पूर्णांक
दो या दो से ज्यादा पूर्णांकों का गुणन
पूर्णांको को गुणा करना काफी सरल अर्थात आसान है।
केवल एक नियम को याद रखकर दो या दो से अधिक पूर्णांकों का गुणा आसानी से तथा सही सही किया जा सकता है।
नियम: (1) दिये गये पूर्णांकों को बिना उनके चिन्हों को ध्यान में रखते हुए साधारण तरीके से गुणा करें।
(2) अब ऋणात्मक (–) पूर्णांकों की संख्या को गिनें।
(a) यदि ऋणात्मक पूर्णांकों की कुल संख्या एक विषम संख्या है, तो उनके गुणनफल में ऋणात्मक चिन्ह लगेगा। अर्थात विषम ऋणात्मक पूर्णांकों का गुणनफल एक ऋणात्मक पूर्णांक होता है।
(b) तथा यदि ऋणात्मक पूर्णांकों की कुल संख्या एक सम संख्या है, तो उनके गुणनफल में धनात्मक चिन्ह लगेगा। अर्थात सम ऋणात्मक पूर्णांकों का गुणनफल एक धनात्मक पूर्णांक होता है।
(c) यदि ऋणात्मक पूर्णांकों की कुल संख्या शून्य है, अर्थात सभी पूर्णांक धनात्मक हैं, तो गुणनफल एक धनात्मक पूर्णांक होता है।
समेकित रूप से :
दिये गये पूर्णांकों में ऋणात्मक पूर्णांको की संख्या को गिनें। यदि ऋणात्मक पूर्णांकों की संख्या एक विषम संख्यां है, तो उनका गुणनफल एक ऋणात्मक पूर्णांक होगा। तथा यदि ऋणात्मक पूर्णांकों की संख्या शून्य अथवा सम संख्यां है, तो गुणनफल एक धनात्मक पूर्णांक होगा।
दूसरे शब्दों में, यदि गुणा किये जाने वाले पूर्णांकों में ऋणात्मक पूर्णांकों की संख्या विषम है तो गुणनफल एक ऋणात्मक पूर्णांक होगा अन्यथा गुणनफल एक धनात्मक पूर्णांक होता है।
उदारण:
(a) यदि गुणा किये जाने वाले पूर्णांको में ऋणात्मक पूर्णांकों की संख्या = 1, 3, 5, 7, 9, 11, . . . . . है, अर्थात एक विषम संख्या है।
तो उनका गुणनफल एक ऋणात्मक पूर्णांक होगा।
अन्यथा, अर्थात यदि ऋणात्मक पूर्णांकों की संख्या = 0, 2, 4, 6, 8, 10, . . . . . . . . . है,
तो गुणनफल एक धनात्मक पूर्णांक होगा।
उदाहरण प्रश्न (1) 2 × 4 × 3
हल:
चरण: 1: दिये गये पूर्णांकों को बिना उनके चिन्हों को ध्यान में रखे गुणा करें।
2 × 4 × 3 = 24
चरण: 2: अब गुणा किये जाने वाले पूर्णांकों में ऋणात्मक पूर्णांकों की संख्यां को गिनें
यहाँ गुणा किये जाने वाले पूर्णांकों में ऋणात्मक पूर्णांकों की संख्या = 0.
