परिमेय संख्या
एनसीईआरटी प्रश्नावली 9.1 का हल
प्रश्न संख्या (1) निम्नलिखित परिमेय संख्याओं के बीच पाँच परिमेय संख्याएँ लिखिए:
(i) –1 and 0
हल
दी गई परिमेय संख्याएँ है, –1 तथा 0
अत: दी गयी परिमेय संख्याओं के बीच की पाँच परिमेय संख्या = ?
अब, –1 = `-1/1`
तथा, 0 = `0/1`
चूँकि यहाँ दी गयी संख्याओं के बीच की पाँच (5) परिमेय संख्याएँ ज्ञात करना है अत: दी गई संख्याओं के `p/q` रूप के अंश तथा हर में 5 + 1 = 6 से गुणा करने पर हम पाते हैं
`-1/1=(-1xx6)/(1xx6)=(-6)/6`
और, `0/1 = (0xx6)/(1xx6)= 0/6`
इस तरह हमें दो परिमेय संख्या, `(-6)/6` तथा `0/6` प्राप्त होता है।
अत: `(-6)/6` और `0/6` के बीच की पाँच परिमेय संख्याएँ हैं
`(-5)/6, (-4)/6, (-3)/6`, `(-2)/6` तथा `(-1)/6`
अत: –1 और 0 के बीच की पाँच परिमेय संख्या हैं
`(-5)/6, (-4)/6, (-3)/6`, `(-2)/6` तथा `(-1)/6` उत्तर
(ii) –2 and –1
हल:
दिया गया है, –2 और –1
अत: इन दी गई संख्याओं के बीच की 5 परिमेय संख्या = ?
दी गई परिमेय संख्याओं को `p/q` के रूप में निम्नांकित रूप से लिखा जा सकता है
अत: –2 `=(-2)/1` तथा `-1 = (-1)/1`
चूँकि यहाँ दी गयी संख्याओं के बीच की पाँच (5) परिमेय संख्याएँ ज्ञात करना है अत: दी गई संख्याओं के `p/q` रूप के अंश तथा हर में 5 + 1 = 6 से गुणा करने पर हम पाते हैं
`(-2)/1 =(-2xx6)/(1xx6) = (-12)/6`
तथा, `(-1)/1 = (-1xx6)/(1xx6) = (-6)/6`
अब स्पष्ट रूप से इन प्राप्त संख्याओं के बीच की पाँच परिमेय संख्या हैं
`(-11)/6, (-10)/6, (-9)/6`, `(-8)/6,` और `(-7)/6` उत्तर
(iii) `(-4)/5` and `(-2)/3`
हल :
दिया गया है `(-4)/5` और `(-2)/3`
अत: इन दी गई परिमेय संख्याओं के बीच की पाँच परिमेय संख्या = ?
दी गयी परिमेय संख्याओं के हर का लघुत्तम समापवर्तक = 5 × 3 = 15
अत: दी गई परिमेय संख्याओं के बीच 5 परिमेय संख्यां निकालने के लिए उनके हर LCM × 4 = 15 × 4 = 60 के बराबर करने पर
`(-4)/5 = (-4xx12)/(5xx12)=(-48)/60`
तथा, `(-2)/3 = (-2xx20)/(3xx20) = (-40)/60`
स्पष्टत: इन प्राप्त परिमेय संख्याओं `(-48)/60` तथा `(-40)/60` के बीच की परिमेय संख्याएँ हैं
`(-47)/60, (-46)/60, (-45)/60`, `(-44)/60, (-43)/60, (-42)/60` और `(-41)/60`
इनमें से किन्हीं 5 को लेने पर
`(-47)/60, (-46)/60, (-45)/60`, `(-44)/60` तथा `(-43)/60` उत्तर
वैकल्पिक विधि
हल :
दिया गया परिमेय संख्या है `(-4)/5` तथा `(-2)/3`
अत: इन दी गई परिमेय संख्याओं के बीच की 5 परिमेय संख्या = ?
