परिमाप और क्षेत्रफल
एनसीआरटी प्रश्नावली 11.2 का हल भाग-2
प्रश्न संख्या (4) रिक्त स्थान का मान ज्ञात कीजिए:
| आधार | ऊँचाई | त्रिभुज का क्षेत्रफल |
|---|---|---|
| 15 cm | – | 87 cm2 |
| – | 31.4 mm | 1256 mm2 |
| 22 cm | – | 170.5 cm2 |
हल:
(a) दिया गया है,
त्रिभुज का आधार = 15 cm
त्रिभुज का क्षेत्रफल = 87 cm2
अत: त्रिभुज की ऊँचाई = ?
मान लिया कि त्रिभुज की ऊँचाई = h
हम जानते हैं कि,
त्रिभुज का क्षेत्रफल = `1/2` × आधार × ऊँचाई
⇒ 87 cm2 = `1/2` × 15 cm × h
⇒ `1/2` × 15 cm × h = 87 cm2
⇒ 15 cm × h = 87 cm2 × 2
⇒ h `=(87xx2 cm^2)/(15 cm)`
⇒ h = 11.6 cm
अत: त्रिभुज का क्षेत्रफल = रिक्त स्थान = 11.6 cm उत्तर
(b) दिया गया है,
त्रिभुज की ऊँचाई = 31.4 mm
त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1256 mm2
अत: त्रिभुज का आधार = ?
मान लिया कि त्रिभुज का आधार = b
हम जानते हैं कि,
त्रिभुज का क्षेत्रफल = `1/2` × आधार × ऊँचाई
⇒ 1256 mm2 = `1/2` × b × 31.4 mm
⇒ `1/2` × b × 31.5 mm = 1256 mm2
⇒ b × 31.5 mm = 1256 mm2 × 2
⇒ b `=(1256 mm^2xx2)/(31.5 mm)`
⇒ b = 80 mm
अत: त्रिभुज का आधार = रिक्त स्थान = 80 mm उत्तर
(c) दिया गया है,
त्रिभुज का आधार = 22 cm
त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1705 cm2
अत: त्रिभुज की ऊँचाई = ?
मान लिया कि त्रिभुज की ऊँचाई = h
हम जानते हैं कि,
त्रिभुज का क्षेत्रफल = `1/2` × आधार × ऊँचाई
⇒ 170.5 cm2 = `1/2` × 22 cm × h
⇒ 170.5 cm2 = 11 cm × h
⇒ 11 cm × h = 170.5 cm2
⇒ h `=(170.5 cm^2xx2)/(11 cm)`
⇒ h = 15.5 cm
अत: त्रिभुज की ऊँचाई = रिक्त स्थान = 15.5 cm उत्तर
प्रश्न संख्या (5) PQRS एक समांतर चतुर्भुज है (आकृति) QM शीर्ष Q से SR तक की ऊँचाई तथा QN शीर्ष Q से PS तक की ऊँचाई है। यदि SR = 12 cm और QM = 7.6 cm तो ज्ञात कीजिए:
(a) समांतर चतुर्भुज PQRS का क्षेत्रफल
(b) QN, यदि PS = 8 cm
हल:
(a) दिया गया है PQRS एक समांतर चतुर्भुज है, जिसमें
SR = समांतर चतुर्भुज का आधार = 12 cm
तथा, QM = समांतर चतुर्भुज की ऊँचाई = 7.6 cm
अत: समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = ?
हम जानते हैं कि,
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई
∴ दिये गये समांतर चतुर्भुज, PQRS का क्षेत्रफल = SR × QM
= 12 cm × 7.6 cm
= 91.2 cm2
अत: दिये गये समांतर चतुर्भुज, PQRS का क्षेत्रफल = 91.2 cm2 उत्तर
(b) दिया गया है,
PS = समांतर चतुर्भुज का आधार = 8 cm
∴ QN = समांतर चतुर्भुज की ऊँचाई = ?
