परिमाप और क्षेत्रफल
एनसीईआरटी प्रश्नावली 11.3
प्रश्न (1) निम्न त्रिज्याओं वाले वृत्तों की परिधि ज्ञात कीजिए (`pi = 22/7` लीजिए).
(a) 14 cm
(b) 28 mm
(c) 21 cm
हल:
(a) दिया गया है, वृत्त की त्रिज्या = 14 cm
अत: वृत्त की परिधि =?
हम जानते हैं कि,
वृत्त की परिधि = `2 pi r`
=`2xx22/(cancel7)` × 14 2 cm
= 2 × 22 × 2 cm
= 88 cm
अत: दिए गये वृत्त की परिधि = 88 cm उत्तर
(b) दिया गया है, वृत्त की त्रिज्या = 28 mm
अत: वृत्त की परिधि = ?
हम जानते हैं कि,
वृत्त की परिधि = `2 pi r`
= `2xx22/(cancel7)` × 28 4 mm
= 2 × 22 × 4 mm
= 176 mm
अत: दिये गये वृत्त की परिधि = 176 mm उत्तर
(c) दिया गया है, वृत्त की त्रिज्या = 21 cm
अत: वृत्त की परिधि =?
हम जानते हैं कि,
वृत्त की परिधि = `2xxpi r`
= `2xx22/(cancel7)` × 21 3 cm
= 2 × 22 × 3 cm
= 132 cm
अत: वृत्त की परिधि = 132 cm उत्तर.
प्रश्न (2) निम्न वृत्तों का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। दिया गया है:
(a) त्रिज्या = 14 mm (π = `22/7` लीजिए)
हल :
दिया गया है,
वृत्त की त्रिज्या = 14 mm
अत: वृत्त का क्षेत्रफल = ?
हम जानते हैं कि;
वृत्त का क्षेत्रफल = π r2
=`22/7` × (14 mm)2
=`22/7` ×14 mm × 14 mm
= 22 ×28 mm2
=616 mm2
अत: दिए गये वृत्त का क्षेत्रफल = 616 mm2 उत्तर.
(b) व्यास = 49 m
हल:
दिया गया है,
वृत्त का व्यास = 49 m.
∵ त्रिज्या = व्यास/2
अत: दिये गये वृत्त की त्रिज्या = `49/2` m
⇒ वृत्त की त्रिज्या =24.5 m
अत: वृत्त का क्षेत्रफल = ?
हम जानते हैं कि,
वृत्त का क्षेत्रफल = π r2
=`22/7` × (24.5 m)2
= `22/7` × 24.5 m × 24.5 m
= 22 × 3.5 m × 24.5 m
= 1886.5 m2
अत:,
दिये गये वृत्त का क्षेत्रफल = 1886.5 m2 उत्तर
(c) त्रिज्या = 5 cm
हल:
दिया गया है,
वृत्त की त्रिज्या = 5 cm.
अत: वृत्त का क्षेत्रफल = ?
हम जानते हैं कि,
वृत्त का क्षेत्रफल = π r2
=`22/7` × (5cm)2
= `22/7` × 25 cm2
= `550/7` cm2
= 78.57 cm2
अत:,
दिये गये वृत्त का क्षेत्रफल = 78.57 cm2 उत्तर
प्रश्न (3) यदि एक वृत्ताकार शीट की परिधि 154 m हो तो इसकी त्रिज्या ज्ञात कीजिए। शीट का क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए। (π=`22/7` लीजिए)
हल:
दिया गया है
वृत्ताकार शीट की परिधि = 154 m.
अत: वृत्ताकार शीट की त्रिज्या = ?
तथा वृत्ताकार शीट का क्षेत्रफल =?
