परिमाप और क्षेत्रफल
एनसीईआरटी प्रश्नावली 11.4 का हल भाग 2
प्रश्न संख्या (7) 90 m लम्बाई और 60 m चौड़ाई वाले एक आयताकार मैदान में दो पथ बनाये गये हैं, एक दूसरे को लम्बबत काटते हैं और मैदान के मध्य से होकर निकलते हैं। यदि प्रत्येक पथ की चौड़ाई 3 m हो, तो ज्ञात कीजिए:
(i) पथों द्वारा आच्छादित क्षेत्रफल
(ii) ₹ 110 प्रति m2 की दर से पथ बनाने का व्यय
हल:
मान लिया कि ABCD प्रश्न में दिया गया आयताकार मैदान है, जिसकी
लम्बाई (DC) = 90 m
तथा चौड़ाई (AD) = 60 m
पथ EH तथा PQ की चौड़ाई = 3 m
पथ को बनाने के व्यय की दर = ₹ 110 प्रति m2
अत: पथ का क्षेत्रफल तथा उसे बनाने का व्यय =?
मैदान की लम्बाई के समांतर बने पथ के क्षेत्रफल की गणना
मैदान की लम्बाई के समांतर पथ की लम्बाई = मैदान की लम्बाई = 90 m
पथ की चौड़ाई = 3 m
हम जानते हैं कि, आयत का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
अत: मैदान की लम्बाई के समांतर पथ का क्षेत्रफल = 90 m × 3 m
= 270 m2
मैदान की चौड़ाई के समांतर पथ के क्षेत्रफल की गणना
मैदान की चौड़ाई के समांतर पथ की लम्बाई = मैदान की चौड़ाई = 60 m
पथ की चौड़ाई = 3 m
हम जानते हैं कि, आयत का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
अत: मैदान की चौड़ाई के समांतर पथ का क्षेत्रफल = 60 m × 3 m
= 180 m2
वर्ग जहाँ पर दोनों पर एक दूसरे को काटते हैं के क्षेत्रफल की गणना
वर्ग जहाँ पथ एक दूसरे को काटते हैं की भुजा = 3 cm
हम जानते हैं कि, वर्ग का क्षेत्रफल = (Side)2
= (3 m)2
= 9 m2
अत: वर्ग जहाँ पथ एक दूसरे को काटते हैं, का क्षेत्रफल
= 9 m2
(i) पथों द्वारा आच्छादित क्षेत्रफल
पथों द्वारा आच्छादित क्षेत्रफल
= मैदान की लम्बाई के समांतर पथ का क्षेत्रफल + मैदान की चौड़ाई के समांतर पथ का क्षेत्रफल – वर्ग जहाँ पथ एक दूसरे को काटते हैं, का क्षेत्रफल
= 270 m2 + 180m2 – 9 m2
= 450 m2 – 9 m
= 441 m2
अत: पथों द्वारा आच्छादित क्षेत्रफल = 441 m2
(ii) पथ बनाने के व्यय की गणना
∵ 1 m2 पथ बनाने का व्यय = ₹ 110
∴ 441 m2 पथ बनाने का व्यय = ₹ 110 × 441 m2
= ₹ 48510
अत: पथों द्वारा आच्छादित क्षेत्रफल = 441 m2 तथा पथ को बनाने का व्यय = ₹ 48510 उत्तर
प्रश्न संख्या (8) प्रज्ञा 4 cm त्रिज्या वाले वृत्ताकार पाइप के चारों ओर एक रस्सी लपेटती है (जैसा दिखाया गया है) और रस्सी की आवश्यक लम्बाई को काट लेती है। इसके बाद वह उसे 4 cm भुजा वाले एक वर्गाकार बॉक्स के चारों ओर लपेटती है (दिखाया गया है)। क्या उसके पास कुछ और रस्सी बचेगी? (`pi` = 3.14)
हल:
दिया गया है वृत्ताकार पाइप की त्रिज्या = 4 cm
तथा वर्गाकार बॉक्स की भुजा = 4 cm
हम जानते हैं कि, वृत्त की परिधि `= 2 pi r`
अत: दिये गये वृत्ताकार पाइप की परिधि `=2 pi 4 cm`