अर्थात गुणा किये जाने वाले पूर्णांकों को कोई भी ऋणात्मक पूर्णांक नहीं है अर्थात सभी पूर्णांक धनात्मक हैं।
चूँकि ऋणात्मक पूर्णांकों की संख्या = 0 है, अत: दिये गये पूर्णांकों का गुणनफल धनात्मक होगा।
अत:,
2 × 4 × 3 = 24 उत्तर
उदाहरण प्रश्न (2) 2 × 4 × 3 × (– 2)
हल:
चरण (1) दिये गये पूर्णांकों को बिना उनके चिन्हों को ध्यान में रखे साधारण गुणा की विधि से गुणा करें।
2 × 4 × 3 × (– 2) = 48
चरण (2) दिए गये पूर्णांकों में ऋणात्मक पूर्णांकों की संख्यां गिनें।
यहाँ, ऋणात्मक पूर्णांकों की संख्यां = 1
चूँकि, यहाँ ऋणात्मक पूर्णांकों की संख्या बराबर एक (1) है, जो कि एक विषम संख्यां है, अत: गुणनफल एक ऋणात्मक पूर्णांक होगा। अत: गुणनफल में ऋणात्मक चिन्ह लगायें।
2 × 4 × 3 × (– 2)
= – 48 उत्तर
पूर्णांकों का गुणन : अभ्यास प्रश्नावली : 2
प्रश्न संख्या : (1) हल करें: 2 × (–4)
हल:
दिया गया है, 2 × (–4)
चरण: 1. दिये गये पूर्णांकों को बिना उनके चिन्हों को ध्यान में रखे गुणा करें
2 × (–4) = 8
चरण: 2. अब दिये गये पूर्णांकों में ऋणात्मक पूर्णांकों की संख्या ज्ञात करें।
यहाँ ऋणात्मक पूर्णांकों की संख्यां = 1
हम जानते हैं कि यदि गुणकों में ऋणात्मक पूर्णांकों की संख्या विषम हो, तो गुणनफल एक ऋणात्मक पूर्णांक होता है।
अत: दिये गये पूर्णांकों का गुणनफल में ऋणात्मक चिन्ह लगायें, अर्थात दिये गये पूर्णांकों का गुणनफल ऋणात्मक पूर्णांक होगा।
अत:, 2 × (–4) = –8 उत्तर Answer
प्रश्न संख्या : (2) – 4 × 5 × (– 4)
हल:
दिया गया है, – 4 × 5 × (– 4)
यहाँ दिये गये पूर्णांकों में ऋणात्मक पूर्णांकों की संख्या = 2
हम जानते हैं कि यदि दिये गये पूर्णांकों में ऋणात्मक पूर्णांकों की संख्या एक विषम संख्यां हो, तो दिये गये पूर्णांकों का गुणनफल एक ऋणात्मक पूर्णांक होता है तथा यदि ऋणात्मक पूर्णांकों की संख्या शून्य या एक सम संख्यां हो, तो गुणनफल धनात्मक पूर्णांक होता है।
चूँकि दिये गये पूर्णांकों में ऋणात्मक पूर्णांकों की संख्या = 2 है, जो कि एक सम संख्या हैं। अत: दिये गये पूर्णांकों का गुणनफल एक धनात्मक पूर्णांक होगा।
अत: – 4 × 5 × (– 4)
= 80 उत्तर
प्रश्न संख्या : (3) – 5 × 5 × (– 4)
हल:
दिये गया है, – 5 × 5 × (– 4)
यहाँ दिये गये पूर्णांकों में ऋणात्मक पूर्णांकों की संख्या = 2
हम जानते हैं कि यदि दिये गये पूर्णांकों में ऋणात्मक पूर्णांकों की संख्या एक विषम संख्यां हो, तो दिये गये पूर्णांकों का गुणनफल एक ऋणात्मक पूर्णांक होता है तथा यदि ऋणात्मक पूर्णांकों की संख्या शून्य या एक सम संख्यां हो, तो गुणनफल धनात्मक पूर्णांक होता है।
चूँकि दिये गये पूर्णांकों में ऋणात्मक पूर्णांकों की संख्या = 2 है, जो कि एक सम संख्या हैं। अत: दिये गये पूर्णांकों का गुणनफल एक धनात्मक पूर्णांक होगा।
अत: – 5 × 5 × (– 4)
= 100 उत्तर
प्रश्न संख्या : (4) – 5 × (–5) × (– 4)