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = 91.2 cm2 [जैसा कि (a) में गणना की गई है]
हम जानते हैं कि,
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई
⇒ 91.2 cm2 = 8 cm × QN
⇒ 8 cm × QN = 91.2 cm2
⇒ QN `=(91.2 cm^2)/(8 cm)`
= 11.4 cm
अत:, QN = समांतर चतुर्भुज की ऊँचाई = 11.4 cm उत्तर
प्रश्न संख्या (6) DL और BM समांतर चतुर्भुज ABCD की क्रमश: भुजाएँ AB और AD पर लम्ब हैं (आकृति)। यदि समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल 1470 cm2 है, AB = 35 cm और AD = 49 cm है, तो BM तथा DL की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया गया है, समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = 1470 cm2
आधार, AB = 35 cm
तथा आधार, AD = 49 cm
अत: BM और DL की लम्बाई =?
हम जानते हैं कि,
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई
जब, AB = 35 cm = आधार, और DL = ऊँचाई
अत: समांतर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = आधार (AB) × ऊँचाई (DL)
⇒ 1470 cm2 = 35 cm × DL
⇒ 35 cm × DL = 1470 cm2
⇒ DL = `(1470 cm^2)/(35 cm)`
⇒ DL = 42 cm
अब, जब, AD = 49 cm = आधार, तथा BM = ऊँचाई
अत: समांतर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = आधार (AD) × ऊँचाई (BM)
⇒ 1470 cm2 = 49 cm × DM
⇒ 49 cm × DM = 1470 cm2
⇒ DM = `(1470 cm2)/(49 cm)`
⇒ DM = 30 cm
अत: DL = 42 cm और DM = 30 cm उत्तर
प्रश्न संख्या (7) `triangle` ABC, A पर समकोण है (आकृति), और AD भुजा BC पर लम्ब है। यदि AB = 5 cm, BC = 13 cm और AC = 12 cm है, तो `triangle` ABC का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। AD की लम्बाई भी ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया गया है,
ABC एक समकोण त्रिभुज है, जिसमें
`/_A = 90^o`,
AB = आधार = 5 cm,
AC = ऊँचाई = 12 cm,
BC = कर्ण = 13 cm,
और, AD `_|_` BC
अत: `triangle` ABC का क्षेत्रफल = ?
तथा AD की लम्बाई = ?
हम जानते हैं कि त्रिभुज का क्षेत्रफल = `1/2` × आधार × ऊँचाई
= `1/2` × AB × AC
= `1/2` × 5 cm × 12 cm
= `1/2` × 60 cm2
⇒ `triangle` ABC का क्षेत्रफल = 30 cm2
अब मान लिया कि BC = आधार = 13 cm
अत: `triangle` ABC का क्षेत्रफल = `1/2` × आधार (BC) × ऊँचाई (AD)
⇒ 30 cm2= `1/2` × 13 cm × AD
⇒ `1/2` × 13 cm × AD = 30 cm2
⇒ 13 cm × AD = 30 cm2 × 2
⇒ AD = `(30 cm^2xx2)/(13 cm)`
⇒ AD = 4.615 cm
अत: `triangle` ABC का क्षेत्रफल = 30 cm2 तथा ऊँचाई AD = 4.615 cm उत्तर
प्रश्न संख्या (8) `triangle` ABC समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB = AC = 7.5 cm और BC = 9 cm है (आकृति) A से BC तक की ऊँचाई AD, 6 cm है। `triangle` ABC का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। C से AB तका की ऊँचाई, अर्थात CE क्या होगी?
हल:
दिया गया है, ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें
AB = AC = 7.5 cm
BC = 9 cm
AD `_|_` BC = 6 cm
अत: त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल = ?
तथा CE की लम्बाई =?
हम जानते हैं कि त्रिभुज का क्षेत्रफल = `1/2` × आधार × ऊँचाई
अब, जब BC = आधार = 9 cm और AD = ऊँचाई = 6 cm
अत: त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल = `1/2` × आधार (BC) × ऊँचाई (AD)
= `1/2` × 9 cm × 6 cm
= `1/2` × 54 cm2
= 27 cm2
तथा, जब AB = आधार = 7.5 cm, and CE = Height
अत: त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल = `1/2` × आधार (AB) × ऊँचाई (CE)
⇒ 27 cm2 = `1/2` × 7.5 cm × CE
⇒ `1/2` × 7.5 cm × CE = 27 cm2
⇒ 7.5 cm× CE = 27 cm2 × 2
⇒ CE = `(27 cm^2xx2)/(7.5 cm)`
⇒ CE = `(54 cm^2)/(7.5 cm)`
⇒ CE = 7.2 cm
त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल = 27 cm2 तथा CE = 7.2 cm उत्तर
संदर्भ (Reference):