दिये गये परिमेय संख्याओं के हर 5 और 3 का लघुत्तम समापवर्तक (एलसीएम) = 5 × 3 = 15
अब दोनों परिमेय संख्याओं के हर को बराबर करने के लिए पहले परिमेय संख्या के अंश तथा हर को 3 से तथा दूसरे परिमेय संख्या के अंश तथा हर को 5 से गुणा करने पर हम पाते हैं कि
`(-4)/5=(-4xx3)/(5xx3)=(-12)/15`
तथा, `(-2)/3 = (-2xx5)/(3xx5)=(-10)/15`
अत:
`(-12)/15` और `(-10)/15` के बीच की परिमेय संख्या `=(-11)/15`
अब `(-11)/15` और `(-10)/15` के बीच की परिमेय संख्यां निकालने के लिए दोनों के बीच का औसत ज्ञात करने पर
`=((-11)/15+(-10)/15)/2`
`=((-11+(-10))/15)/2`
`=(-11-10)/(15xx2)`
`=(-21)/30`
अब `(-21)/30` और `(-10)/15` के बीच की परिमेय संख्याएँ स्पष्टत: हैं
`(-20)/30, (-19)/30, (-18)/30`, `(-17)/30, (-16)/30, (-15)/30`, आदि
अत: इनमें से किन्ही 5 को लेने पर `(-4)/5` तथा `(-2)/3` के बीच की पाँच परिमेय संख्या हैं
`(-11)/15, (-20)/30, (-19)/30`, `(-18)/30` और `(-17)/30` उत्तर
प्रश्न संख्या . 1 . (iv) `-1/2` and `2/3`
हल :
दी गई परिमेय संख्या हैं, `-1/2` और `2/3`
अत: इनके बीच की 5 परिमेय संख्या = ?
दिये गये परिमेय संख्या के हर का लघुत्तम समापवर्तक (एल सी एम) = 2 × 3 = 6
अब दिये गये परिमेय संख्याओं के हर को उनके लघुत्तम समापवर्तक (एल सी एम) 6 के बराबर करने पर
`-1/2 = -(1xx3)/(2xx6) = -3/6`
तथा, `2/3=(2xx2)/(3xx2)=4/6`
अत: स्पष्टत: इनके बीच की परिमेय संख्याएँ हैं
`-2/6, -1/6, 0/6, 1/6`, `2/6` तथा `3/6`
किन्हीं पाँच को लेने पर
`-2/6, -1/6, 1/6, 2/6` तथा `3/6` उत्तर
दी गई परिमेय संख्याओं के बीच की परिमेय संख्याएँ ज्ञात करने की वैकल्पिक विधि
हल :
दी गई परिमेय संख्या हैं, `-1/2` और `2/3`
अत: इनके बीच की 5 परिमेय संख्या = ?
स्पष्ट रूप से दी गई परिमेय संख्याओं के बीच की दो परिमेय संख्याएँ हैं
`-0/2` तथा `1/3`
परिमेय संख्याएँ `-1/2` and `2/3` के बीच की तीसरी परिमे संख्या उनका औसत ज्ञात कर निकाला जा सकता है
`=(-1/2+2/3)/2`
`=((-3+4)/6)/2`
`=(-1)/(6xx2) = -1/12`
अब परिमेय संख्याएँ `1/3` और `2/3` के बीच की चौथी परिमेय संख्या उअंके बीच का औसत ज्ञात कर निकाला जा सकता है
`=(1/3+2/3)/2`
`=((1+2)/3)/2`
`=(3/3)/2=3/(3xx2)`
`=3/6`
अब परिमेय संख्याओं `3/6` और `2/3` के बीच की परिमेय संख्या उनका औसत ज्ञात कर निकाला जा सकता है
`=(3/6+2/3)/2`
`=((3+(2xx2))/6)/2`
`=(3+4)/(6xx2)`
`=7/12`
अत: दी गई परिमेय संख्याओं के बीच का 5 परिमेय संख्याएँ हैं
`-1/12, -0/2, 1/3, 3/6` और `7/12` उत्तर
प्रश्न संख्या (2) निम्नलिखित प्रतिरूपों में से प्रत्येक में चार और परिमेय संख्याएँ लिखिए:
(i) `(-3)/5, (-6)/10, (-9)/15, (-12)/20`, . . . . .
हल :
दी गयी परिमेय संख्याएँ हैं `(-3)/5, (-6)/10, (-9)/15, (-12)/20`, . . . . .
अत: इन प्रतिरूपों में 4 और परिमेय संख्याएँ = ?
दी गई परिमेय संख्याओं को गौर से देखने पर पता चलता है कि अगली परिमेय संख्या पूर्व की परिमेय संख्या के अंश में 3 को जोड़ने पर तथा हर में 5 को जोड़ने पर बनती हैं।
अत: इसी प्रतिरूपों की 4 अन्य परिमेय संख्याएँ हैं
`(-12-3)/(20+5) = (-15)/25`
और, `(-15-3)/(25+5) = (-18)/30`
और, `(-18-3)/(30+5) = (-21)/35`
और, `(-21-3)/(35+5)=(-24)/40`
अत: दिये गये प्रतिरूपों के 4 और परिमेय संख्याएँ हैं
`(-15)/25, (-18)/30, (-21)/35` तथा `(-24)/40` उत्तर
(ii) `(-1)/4, (-2)/8, (-3)/12`, . . . .
