चलता है।

अत: A विद्यालय से B से पहले चलता है।

(c) A की तुलना में B तेजी से चलता है।

ब्याख्या स्थिति-समय ग्राफ में ग्राफ की ढ़ाल गति को दर्शाता है। तीक्ष्ण ढ़ाल तेज गति को तथा कम तीक्ष्ण ढ़ाल अपेक्षाकृत कम गति को दर्शाता है।

दिये गये ग्राफ से यह स्पष्ट है कि B का ग्राफ A की तुलना में अधिक तीक्ष्ण है।

स्पष्टत: A की तुलना में B अधिक तेजी से चलता है।

(d) B सड़क पर एक बार A से आगे हो जाते हैं।

ब्याख्या दिये गये स्थिति-समय ग्राफ से यह स्पष्ट है कि B के ग्राफ की ढ़ाल A की तुलना में अधिक तीक्ष्ण है। अर्थात A की तुलना में B अधिक तेजी से चलता है। तथा चूँकि दोनों लाइने एक बार एक दूसरे से मिलती है।

अत: B सड़क पर एक बार A से आगे हो जाते हैं।

प्रश्न संख्या (3.3) एक महिला अपने घर से प्रात: 9.00 बजे 2.5 km दूर अपने कार्थालय के लिए सीधी सड़क पर 5 kmh^–1 चाल से चलती है। वहाँ वह सायं 5.00 बजे तक रहती है और 25 kmh^–1 की चाल से चल रही किसी ऑटो रिक्शा द्वारा अपने घर लौट आती है। उपयुक्त पैमाना चुनिए तथा उसकी गति का x-t ग्राफ खींचिए।

हल

दिया गया है, महिला के घर से ऑफिस के लिए चलने का समय = 9.00 am

ऑफिस जाते समय गति = 5 km/h

घर से ऑफिस की दूरी = 2.5 km

ऑफिस में रहने का समय = 5.00 pm तक

ऑफिस से घर के लिए चलने का समय = 5.00 pm

ऑफिस से घर के लिए चलने में गति = 25 km/h

हम जानते हैं कि, समय = दूरी/गति

अत: ऑफिस पहुँचने में लगा समय

`=(2.5\ km)/(5\ km//h)`

`=1/2h=30m`

अत: घर से ऑफिस पहुँचने का समय = ऑफिस के लिए चलने का समय + ऑफिस पहुँचने में लगा समय

= 9.00 am + 30 m

अत: ऑफिस पहुँचने का समय = 9.30 am

तथा ऑफिस से वापस आने में लगा समय

`=(2.5\ km)/(25\ km//h)`

`=1/10h=6m`

अत: ऑफिस से घर पहुँचने का समय = ऑफिस से चलने का समय + ऑफिस से घर पहुँचने में लगा समय

= 5.00 pm + 6 m

अत: ऑफिस से वापस आने का समय = 5.06 pm

अत: ऊपर के इन आँकड़ों से खींचा गया स्थिति-समय (x-t) ग्राफ निम्न है।

प्रश्न संख्या (3.4) कोई शराबी किसी तंग गली में 5 कदम आगे बढ़ता है और 3 कदम पीछे आता है, उसके बाद फिर 5 कदम आगे बढ़ता है और 3 कदम पीछे आता है, और इसी तरह वह चलता रहता है। उसका हर कदम 1m लम्बा है और 1s समय लगता है। उसकी गति का x-t ग्राफ खींचिए। ग्राफ से तथा किसी अन्य विधि से यह ज्ञात कीजिए कि वह जहाँ से चलना प्रारंभ करता है वहाँ से 13 m दूर किसी गड्ढ़े में कितने समय पश्चात गिरता है।

हल

दिया गया है, शराबी द्वारा एक बार में आगे चला गया कदम = 5 कदम

शराबी द्वारा एक बार आगे बढ़ने के बाद पीछे चला गया कदम = 3 कदम

शराबी के प्रत्येक कदम की लम्बाई = 1m

शराबी द्वारा एक कदम चलने में लगने वाला समय = 1s

शराबी द्वारा चलना प्रारम्भ किये गये स्थान से गड्ढ़े की दूरी = 13m

तो चलना प्रारंभ करने के बाद गड्ढ़े में गिरने में लगा समय = ?

शराबी द्वारा एक चाल (move) में तय की गयी दूरी = आगे चलने में तय की गयी कुल दूरी – पीछे चलने में तय की गयी कुल दूरी

= 5 m – 3 m

अत: पहले आगे तथा पीछे चलने में तय की गयी दूरी = 2m

पहली बार 5 कदम तय करने में लगा समय = 5s

तथा पहले बार 3 कदम पीछे चलने में लगा समय = 3s

अत: पहला 2 m तय करने में लगा समय = 8s

उसी तरह, दूसरा 2 m अर्थात कुल 4m तय करने में लगा समय = 8s × 2 = 16s

उसी तरह अगला कुल 8m मीटर तय करने में लगा समय = 16s × 2 = 32s

अब प्रश्न के अनुसार पीछे चलने के बाद शराबी 5 कदम आगे चलता है।

अब दिया गया है, गड्ढ़े की दूरी = 13m

अत: बची हुयी दूरी = 13m – 32s में तय की गयी दूरी

= 13m – 8m = 5m

अब चूँकि शराबी 5 कदम आगे बढ़ाता है और एक कदम की लम्बाई 1m है और एक कदम बढ़ाने में 1s लगता है।

अत: इस बचे हुए 5m पहुँचने में लगा समय = 5s

अत: गड्ढ़े में गिरने में लगा समय = पहला 8m तय करने में लगा समय + अंतिम 5m तय करने में लगा समय

= 32s + 5s = 37s

अत: चलना शुरू करने के 37s बाद शराबी गड्ढ़े में गिर जायेगा।

शराबी की गति का x-t ग्राफ

प्रश्न संख्या (3.5) कोई जेट वायुयान 500 km h^–1 की चाल से चल रहा है और यह जेट यान के सापेक्ष 1500 km h^–1 की चाल से अपने दहन उत्पादों को बाहर निकालता है। जमीन पर खड़े किसी प्रेक्षक के सापेक्ष इन दहन उत्पादों की चाल क्या होगी?

हल

दिया गया है, जेट वायुयान की चाल (v_jet) = 500 km/h

दहन उत्पाद की चाल (v_pc) = 1500 km/h

अत: जमीन पर खड़े किसी प्रेक्षक के सापेक्ष इन दहन उत्पादों की चाल (v_o) = ?

चूँकि दहन उत्पाद की चाल (v_pc) वायुयान के विपरीत दिशा में है अत: इसका चिन्ह ऋणात्मक होगा।

i.e. v_pc = –1500 km/h

अब,

जमीन पर खड़े प्रेक्षक के सापेक्ष दहन उत्पाद की चाल (v_o) = दहन उत्पाद की चाल (v_pc) + जेट वायुयान की चाल (v_jet)

⇒ v_o = –1500 km/h + 500 km/h

⇒ v_o = –1000 km/h

यहाँ दहन उत्पाद की चाल का ऋणात्मक चिन्ह बतलाता है कि यह वायुयान के विपरीत दिशा में जा रहा है।

अत: जमीन पर खड़े प्रेक्षक के सापेक्ष दहन उत्पाद की चाल = –1000 km/h उत्तर

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