हम जानते हैं कि,
वृत्त की परिधि = 2π r
⇒ 154m = `2 xx 22/7 xx r`
⇒ `2xx22/7 xx r` = 154 m
⇒ 2 × 22 × r = 154 m × 7
⇒ r = `(154 m xx 7)/(2 xx 22)` m
= `(77 xx 7)/22 ` m
= `49/2` m
⇒ r = 24.5 m
अब, हम जानते हैं कि,
वृत्त का क्षेत्रफल = π r2
∴ दिये गये वृत्ताकार शीट का क्षेत्रफल = `22/7` × (24.5 m)2
= `22/7` × 24.5 m × 24.5 m
= 1886.5 m2
अत: वृत्ताकार शीट की त्रिज्या = 24.5 m तथा वृत्ताकार शीट का क्षेत्रफल = 1886.5 m2उत्तर
प्रश्न (4) 21m व्यास वाले एक वृत्ताकार बगीचे के चारों ओर माली बाड़ लगाना चाहता है। खरीदे जाने वाले आवश्यक रस्से की लम्बाई ज्ञात कीजिए, यदि वह 2 पूरे चक्कर की बाड़ बनाना चाहता है। 4 रू प्रति मीटर की दर रस्से पर व्यय ज्ञात कीजिए। (π = `22/7` लीजिए)
हल:
दिया गया है,
वृत्ताकार बगीचे का व्यास = 21 m
पूरे 2 चक्कर की बाड़ बनाने में लगने वाले रस्से की लम्बाई = ?
रस्से की कीमत = ₹ 4 प्रति मीटर
∴ बाड़ लगाने का व्यय =?
हम जानते हैं कि,
वृत्त की परिधि = 2 π r = π d (जहाँ d = व्यास)
=`22/7` × 21 m = 66 m
अत: वृत्ताकार बगीचे का परिधि = 66m
चूँकि बगीचे की पूरे 2 चक्कर की बाड़ बनाया जाना है।
अत:,
रस्से की लम्बाई = परिधि × 2
= 66 m × 2
= 132 m
बगीचे के पूरे 2 चक्कर की बाड़ लगाने के लिए रस्से की लम्बाई = 132 m.
अब,
∵ 1 मीटर रस्से पर व्यय = ₹ 4.00
∴ 132 मीटर रस्से पर व्यय = ₹ 4.00 × 132
= ₹ 528.00
अत: रस्से की लम्बाई = 132 m; तथा रस्से की कीमत = ₹ 528.00 उत्तर
प्रश्न (5) 4 cm वाली एक वृत्ताकार शीट में से 3 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त को निकाल दिया जाता है। शीट के शेष भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 लीजिए)
हल:
दिया गया है,
वृत्ताकार शीट की त्रिज्या = 4 cm
निकाले जाने वाले वृत्त की त्रिज्या = 3 cm
अत: शीट के शेष भाग का क्षेत्रफल = ?
हम जानते हैं कि,
वृत्त का क्षेत्रफल = π r 2
अत:,
वृत्ताकार शीट का क्षेत्रफल = 3.14 × (4 cm) 2
= 3.14 × 16 cm 2
= 50.24 cm 2
अत:,
वृत्ताकार शीट का क्षेत्रफल = 50.24 cm2
अब,
निकाले जाने वाले वृत्त का क्षेत्रफल = π r2
= 3.14 × (3 cm)2
= 3.14 × 9 cm2
= 28.26 cm2
अत: निकाले जाने वाले वृत्त का क्षेत्रफल = 28.26 cm2
अब,
शीट के शेष बचे हुए भाग का क्षेत्रफल
= वृत्ताकार शीट का क्षेत्रफल – निकाले जाने वाले वृत्त का क्षेत्रफल
= 50.24 cm2 – 28.26 cm2
= 21.98 cm2
अत:,
वृत्ताकार शीट के शेष भाग का क्षेत्रफल = 21.98 cm2 उत्तर
प्रश्न (6) साइमा 1.5 m व्यास वाले एक वृत्ताकार टेबल कवर के चारों ओर किनारी लगाना चाहती है। आवश्यक किनारी की लम्बाई ज्ञात कीजिए और ₹ 15 प्रति मीटर की दर से किनारी लगाने का व्यय ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 लीजिए)
हल:
दिया गया है, वृत्ताकार टेबल कवर का व्यास = 1.5 m
किनारी का दर = ₹ 15 / metre
किनारी की लम्बाई तथा किनारी पर व्यय =?
