वर्ग सात गणित

पूर्णांक

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पूर्णांकों का योग या जोड़

समान चिन्ह वाले पूर्णांकों (इनटिजर्स) का जोड़ना

समान चिन्ह वाले पूर्णांकों, अर्थात केवल धनात्मक पूर्णांक या केवल ऋणात्मक पूर्णांकों को जोड़ने के नियम

समान चिन्ह वाले दिये गये पूर्णांकों को उनके चिन्हों को बिना ध्यान में रखे जोड़ें। फिर योगफल में कॉमन चिन्ह (उभयनिष्ठ चिन्ह) को लगायें।

इसका अर्थ है, कि यदि केवल धनात्मक पूर्णाकों को जोड़ना है, तो दिये गये धनात्मक पूर्णांकों को साधारण तरीके से जोड़ दें। फिर योगफल में धनात्मक चिन्ह लगायें।

तथा यदि केवल ऋणात्मक पूर्णांकों को जोड़ना है, तो दिये गये ऋणात्मक पूर्णांकों के चिन्ह को बिना ध्यान में रखे अर्थात भूलकर साधारण तरीके से जोड़ें। फिर योगफल में ऋणात्मक चिन्ह लगायें।

दो समान चिन्ह वाले पूर्णांकों को जोड़ने के लिये आवश्यक चरण

चरण : (i) दिये गये पूर्णांकों के चिन्हों को भूल जायें। फिर उन्हें साधारण तरह से जोड़ें।

चरण : (ii) अब प्राप्त योगफल में कॉमन चिन्ह (उभयनिष्ठ चिन्ह) को लगायें। अर्थात यदि दिये गये पूर्णांक धनात्मक हैं, तो योगफल में धनात्मक चिन्ह लगायें तथा यदि दिये गये पूर्णांक ऋणात्मक हैं तो योगफल में ऋणात्मक चिन्ह लगायें।

उदाहरण :

दो धनात्मक पूर्णांकों (पॉजिटिव इंटिजर) को जोड़ना

उदाहरण प्रश्न संख्या : (1) 25 तथा 45 को जोड़ें।

हल:

दिया गया है, 25 तथा 45

चरण : (1) दिये गये पूर्णांकों के चिन्हों को बिना ध्यान में रखे, उन्हें जोड़ दें।

25 + 45 = 70

अब चूँकि दोनों पूर्णांकों का चिन्ह धनात्मक है, अत: योगफल में धनात्मक चिन्ह लगायें।

= + 70

सुविधा के लिये धनात्मक पूर्णांकों के आगे कोई चिन्ह नहीं लगाया जाता है।

अर्थात, '+ 70' या '70' दोनों को धनात्मक माना जाता है।

अत: 25 + 45 = 70 उत्तर

उदाहरण प्रश्न संख्या : (2) 55 और 27 को जोड़ें।

हल:

दिया गया है, 55 + 27

चूँकि दोनों पूर्णांकों के चिन्ह कॉमन हैं, अत: चिन्हों को बिना ध्यान में रखे दिये गये पूर्णांकों को जोड़ें।

55 + 27 = 82

अब दिये गये पूर्णांकों में धनात्मक चिन्ह कॉमन है। अत: योगफल में धनात्मक चिन्ह को लगायें।

अत:, 55 + 27 = + 82 या 82उत्तर

उदाहरण प्रश्न संख्या: (3) 37 तथा 23 को जोड़ें

हल:

दिया गया है, 37 + 23

यहाँ दिये गये दोनों इंटिजर धनात्मक हैं।

अत: दोनों इंटिजर को जोड़ें।

37 + 23 = 60

अब दिये गये पूर्णांकों में धनात्मक चिन्ह कॉमन है। अत: योगफल में धनात्मक चिन्ह को लगायें।

अत:, 37 + 23 = +60 या 60उत्तर

दो से अधिक धनात्मक पूर्णांकों का जोड़

दो या दो से अधिक धनात्मक पूर्णांकों के जोड़ में समान नियम लागू होते हैं।

उदारण :

उदाहरण प्रश्न संख्या: (i) 25, 35, और 10 को जोड़ें।

हल:

दिया गया है, 25, 35, और 10

यहाँ चूँकि दिये गये तीनों पूर्णांक धनात्मक हैं, अत: तीनों को जोड़ें। तथा योगफल में धनात्मक चिन्ह लगायें।

अत:, 25 + 35 + 10 = 70उत्तर

उदाहरण प्रश्न संख्या : (ii) 25, 35, 10, और 40 को जोड़ें।

हल:

दिया गया है, 25, 35, 10, 40

यहाँ चूँकि दिये गये सभी पूर्णांक धनात्मक हैं, अत: सभी को जोड़ें। तथा योगफल में धनात्मक चिन्ह लगायें।

अत:, 25 + 35 + 10 + 40 = 110उत्तर

उदाहरण प्रश्न संख्या: (iii) 25, 35, 40, 50 और 10 को जोड़ें।

हल:

दिया गया है, 25, 35, 40, 50 और 10

यहाँ चूँकि दिये गये सभी पूर्णांक धनात्मक हैं, अत: सभी को जोड़ें। तथा योगफल में धनात्मक चिन्ह लगायें।

अत:, 25 + 35 + 40 + 50 + 10 = 160उत्तर

उदाहरण प्रश्न संख्या: (iv) 5, 5, 4, 5, 8 और 10 को जोड़ें।

हल:

दिया गया है, 5, 5, 4, 5, 8 और 10

यहाँ चूँकि दिये गये सभी पूर्णांक धनात्मक हैं, अत: सभी को जोड़ें। तथा योगफल में धनात्मक चिन्ह लगायें।

अत:, 5 + 5 + 4 + 5 + 8 + 10 = 37उत्तर

उदाहरण प्रश्न संख्या: (v) 1, 1, 2, 3, 4, 5, 8 और 10 को जोड़ें।

हल:

दिया गया है, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 8 और 10

यहाँ चूँकि दिये गये सभी पूर्णांक धनात्मक हैं, अत: सभी को जोड़ें। तथा योगफल में धनात्मक चिन्ह लगायें।

अत: 1 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 8 + 10 = 34उत्तर

दो ऋणात्मक पूर्णांकों को जोड़ना

उदाहरण प्रश्न संख्या: (1) – 12 और (– 16) को जोड़ें।

हल:

दिया गया है, – 12 और (– 16)

चरण: (i) पूर्णांकों के चिन्हों को भूल जायें। फिर उन्हें जोड़ दें।

12 + 16 = 28

चरण (2): पूर्णांकों के कॉमन चिन्ह (यहाँ ऋणात्मक चिन्ह) को योगफल के प्रारंभ में लगायें। यहाँ चूँकि दो ऋणात्मक पूर्णांकों को जोड़ा जा रहा है, अत: योगफल में ऋणात्मक चिन्ह लगायें।

= – 28

अत: – 12 + (–16) = – 28 उत्तर

उदाहरण प्रश्न संख्या: (2) – 15 और –25 को जोड़ें।

हल:

दिया गया है, – 15 और – 25

चरण : (i) दिये गये पूर्णांकों को उनके चिन्हों को ध्यान में रखे बिना जोड़ें।

15 + 25 = 40

चरण : (ii) योगफल में दिये गये पूर्णांकों के कॉमन चिन्ह को लगायें।

= – 40

अत:, – 15 + (– 25)= – 40 उत्तर

उदाहरण प्रश्न संख्या: (3) –10 और –35 को जोड़ें।

हल:

दिया गया है, – 10 + (–35)

चरण : (i) दिये गये पूर्णांकों को उनके चिन्हों को ध्यान में रखे बिना जोड़ें।

i.e. 10 + 35 = 45

चरण : (ii) योगफल में दिये गये पूर्णांकों के कॉमन चिन्ह को लगायें।

= – 45

अत:, – 10 + (–35) = – 45

उदाहरण प्रश्न संख्या: (4) – 22 और – 115 को जोड़ें।

हल:

दिया गया है, – 22 और – 115

चरण : (i) दिये गये पूर्णांकों को उनके चिन्हों को ध्यान में रखे बिना जोड़ें।

22 + 115 = 137

चरण : (ii) योगफल में दिये गये पूर्णांकों के कॉमन चिन्ह को लगायें।

अत: – 22 + – 115 = –137 उत्तर

दो से अधिक ऋणात्मक पूर्णांकों का जोड़ :