हल :
दी गई परिमेय संख्याएँ हैं `(-1)/4, (-2)/8, (-3)/12`, . . . .
अत: इन प्रतिरूपों में 4 और परिमेय संख्याएँ = ?
दी गई परिमेय संख्याओं को गौर से देखने पर पता चलता है कि अगली परिमेय संख्या पूर्व की परिमेय संख्या के अंश में 1 को जोड़ने पर तथा हर में 4 को जोड़ने पर बनती हैं।
अत: इसी प्रतिरूपों की 4 अन्य परिमेय संख्याएँ हैं
`(-3-1)/(12+4) = (-4)/16`
तथा, `(-4-1)/(16+4) = (-5)/20`
तथा, `(-5-1)/(20+4) = (-6)/24`
तथा, `(-6-1)/(24+4) = (-7)/28`
अत: दिये गये प्रतिरूपों के 4 और परिमेय संख्याएँ हैं
`(-4)/16, (-5)/20, (-6)/24` तथा `(-7)/28` उत्तर
(iii) `(-1)/6, 2/(-12), 3/(-18), 4/(-24)`, . . . . .
हल :
दी गई परिमेय संख्याएँ हैं `(-1)/6, 2/(-12), 3/(-18), 4/(-24)`, . . . . .
अत: इन प्रतिरूपों में 4 और परिमेय संख्याएँ = ?
दी गई परिमेय संख्याओं को गौर करने पर पता चलता है कि दूसरी परिमेय संख्या पहली के अंश तथा हर में 2 से गुणा करने पर, तीसरी परिमेय संख्या दूसरी के अंश तथा हर में 3 से गुणा करने पर तथा चौथी परिमेय संख्या तीसरी परिमेय संख्या के अंश तथा हर में 4 से गुणा करने पर प्राप्त होती हैं।
अर्थात
`(-1)/6, (1xx2)/(-6xx2), (1xx3)/(-6xx3)`, तथा `(1xx4)/(-6xx4)`
अत: इन्हीं प्रतिरूपों की चार और परिमेय संख्याएँ हैं
`(1xx5)/(-6xx5) = 5/(-30)`
तथा, `(1xx6)/(-6xx6) = 6/(-36)`
तथा, `(1xx7)/(-6xx7) = 7/(-42)`
तथा, `(1xx8)/(-6xx8) = 8/(-48)`
अत: दी गई परिमेय संख्याओं के प्रतिरूप की चार और परिमेय संख्याएँ हैं
`5/(-30), 6/(-36), 7/(-42)` तथा `8/(-48)` उत्तर
(iv) `(-2)/3, 2/(-3), 4/(-6), 6/(-9)` . . . . . .
हल :
दी गई परिमेय संख्याएँ हैं `(-2)/3, 2/(-3), 4/(-6), 6/(-9)`
अत: इन प्रतिरूपों में 4 और परिमेय संख्याएँ = ?
यह देखा जा सकता है कि दिये गये परिमेय संख्याओं के पैटर्न निम्नांकित हैं
`(-2)/3, 2/(-3), (2xx2)/(-3xx2), (2xx3)/(-3xx3)`
अत: इन्हीं प्रतिरूपों की चार और परिमेय संख्याएँ हैं
`(2xx4)/(-3xx4)=8/(-12)`
तथा, `(2xx5)/(-3xx5) = 10/(-15)`
तथा, `(2xx6)/(-3xx6) = 12/(-18)`
तथा, `(2xx7)/(-3xx7) = 14/(-21)`
अत: दी गई परिमेय संख्याओं के प्रतिरूप की चार और परिमेय संख्याएँ हैं
`8/(-12), 10/(-15), 12/(-18)` तथा `14/(-21)` उत्तर
प्रश्न संख्या (3) निम्नलिखित के समतुल्य चार परिमेय संख्याएँ लिखिए:
(i) `(-2)/7`
हल :
दिया गया परिमेय संख्या है `=(-2)/7`
अत: दी गई परिमेय संख्या के समतुल्य चार परिमेय संख्या = ?