[प्रश्न को हल करने की योजना: चूँकि किनारी को वृत्ताकर टेबल कवर के चारों ओर लगाया जाना है, अत: वृत्ताकार टेबल कवर की परिधि किनारी के लम्बाई के बराबर होगी।]
अब,
हम जानते हैं कि,
वृत्त की परिधि = 2 π r = π d
अत:,
वृत्ताकार टेबल कवर की परिधि = 3.14 × 1.5 m
= 4.71 m
अत:,
वृत्ताकार टेबल कवर की परिधि = 4.71 m
चूँकि किनारी को वृत्ताकार टेबल कवर के चारों ओर लगाया जाना है,
अत:,
किनारी की लम्बाई = वृत्ताकार टेबल कवर की परिधि
= 4.71m
चूँकि 1 m किनारी पर व्यय = ₹ 15
∴ 4.71 m कीनारी पर व्यय = ₹ 15 × 4.71
= ₹ 70.65
अत:,
कीनारी की लम्बाई = 4.71 मीटर तथा किनारी पर व्यय = ₹ 70.65 उत्तर
प्रश्न (7) दी गई आकृत्ति, व्यास के साथ एक अर्धवृत्त है। उसका परिमाप ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया गया है,
अर्धवृत्त का व्यास = 10 cm
∴ अर्धवृत्त की त्रिज्या = `10/2`= 5 cm.
अत: अर्धवृत्त का परिमाप =?
हम जानते हैं कि,
वृत्त की परिधि = 2 π r
अत: अर्धवृत्त की परिधि =`1/2` × 2π r
= πr
= `22/7` × 5 cm
= `110/7` cm = 15.17 cm
अब, अर्धवृत्त का परिमाप
= अर्धवृत्त की परिधि + व्यास
= 15.71 cm + 10 cm
= 25.71 cm
अत: दिये गये अर्धवृत्त का परिमाप = 25.71 cm उत्तर
प्रश्न (8) ₹ 15 प्रति वर्गमीटर की दर से, 1.6m व्यास वाले एक वृत्ताकार टेबल के ऊपरी सतह पर पॉलिश कराने का व्यय ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 लीजिए)
हल:
दिया गया है,
वृत्ताकार टेबल के ऊपरी सतह का व्यास = 1.6 m
∴ वृत्ताकार टेबल के ऊपरी सतह की त्रिज्या = ब्यास/2
= `(1.6 m)/2` = 0.8 m
पॉलिश कराने की दर = ₹ 15 प्रति वर्ग मीटर
∴ वृत्ताकार टेबल के ऊपरी सतह को पॉलिश कराने का व्यय =?
हम जानते हैं कि,
वृत्त का क्षेत्रफल = π r2
∴ दिये गये वृत्ताकार टेबल के ऊपरी सतह का क्षेत्रफल = 3.14 × (0.8 m)2
= 3.14 × 0.64 m2
= 2.0096 m2
अत: वृत्ताकार टेबल के ऊपरी सतह का क्षेत्रफल = 2.0096 m2
पॉलिश कराने के व्यय की गणना
अब,
∵ 1 m2 को पॉलिश कराने का व्यय = ₹ 15.00
∴ 2.0096 m2 को पॉलिश कराने का व्यय
= ₹ 15.00 × 2.0096
= ₹ 30.14
अत: दिये गये वृत्ताकार टेबल के ऊपरी सतह को पॉलिश कराने का व्यय = ₹ 30.14 उत्तर
संदर्भ (Reference):