हल:
दिया गया है, – 5 × (–5) × (– 4)
चरण (i) दिये गये पूर्णांकों को बिना उनके चिन्हों को ध्यान में रखे गुणा करें।
चरण (ii) दिये गये पूर्णांकों में ऋणात्मक पूर्णांकों की संख्या ज्ञात करें।
हम जानते हैं कि यदि दिये गये पूर्णांकों में ऋणात्मक पूर्णांकों की संख्या एक विषम संख्यां हो, तो दिये गये पूर्णांकों का गुणनफल एक ऋणात्मक पूर्णांक होता है तथा यदि ऋणात्मक पूर्णांकों की संख्या शून्य या एक सम संख्यां हो, तो गुणनफल धनात्मक पूर्णांक होता है।
यहाँ ऋणात्मक पूर्णांकों की संख्यां = 3
चूँकि यहाँ ऋणात्मक पूर्णांकों की संख्या 3 (तीन) है, जो कि एक विषम संख्यां है अत: दिये गये पूर्णांकों का गुणनफल एक ऋणात्मक पूर्णांक होगा।
अत:,
– 5 × (–5) × (– 4)
= –100 उत्तर
प्रश्न संख्या : (5) – 6 × (–5) × (– 4)
हल:
दिया गया है, – 6 × (–5) × (– 4)
यहाँ ऋणात्मक पूर्णांकों की संख्या = 3
चूँकि दिये गये पूर्णांकों में ऋणात्मक पूर्णांकों की संख्या बराबर 3 (तीन) है, जो एक विषम संख्या है। अत: दिये गये पूर्णांकों का गुणनफल एक ऋणात्मक पूर्णांक होगा।
अत:
– 6 × (–5) × (– 4)
= –120 उत्तर
प्रश्न संख्या : (6) 6 × 5 × 4 × 10
हल:
दिया गया है, 6 × 5 × 4 × 10
यहाँ ऋणात्मक पूर्णांकों की संख्या = 0
चूँकि दिये गये पूर्णांकों में ऋणात्मक पूर्णांकों की संख्या बराबर शून्य (0) है। अर्थात दिये गये पूर्णांकों में एक भी ऋणात्मक पूर्णांक नहीं है। अत: दिये गये पूर्णांकों का गुणनफल एक धनात्मक पूर्णांक होगा।
अत:, 6 × 5 × 4 × 10
= + 1200
सुविधा के लिये धनात्मक पूर्णांक के पहले धनात्मक चिन्ह नहीं लगाया जाता है। यदि किसी संख्यां के पहले कोई भी चिन्ह (ऋणात्मक या धनात्मक) नहीं लगा है, तो वह संख्यां धनात्मक मानी जाती है।
अत:, 6 × 5 × 4 × 10 = 1200 उत्तर
प्रश्न संख्या (7) – 5 × 4 × (–1) × (–1) × (–1)
हल:
दिया गया है, – 5 × 4 × (–1) × (–1) × (–1)
यहाँ ऋणात्मक पूर्णांकों की संख्या = 4
चूँकि दिये गये पूर्णांकों में ऋणात्मक पूर्णांकों की संख्या बराबर 4 (चार) है, जो एक सम संख्या है। अत: दिये गये पूर्णांकों का गुणनफल एक धनात्मक पूर्णांक होगा।
अत:
अत:, – 5 × 4 × (–1) × (–1) × (–1)
= + 20
सुविधा के लिये धनात्मक पूर्णांक के पहले धनात्मक चिन्ह नहीं लगाया जाता है। यदि किसी संख्यां के पहले कोई भी चिन्ह (ऋणात्मक या धनात्मक) नहीं लगा है, तो वह संख्यां धनात्मक मानी जाती है।
= 20 उत्तर
प्रश्न संख्या : (8) – 5 × (– 4) × (–1) × (–1) × (–1)
हल:
दिया गया है, – 5 × (– 4) × (–1) × (–1) × (–1)
यहाँ ऋणात्मक पूर्णांकों की संख्या = 5
चूँकि दिये गये पूर्णांकों में ऋणात्मक पूर्णांकों की संख्या बराबर 5 (पाँच) है, जो एक विषम संख्या है। अत: दिये गये पूर्णांकों का गुणनफल एक ऋणात्मक पूर्णांक होगा।
अत:
– 5 × (– 4) × (–1) × (–1) × (–1)
= – 20 उत्तर