उदाहरण प्रश्न संख्या: (5) –10, –15 और –25 को जोड़ें।

हल:

दिया गया है, –10, –15 और –25

चरण : (i) दिये गये पूर्णांकों को उनके चिन्हों को ध्यान में रखे बिना जोड़ें।

10 + 15 + 25 = 50

चरण : (ii) योगफल में दिये गये पूर्णांकों के कॉमन चिन्ह को लगायें।

= – 50

अत:, – 10 + (– 15)+(–25)

= – 50 उत्तर

उदाहरण प्रश्न संख्या: (6) –20, –25, –40 और –10 को जोड़ें।

हल:

दिया गया है, –20, –25, –40 और –10

चरण : (i) दिये गये पूर्णांकों को उनके चिन्हों को ध्यान में रखे बिना जोड़ें।

= 20 + 25 + 40 + 10 = 95

चरण : (ii) योगफल में दिये गये पूर्णांकों के कॉमन चिन्ह को लगायें।

=– 95

अत: (–20) + (–25) + (–40) + (–10)

= – 95 उत्तर

दो विपरीत चिन्ह वाले पूर्णांकों को जोड़ना

धनात्मक तथा ऋणात्मक पूर्णांकों को जोड़ना

एक धनात्मक पूर्णांक तथा एक ऋणात्मक पूर्णांक को जोड़ने का नियम

एक धनात्मक पूर्णांक तथा एक ऋणात्मक पूर्णांक को जोड़ने के लिये, सर्वप्रथम उनके चिन्हों को भूलकर उनका अंतर ज्ञात करें। फिर प्राप्त अंतर में बड़े वाले पूर्णांक का चिन्ह लगायें।

Example:

उदाहरण प्रश्न संख्या (1) 10 तथा – 15 को जोड़ें।

हल:

दिया गया है, 10 और – 15

चरण: (i) दिये गये पूर्णांकों के चिन्ह को भूल जायें अर्थात हटा दें।

अत: दिया गया पूर्णांक हो जायेगा, 10 और 15

चरण: (ii) दिये गये पूर्णांकों का अंतर ज्ञात करें।

15 – 10 = 5

चरण : (iii) प्राप्त अंतर में बड़े वाले पूर्णांक का चिन्ह लगायें।

यहाँ 15 बड़ा है, तथा प्रश्न के अनुसार यह ऋणात्मक पूर्णांक है। अत: प्राप्त अंतर में ऋणात्मक चिन्ह लगायें।

अत: प्राप्त अंतर 5 को –5 लिखें।

अत:, 10 + (–15) = – 5

उदाहरण प्रश्न संख्या: (2) 20 और –15 को जोड़ें।

हल:

दिया गया है, 20 और –15

चरण: (i) दिये गये पूर्णांकों के चिन्ह को भूल जायें अर्थात हटा दें।

अत: दी गई संख्या 20 और 15

चरण: (ii) दिये गये पूर्णांकों का अंतर ज्ञात करें।

20 – 15 = 5

चरण : (iii) प्राप्त अंतर में बड़े वाले पूर्णांक का चिन्ह लगायें।

दी गयी संख्याओं में 20 बड़ा है, तथा प्रश्न में 20 एक धनात्मक पूर्णांक है।

अत: प्राप्त अंतर 5 धनात्मक होगा।

अत:, 20 – 15 = 5 उत्तर

उदाहरण प्रश्न संख्या: (3) –30 और 40 को जोड़ें।

हल:

दिया गया है, –30 और 40

चरण: (i) दिये गये पूर्णांकों के चिन्ह को भूल जायें अर्थात हटा दें।

अत: चिन्ह हटाने के बाद संख्या हैं: 30 और 40

चरण: (ii) दिये गये पूर्णांकों का अंतर ज्ञात करें।

40 – 30 = 10

चरण : (iii) प्राप्त अंतर में बड़े वाले पूर्णांक का चिन्ह लगायें।

यहाँ 40 बड़ा है, तथा 40 एक धनात्मक पूर्णांक है।

अत: प्राप्त अंतर 10 धनात्मक होगा।

अत: –30 + 40 = 10 उत्तर

उदाहरण प्रश्न संख्या: (4) –50 और 30 को जोड़ें।

हल:

