भिन्न एवं दशमलव
भिन्न क्या होता है?
जो संपूर्ण के एक भाग को निरूपित करती है, भिन्न कहलाती है।
उदाहरण:
`1/2, 2/3, 3/4` इत्यादि
भिन्न `1/2` का अर्थ है कुल 2 भागों में 1 भाग।
इसी तरह भिन्न `2/3` का अर्थ है कुल 3 भागों में से एक भाग।
इसी तरह भिन्न `3/4` का अर्थ है कुल 4 भागों में से 3 भाग।
अंश तथा हर
एक भिन्न के उपर वाले भाग को अंश तथा नीचे वाले भाग को हर कहते हैं।
भिन्न के प्रकार
भिन्न को तीन भागों में बाँटा जा सकता है। भिन्न के ये तीन भाग हैं उचित भिन्न, विषम भिन्न, तथा मिश्रित भिन्न।
(a) उचित भिन्न (प्रॉपर फ्रैक्शन)
भिन्न जिसका अंश, हर से छोटा हो, उचित भिन्न कहलाता है।
उदाहरण :
`1/2, 2/3, 3/4` इत्यादि
(b) विषम भिन्न
भिन्न जिसमें अंश बड़ा तथा हर छोटा हो, विषम भिन्न कहलाता है।
उदाहरण:
`4/3, 5/4, 6/5` इत्यादि
(c) मिश्रित भिन्न
भिन्न जो संपूर्ण एवं उचित भिन्न का संयोजन हो, मिश्रित भिन्न कहलाता है।
उदाहरण:
`1 2/3, 2 4/5, 3 2/3` इत्यादि
एक विषम भिन्न को मिश्रित भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है।
एनसीईआरटी प्रश्नावली 2.1
प्रश्न संख्या (1) Solve:
(i) `2-3/5`
हल:
दिया गया है, `2-3/5`
`=2/1-3/5`
अब भिन्न पर आधारित दिये गये प्रश्न को हल करने के लिए, सर्वप्रथम इनके हर का लघुत्तम समापवर्तक (एल सी एम) निकालना होता है। यहाँ दिये गये भिन्नों के हर का लघुत्तम समापवर्तक (एल सी एम) = 5
`=((2xx5)-(3xx1))/5`
`=(10-3)/5`
`=7/5`
`=1 2/5` उत्तर
(ii) `4+7/8`
हल :
दिया गया है, `4+7/8`
`=4/1+7/8`
अब भिन्न पर आधारित दिये गये प्रश्न को हल करने के लिए, सर्वप्रथम इनके हर का लघुत्तम समापवर्तक (एल सी एम) निकालना होता है। यहाँ दिये गये भिन्नों के हर का लघुत्तम समापवर्तक (एल सी एम) = 8
`=((4xx8)+(7xx1))/8`
`=(32+7)/8`
`=39/8`
`=4 7/8` उत्तर
(iii) `3/5+2/7`
हल :
दिया गया है, `3/5+2/7`
अब भिन्न पर आधारित दिये गये प्रश्न को हल करने के लिए, सर्वप्रथम इनके हर का लघुत्तम समापवर्तक (एल सी एम) निकालना होता है। यहाँ दिये गये भिन्नों के हर का लघुत्तम समापवर्तक (एल सी एम) = 5 × 7 = 35
`=((3xx7)+(2xx5))/35`
`=(21+10)/35`
`=31/35` उत्तर
(iv) `9/11-4/15`
हल :
दिया गया है, `9/11-4/15`
अब भिन्न पर आधारित दिये गये प्रश्न को हल करने के लिए, सर्वप्रथम इनके हर का लघुत्तम समापवर्तक (एल सी एम) निकालना होता है। यहाँ दिये गये भिन्नों के हर का लघुत्तम समापवर्तक (एल सी एम) = 11 × 15 = 165
`=((9xx15)-(4xx11))/165`
`=(135-44)165`
`=91/165` उत्तर