प्रश्न संख्या (9) 9 × 2 × (–2)
हल:
दिया गया है, 9 × 2 × (–2)
यहाँ ऋणात्मक पूर्णांकों की संख्या = 1
चूँकि दिये गये पूर्णांकों में ऋणात्मक पूर्णांकों की संख्या बराबर 1 (एक) है, जो एक विषम संख्या है। अत: दिये गये पूर्णांकों का गुणनफल एक ऋणात्मक पूर्णांक होगा।
अत:
अत:, 9 × 2 × (–2)
= – 36 उत्तर
प्रश्न संख्या (10) – 1 × 20 × (–1)
हल:
दिया गया है, – 1 × 20 × (–1)
यहाँ ऋणात्मक पूर्णांकों की संख्या = 2
चूँकि दिये गये पूर्णांकों में ऋणात्मक पूर्णांकों की संख्या बराबर 2 (दो) है, जो एक सम संख्या है। अत: दिये गये पूर्णांकों का गुणनफल एक धनात्मक पूर्णांक होगा।
अत:
अत:, – 1 × 20 × (–1)
= 20 उत्तर
प्रश्न संख्या (11) 2× (–1) × (–1) × 5 × (–1) × (–5)
हल:
दिया गया है, 2× (–1) × (–1) × 5 × (–1) × (–5)
यहाँ ऋणात्मक पूर्णांकों की संख्या = 4
चूँकि दिये गये पूर्णांकों में ऋणात्मक पूर्णांकों की संख्या बराबर 4 (चार) है, जो एक सम संख्या है। अत: दिये गये पूर्णांकों का गुणनफल एक धनात्मक पूर्णांक होगा।
अत:
2× (–1) × (–1) × 5 × (–1) × (–5)
= 50 उत्तर
प्रश्न संख्या (12) – 5 × ( – 2 ) × (– 1) × (– 1) ×(– 1) × (– 2)
हल:
दिया गया है,
– 5 × ( – 2 ) × (– 1) × (– 1) ×(– 1) × (– 2)
यहाँ ऋणात्मक पूर्णांकों की संख्या = 6
चूँकि दिये गये पूर्णांकों में ऋणात्मक पूर्णांकों की संख्या बराबर 6 (छ:) है, जो एक सम संख्या है। अत: दिये गये पूर्णांकों का गुणनफल एक धनात्मक पूर्णांक होगा।
अत:
अत:, – 5 × ( – 2 ) × (– 1) × (– 1) ×(– 1) × (– 2)
= 20 उत्तर
प्रश्न संख्या (13) – 6 × 2 × (–1) × (–1) × (–2) × (–5)
हल:
दिया गया है, – 6 × 2 × (–1) × (–1) × (–2) × (–5)
यहाँ ऋणात्मक पूर्णांकों की संख्या = 5
हम जानते हैं कि गुणा किये जाने वाले पूर्णांकों में यदि ऋणात्मक पूर्णांकों की कुल संख्या एक विषम संख्यां हो, तो दिये गये पूर्णांकों का गुणनफल एक ऋणात्मक पूर्णांक होता है।
यहाँ चूँकि दिये गये पूर्णांकों में ऋणात्मक पूर्णांकों की संख्या बराबर 5 (पाँच) है, जो कि एक विषम संख्या है, अत: दिये गये पूर्णाकों का गुणनफल एक ऋणात्मक पूर्णांक होगा।
अत:,
– 6 × 2 × (–1) × (–1) × (–2) × (–5)
= – 120 उत्तर
प्रश्न संख्या (14) –1 × (–1) × (–5) × (–1) × 5 × (–5) × (–3) × (–4)
हल:
दिया गया है, –1 × (–1) × (–5) × (–1) × 5 × (–5) × (–3) × (–4)
यहाँ ऋणात्मक पूर्णांकों की संख्या = 7
हम जानते हैं कि गुणा किये जाने वाले पूर्णांकों में यदि ऋणात्मक पूर्णांकों की कुल संख्या एक विषम संख्यां हो, तो दिये गये पूर्णांकों का गुणनफल एक ऋणात्मक पूर्णांक होता है।
यहाँ चूँकि दिये गये पूर्णांकों में ऋणात्मक पूर्णांकों की संख्या बराबर 7 (सात) है, जो कि एक विषम संख्या है, अत: दिये गये पूर्णाकों का गुणनफल एक ऋणात्मक पूर्णांक होगा।
अत:,
–1 × (–1) × (–5) × (–1) × 5 × (–5) × (–3) × (–4)