हम जानते हैं कि किसी परिमेय संख्या के अंश तथा हर में समान संख्या से गुणा कर या भाग देकर उसके समतुल्य संख्या निकाली जा सकती है।
अत:, `(-2)/7 = (-2xx2)/(7xx2) = (-4)/14`
तथा, `(-2)/7 = (-2xx3)/(7xx3) = (-6)/21`
तथा, `(-2)/7 = (-2xx4)/(7xx4) = (-8)/28`
तथा, `(-2)/7 = (-2xx5)/(7xx5) = (-10)/35`
अत: दी गई परिमेय संख्या के समतुल्य चार परिमेय संख्या हैं
`(-4)/14, (-6)/21, (-8)/28` तथा `(-10)/35` उत्तर
(ii) `5/(-3)`
हल :
दी गई परिमेय संख्या हैं `5/(-3)`
अत: दी गई परिमेय संख्या के समतुल्य चार परिमेय संख्यां = ?
हम जानते हैं कि किसी परिमेय संख्या के अंश तथा हर में समान संख्या से गुणा कर या भाग देकर उसके समतुल्य संख्या निकाली जा सकती है।
अत: दी गई परिमेय संख्या के समतुल्य पहली परिमेय संख्या
`5/(-3) =(5xx2)/(-3xx2)=10/(-6)`
तथा दी गई परिमेय संख्या के समतुल्य दूसरी परिमेय संख्या
`5/(-3) = (5xx3)/(-3xx3) = 15/(-9)`
तथा दी गई परिमेय संख्या के समतुल्य तीसरी परिमेय संख्या
`5/(-3) = (5xx4)/(-3xx4) = 20/(-12)`
तथा दी गई परिमेय संख्या के समतुल्य चौथी परिमेय संख्या
`5/(-3) = (5xx5)/(-3xx5) = 25/(-15)`
अत: दी गई परिमेय संख्या के समतुल्य चार परिमेय संख्या हैं
`10/(-6), 15/(-9), 20/(-12)` और `25/(-15)` उत्तर
(iii) `4/9`
हल :
दी गई परिमेय संख्या है `4/9`
अत: दी गई परिमेय संख्या के समतुल्य चार परिमेय संख्यां = ?
हम जानते हैं कि किसी परिमेय संख्या के अंश तथा हर में समान संख्या से गुणा कर या भाग देकर उसके समतुल्य संख्या निकाली जा सकती है।
अत: दी गई परिमेय संख्या के समतुल्य पहली परिमेय संख्या
`4/9 =(4xx2)/(9xx2)=8/18`
तथा दी गई परिमेय संख्या के समतुल्य दूसरी परिमेय संख्या
`4/9 =(4xx3)/(9xx3)=12/27`
तथा दी गई परिमेय संख्या के समतुल्य तीसरी परिमेय संख्या
`4/9 =(4xx4)/(9xx4)= 16/36`
तथा दी गई परिमेय संख्या के समतुल्य चौथी परिमेय संख्या
`4/9 =(4xx5)/(9xx5)=20/45`
अत: दी गई परिमेय संख्या के समतुल्य चार परिमेय संख्याएँ हैं
`8/18, 12/27, 16/36` तथा `20/45` उत्तर
प्रश्न संख्या (4) एक संख्या रेखा खींचिए और उस पर निम्नलिखित परिमेय संख्याओं को निरूपित कीजिए:
(i) `3/4`
हल :
दी गई परिमेय संख्या `=3/4`
दी गई परिमेय संख्या `3/4` का संख्या रेखा पर निरूपण
अत: दिये गये परिमेय संख्या को संख्या रेखा पर शून्य के दायीं ओर शून्य तथा 1 के बीच के चार में से तीसरे भाग पर निरूपित किया जाता है।
(ii) `(-5)/8`
हल :
दी गई परिमेय संख्या `=(-5)/8`
दी गई परिमेय संख्या `(-5)/8` का संख्या रेखा पर निरूपण
दी गई परिमेय संख्या `(-5)/8` को संख्या रेखा पर शून्य के बायीं ओर शून्य तथा –1 के कुला आठ भागों में से पाँचवें भाग पर निरूपित किया जा सकता है।
(iii) `(-7)/4`
हल :
दी गई परिमेय संख्या `=(-7)/4`
`(-7)/4 =-1 3/4`
परिमेय संख्या `(-7)/4` या `-1 3/4` का संख्या रेखा पर निरूपण
अत: दी गई परिमेय संख्या `(-7)/4` को संख्या रेखा पर शून्य के बायीं ओर –1 तथा –2 के बीच के चार भागों में से तीसरे भाग पर निरूपित किया जाता है।
(iv) `7/8`
हल :
दी गई परिमेय संख्या `=7/8`
दी गई परिमेय संख्या `7/8` का संख्या रेखा पर निरूपण
दी गई परिमेय संख्या `7/8` को संख्या रेखा पर शून्य के दायीं ओर शून्य तथा 1 के बीच के आठ भागों में से 7वें भाग पर निरूपित किया जाता है।
संदर्भ (Reference):