= 3.14 × 8 cm
= 25.12 cm
अत: वृत्ताकार पाइप को लपेटने के लिए आवश्यक रस्सी की लम्बाई = 25.12 cm
अब,
हम जानते हैं कि, वर्ग का परिमाप = भुजा × 4
अत: दिये गये वर्गाकार बॉक्स का परिमाप = 4 cm × 4
= 16 cm
अत: बॉक्स को बाहर से लपेटने के लिए आवश्यक रस्सी की लम्बाई = 16 cm
अत: वृत्ताकार पाइप की परिधि तथा वर्गाकार बॉक्स के परिमाप में अंतर
= 25.12 cm – 16 cm
= 9.12 cm
अत: वर्गाकार बॉक्स को लपेटने पर प्रज्ञा के पास बची हुई रस्सी की लम्बाई = 9.12 cm
अत: बची हुई रस्सी की लम्बाई = 9.12 cm. तथा उत्तर हाँ
प्रश्न संख्या (9) संलग्न आकृति, एक आयताकार पार्क के मध्य में एक वृत्ताकार फूलों की क्यारी को दर्शाती है। ज्ञात कीजिए:
(i) पूरे पार्क का क्षेत्रफल
(ii) फूलों की क्यारी का क्षेत्रफल
(iii) फूलों की क्यारी को छोड़कर, पार्क के शेष भाग का क्षेत्रफल
(iv) क्यारी की परिधि
हल :
दिया गया है,
आयताकार पार्क की लम्बाई = 10 m
तथा आयताकार पार्क की चौड़ाई = 5 m
फूलों की क्यारी की त्रिज्या = 2 m
अत:,
(i) पूरे पार्क का क्षेत्रफल
हम जानते हैं कि, आयत का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
अत: दिये गये आयताकार पार्क का क्षेत्रफल = 10 m × 5 m
= 50 m2
अत: पूरे पार्क का क्षेत्रफल = 50 m2 उत्तर
(ii) फूलों की क्यारी का क्षेत्रफल
हम जानते हैं कि, वृत्त का क्षेत्रफल = `pi r^2`
अत: दिये गये वृत्ताकार फूलों की क्यारी का क्षेत्रफल `=pi (2 m)^2`
`=22/7 xx 4 m^2`
`= (88 m^2)/7`
= 12.57 m2
अत: फूलों की क्यारी का क्षेत्रफल = 12.57 m2 उत्तर
(iii) फूलों की क्यारी को छोड़कर, पार्क के शेष भाग का क्षेत्रफल
फूलों की क्यारी को छोड़कर, पार्क के शेष भाग का क्षेत्रफल = पूरे पार्क का क्षेत्रफल – फूलों की क्यारी का क्षेत्रफल
= 50 m2 – 12.57 m2
= 37.43 m2
अत: फूलों की क्यारी को छोड़कर, पार्क के शेष भाग का क्षेत्रफल = 37.43 m2 उत्तर
(iv) क्यारी की परिधि
हम जानते हैं कि, वृत्त की परिधि = `2 pi r`
अत: दिये गये वृत्ताकार फूलों के क्यारी की परिधि `=2 xx 22/7xx2 m`
`= 88/7 m `
= 12.57 m
अत: क्यारी की परिधि = 12.57 उत्तर
प्रश्न संख्या (10) दी गई आकृति में, छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए
(i)
हल :
दिया गया है,
AB = DC = आयत की लम्बाई = 18 cm
AD= BC = आयत की चौड़ाई = 10 cm
अब, हम जानते हैं कि, आयत का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
अत: दिये गये आयत का क्षेत्रफल = 18 cm × 10 cm
= 180 cm2
अब त्रिभुज AFE में,
आधार (AF) = 6 cm तथा ऊँचाई (AE) = 10 cm
अब, हम जानते हैं कि, त्रिभुज का क्षेत्रफल = `1/2` × आधार × ऊँचाई
अत: दिये गये त्रिभुज AFE का क्षेत्रफल `=1/2` × 6 cm × 10 cm
= 3 cm × 10 cm
= 30 cm2
अब त्रिभुज ECB में,