= – 1500 उत्तर
प्रश्न संख्या (15) –2 × (–1) × (–4) × (–5)
Given,
–2 × (–1) × (–4) × (–5)
यहाँ ऋणात्मक पूर्णांकों की संख्या = 4
हम जानते हैं कि गुणा किये जाने वाले पूर्णांकों में यदि ऋणात्मक पूर्णांकों की कुल संख्या एक सम संख्यां हो, तो दिये गये पूर्णांकों का गुणनफल एक धनात्मक पूर्णांक होता है।
यहाँ चूँकि दिये गये पूर्णांकों में ऋणात्मक पूर्णांकों की संख्या बराबर 4 (चार) है, जो कि एक सम संख्या है, अत: दिये गये पूर्णाकों का गुणनफल एक धनात्मक पूर्णांक होगा।
अत:,
–2 × (–1) × (–4) × (–5)
= 40 उत्तर
प्रश्न संख्या (16) 2 × 1 × 3 × 1
हल:
दिया गया है, 2 × 1 × 3 × 1
यहाँ ऋणात्मक पूर्णांकों की संख्या = 0
हम जानते हैं कि गुणा किये जाने वाले पूर्णांकों में यदि ऋणात्मक पूर्णांकों की कुल संख्या शून्य या एक सम संख्या हो, तो दिये गये पूर्णांकों का गुणनफल एक धनात्मक पूर्णांक होता है।
यहाँ चूँकि दिये गये पूर्णांकों में ऋणात्मक पूर्णांकों की संख्या बराबर 0 (शून्य) है, अत: दिये गये पूर्णाकों का गुणनफल एक धनात्मक पूर्णांक होगा।
अत:,
2 × 1 × 3 × 1
= 6 उत्तर
प्रश्न संख्या (17) 2 × 1 × 3 × (–1)
हल:
दिया गया है, 2 × 1 × 3 × (–1)
यहाँ ऋणात्मक पूर्णांकों की संख्या = 1
हम जानते हैं कि गुणा किये जाने वाले पूर्णांकों में यदि ऋणात्मक पूर्णांकों की कुल संख्या एक विषम संख्यां हो, तो दिये गये पूर्णांकों का गुणनफल एक ऋणात्मक पूर्णांक होता है।
यहाँ चूँकि दिये गये पूर्णांकों में ऋणात्मक पूर्णांकों की संख्या बराबर 1 (एक) है, जो कि एक विषम संख्या है, अत: दिये गये पूर्णाकों का गुणनफल एक ऋणात्मक पूर्णांक होगा।
अत:,
2 × 1 × 3 × (–1)
= – 6 उत्तर
प्रश्न संख्या (18) 2 × (–1) × 3 × (–1)
दिया गया है, 2 × (–1) × 3 × (–1)
यहाँ ऋणात्मक पूर्णांकों की संख्या = 2
हम जानते हैं कि गुणा किये जाने वाले पूर्णांकों में यदि ऋणात्मक पूर्णांकों की कुल संख्या एक सम संख्यां हो, तो दिये गये पूर्णांकों का गुणनफल एक धनात्मक पूर्णांक होता है।
यहाँ चूँकि दिये गये पूर्णांकों में ऋणात्मक पूर्णांकों की संख्या बराबर 2 (दो) है, जो कि एक सम संख्या है, अत: दिये गये पूर्णाकों का गुणनफल एक धनात्मक पूर्णांक होगा।
अत:,
अत:, 2 × (–1) × 3 × (–1)
= 6 उत्तर
प्रश्न संख्या (19) 3 × (–5) × 3 × 1
हल:
दिया गया है, 3 × (–5) × 3 × 1
यहाँ ऋणात्मक पूर्णांकों की संख्या = 1
हम जानते हैं कि गुणा किये जाने वाले पूर्णांकों में यदि ऋणात्मक पूर्णांकों की कुल संख्या एक विषम संख्यां हो, तो दिये गये पूर्णांकों का गुणनफल एक ऋणात्मक पूर्णांक होता है।
यहाँ चूँकि दिये गये पूर्णांकों में ऋणात्मक पूर्णांकों की संख्या बराबर 1 (एक) है, जो कि एक विषम संख्या है, अत: दिये गये पूर्णाकों का गुणनफल एक ऋणात्मक पूर्णांक होगा।
अत:,
3 × (–5) × 3 × 1
= – 45 उत्तर
संदर्भ (Reference):