दिया गया है, –50 और 30

चरण: (i) दिये गये पूर्णांकों के चिन्ह को भूल जायें अर्थात हटा दें।

अत: दी गई संख्या हो जायेंगी 50 और 30

चरण: (ii) दिये गये पूर्णांकों का अंतर ज्ञात करें।

50 – 30 = 20

चरण : (iii) प्राप्त अंतर में बड़े वाले पूर्णांक का चिन्ह लगायें।

यहाँ 50 बड़ा है, तथा 50 एक ऋणात्मक पूर्णांक है।

अत: प्राप्त अंतर 20 हो जायेगा – 20

अत: –50 + 30 = – 20 उत्तर

पूर्णांकों के जोड़ के गुण

पूर्णांकों के योग का संवृत गुण (Closure property of Addition of integers)

दो पूर्णांकों का योग हमेशा एक पूर्णांक होता है।

उदाहरण:

(a) 5 + 9 = 14

यहाँ 5 और 9 पूर्णांक हैं तथा इनका योगफल 14 भी एक पूर्णांक है।

(b) 5 + (–9)= –4

यहाँ 5 और –9 पूर्णांक हैं तथा इनका योग –4 भी एक पूर्णांक है।

(c) – 5 + 9 =4

यहाँ –5 और 9 पूर्णांक हैं, तथा इनका योगफल 4 भी एक पूर्णांक है।

पूर्णांकों के योग के क्रमविनिमेयता का नियम (Commutative law of Addition of Integers)

मान लिया कि `a` और `b` दो पूर्णांक हैं।

∴ a + b = b + a

उदारण :

(1) 5+4 = 9

तथा 4 + 5 = 9

i.e. 5 + 4 = 4 + 5

(2) –5 + 1 = – 4

तथा 1 + (–5) = –4

i.e – 5 + 1 = 1 + (–5)

(3) 16 + (–15)= 1

तथा –15 + 16 = 1

i.e. 16 + (–15) = –15 + 16

अत: पूर्णांकों का योग क्रमविनिमेयता के नियम को पालन करता है।

पूर्णांकों के योग का साहचर्य गुण (Associative Law of Addition of Integers)

यदि a, b और c कोई तीन पूर्णांक हैं, तो, ( a + b )+ c = a +( b + c )

उदाहरण :

(a) (3+2) + 5 = 5 + 5 = 10

और 3 + (2 + 5) = 3 + 7 = 10

∴(3 + 2) + 5 = 3 + (2 + 5)

(b) मान लिया कि –2, 3 तथा –7 तीन पूर्णांक हैं।

∴( –2 + 3)+ (–7)

= 1 + (–7) = –6

और –2 + {3 + (–7)}

= –2 + (–4) = –6

∴ (–2 + 3) + (–7)= –2 + {3+ (–7)}

योग का तत्समक (Additive Identity)

मान लिया कि `a` एक पूर्णांक है।

∴ a + 0 = a

या, 0 + a = a

i.e. a + 0 = 0 + a = a

यहाँ यह `0` को पूर्णांक के योग का तत्समक कहते हैं।

उदाहरण:

(a)2 + 0 = 0 + 2 = 2

(b) –5 + 0 = 0 + (–5) = –5

योग का व्युत्क्रम ( Additive inverse)

किसी पूर्णांक `a` का योग का व्युत्क्रम –a है।

अर्थात, a + (–a) = – a + a = 0

अत: किसी पूर्णांक का उलटा अर्थात विपरीत उस पूर्णांक के योग का व्युत्क्रम कहलाता है। किसी पूर्णांक तथा उसके व्युत्क्रम का योग हमेशा शून्य (0) के बराबर होता है।

उसी तरह `–a` के योग का व्युत्क्रम `a` है।

क्योंकि –a + a = 0

उसी 5 के योग का व्युत्क्रम –5 है।

क्योंकि 5 + (–5)= 5 – 5 = 0

उसी तरह –4 के योग का व्युत्क्रम 4 है।

क्योंकि, – 4 + 4 = 0

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संदर्भ (Reference):