आधार (EB) = 8 cm तथा ऊँचाई (BC) = 10 cm
अब त्रिभुज ECB का क्षेत्रफल `=1/2` × आधार (EB) × ऊँचाई (BC)
`= 1/2xx 8 cm xx 10 cm`
= 4 cm × 10 cm
= 40 cm2
अब छायांकित भाग का क्षेत्रफल
= आयत ADCB का क्षेत्रफल – (`triangle` AFE का क्षेत्रफल + `triangle` का क्षेत्रफल ECB)
= 180 cm2 – (30 cm2 + 40 cm2)
= 180 cm2 – 70 cm2
= 110 cm2
अत: छायांकित भाग का क्षेत्रफल = 110 cm2 उत्तर
(ii)
हल :
दिया गया है, PQ = QR = 20 cm
चूँकि दिये गये चतुर्भुज की भुजाएँ बराबर हैं, अत: यह एक वर्ग है।
अब, हम जानते हैं कि, वर्ग का क्षेत्रफल = भुजा × भुजा
अत: दिये गये वर्ग PQRS का क्षेत्रफल = 20 cm × 20 cm
⇒ वर्ग (PQRS) का क्षेत्रफल = 400 cm2
अब त्रिभुज PTQ में
आधार (PT) = 10 cm तथा ऊँचाई (QP) = 20 cm
हम जानते हैं कि, त्रिभुज का क्षेत्रफ्ल = `1/2` × आधार × ऊँचाई
अत: त्रिभुज PTQ का क्षेत्रफल `=1/2xx10 cmxx20 cm`
= 5 cm × 20 cm
⇒ `triangle` PTQ का क्षेत्रफल= 100 cm2
अब त्रिभुज TSU में,
आधार (SU) = 10 cm तथा ऊँचाई (TS) = 10 cm
अत; `triangle` TSU का क्षेत्रफल= `1/2` आधार (SU) × ऊँचाई (TS)
`=1/2xx10 cm × 10 cm`
= 5 cm × 10 cm
= 50 cm2
अत: त्रिभुज TSU का क्षेत्रफल = 50 cm2
अब त्रिभुज URQ में,
आधार (UR) = 10 cm तथा ऊँचाई (QR) = 20 cm
अब त्रिभुज URQ का क्षेत्रफल = `1/2` × Base (UR) × Height (QR)
= `1/2 xx 10 cmxx20 cm`
= 5 cm × 20 cm
= 100 cm2
अत: त्रिभुज URQ का क्षेत्रफल = 100 cm2
अत: छायांकित भाग का क्षेत्रफल = वर्ग PQRS का क्षेत्रफल – (त्रिभुज PQT का क्षेत्रफल + त्रिभुज TSU का क्षेत्रफल + त्रिभुज QUR का क्षेत्रफल)
= 400 cm2 – (100 cm2 + 50 cm2 + 100 cm)
= 400 cm2 – 250 cm2
= 150 cm2
अत: छायांकित भाग का क्षेत्रफल = 150 cm2 उत्तर
प्रश्न संख्या (11) चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। यहाँ, AC = 22 cm, BM = 3 cm, DN = 3 cm, and BM`_|_`AC, DN`_|_`AC
हल
दिया गया है, त्रिभुज BAC में,
आधार (AC) = 22 cm तथा ऊँचाई (BM) = 3 cm
अब, हम जानते हैं कि, त्रिभुज का क्षेत्रफल = `1/2` × आधार × ऊँचाई
अत: त्रिभुज BAC का क्षेत्रफल = `1/2` × AC × BM
`=1/2` × 22 cm × 3 cm
= 11 cm × 3 cm
= 33 cm2
अत: त्रिभुज BAC का क्षेत्रफल = 33 cm2
अब त्रिभुज ADC में,
आधार (AC) = 22 cm तथा ऊँचाई (DN) = 3cm
चूँकि त्रिभुज ADC तथा त्रिभुज BAC की ऊँचाई बराबर है
अत: त्रिभुज ADC का क्षेत्रफल = त्रिभुज BAC का क्षेत्रफल = 33 cm2
अब चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = त्रिभुज BAC का क्षेत्रफल + त्रिभुज ADC का क्षेत्रफल
= 33 cm2 + 33 cm2
= 66 cm2
अत: चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = 66 cm2 उत्तर
संदर्भ (Reference):