(v) `7/10+2/5+3/2`
हल :
दिया गया है, `7/10+2/5+3/2`
अब भिन्न पर आधारित दिये गये प्रश्न को हल करने के लिए, सर्वप्रथम इनके हर का लघुत्तम समापवर्तक (एल सी एम) निकालना होता है। यहाँ दिये गये भिन्नों के हर का लघुत्तम समापवर्तक (एल सी एम) = 10
`=(7+(2xx2)+(3xx5))/10`
`=(7+4+15)/10`
`=26/10`
`=(13xxcancel2)/(5xxcancel2)`
`=13/5`
`=2 3/5` उत्तर
(vi) `2 2/3+3 1/2`
हल :
दिया गया है, `2 2/3+3 1/2`
`=8/3+7/2`
अब भिन्न पर आधारित दिये गये प्रश्न को हल करने के लिए, सर्वप्रथम इनके हर का लघुत्तम समापवर्तक (एल सी एम) निकालना होता है। यहाँ दिये गये भिन्नों के हर का लघुत्तम समापवर्तक (एल सी एम) = 3 × 2 = 6
`=((8xx2)+(7xx3))/6`
`=(16+21)/6`
`=37/6`
`=6 1/6` उत्तर
(vii) `8 1/2-3 5/8`
हल :
दिया गया है, `8 1/2-3 5/8`
`=17/2-29/8`
अब भिन्न पर आधारित दिये गये प्रश्न को हल करने के लिए, सर्वप्रथम इनके हर का लघुत्तम समापवर्तक (एल सी एम) निकालना होता है। यहाँ दिये गये भिन्नों के हर का लघुत्तम समापवर्तक (एल सी एम) = 8
`=((17xx4)-29)/8`
`=(68-29)/8`
`=39/8`
`=4 7/8` उत्तर
प्रश्न संख्या (2) निम्नलिखित को अवरोही क्रम में रखिए :
(i) `2/9, 2/3, 8/21`
हल :
दिया गया है, `2/9, 2/3, 8/21`
भिन्न की तुलना करने या उसे आरोही या अवरोही क्रम में रखने के लिए सर्वप्रथम उनके अंश तथा हर को आवश्यक संख्या से गुणा कर उनके हर को बराबर किया जाता है। हर के बराबर हो जाने पर भिन्न की तुलना आसानी से की जा सकती है।
यहाँ दिये गये भिन्नों के हर का लघुत्तम समापवर्तक (एल सी एम) = 63
`=(2xx7)/(9xx7), (2xx21)/(3xx21)` and `(8xx3)/(21xx3)`
`=14/63 , 42/63, 24/63`
स्पष्ट रूप से उपरोक्त प्राप्त भिन्न का अवरोही क्रम निम्नांकित है
`42/63 > 24/63 > 14/63`
अत: दिये गये भिन्नों का अवरोही क्रम है
`2/3 > 8/3 > 2/9` उत्तर
(ii) `1/5, 3/7, 7/10`
हल :
दिया गया है, `1/5, 3/7, 7/10`
भिन्न की तुलना करने या उसे आरोही या अवरोही क्रम में रखने के लिए सर्वप्रथम उनके अंश तथा हर को आवश्यक संख्या से गुणा कर उनके हर को बराबर किया जाता है। हर के बराबर हो जाने पर भिन्न की तुलना आसानी से की जा सकती है।
यहाँ दिये गये भिन्नों के हर का लघुत्तम समापवर्तक (एल सी एम) = 70
`=(1xx14)/(5xx14), (3xx10)/(7xx10)` and `(7xx7)/(10xx7)`
`=14/70, 30/70, 49/70`
स्पष्ट रूप से उपरोक्त प्राप्त भिन्न का अवरोही क्रम निम्नांकित है
`=49/70 > 30/70 > 14/70`
अत: दिये गये भिन्नों का अवरोही क्रम है
`7/10 > 3/7 > 1/5` उत्तर
संदर्भ (Reference):