सरल समीकरण

एनसीईआरटी प्रश्नावली 4.3 हल

प्रश्न संख्या (1) निम्नलिखित समीकरणों को हल कीजिए:

प्रश्न संख्या (1) (a) 2 y + ⁵/₂ = ³⁷/₂

हल

दिया गया है, 2 y + ⁵/₂ = ³⁷/₂

दोनों पक्षों से ⁵/₂ को घटाने पर हम पाते हैं कि

2y + ⁵/₂ – ⁵/₂ = ³⁷/₂ – ⁵/₂

⇒ 2y = ^{37 – 5}/₂

⇒ 2y = ³²/₂

⇒ 2y = 16

दोनों पक्षों में 2 से भाग देने पर

^2y/₂ = ¹⁶/₂

⇒ y = 8

अत: y = 8 उत्तर

पक्षांतरण विधि या स्थानापन्न विधि से समीकरण का हल

दिया गया है, 2y + ⁵/₂ = ³⁷/₂

⁵/₂ दायीं ओर ले जाने पर

[जब किसी चर या अचर को एक पक्ष से दूसरे पक्ष में ले जाया जाता है तो इसका चिन्ह बदल जाता है]

अत: ⁵/₂ को दायीं ओर ले जाने पर इसका चिन्ह ऋणात्मक हो जायेगा, अर्थात यह – ⁵/₂ हो जायेगा

अत: 2y = ³⁷/₂ – ⁵/₂

⇒ 2y = ^{37 – 5}/₂

⇒ 2y = ³²/₂

⇒ 2y = 16

अब 2 को दायीं ओर ले जाने पर हम पाते हैं कि

जब कोई चर या अचर राशि एक पक्ष गुणक के रूप में हो तो उसे दूसरे पक्ष में ले जाने पर वह भाग के रूप में बदल जाता है।

अत: यहाँ 2, जो y के साथ गुणक के रूप में है, को दायीं ओर ले जाने पर यह ¹/₂ में बदल कर गुणा हो जाता है।

अत: y = 16 8 × ¹/₂

⇒ y = 8

अत: y = 8 उत्तर

प्रश्न संख्या (1) (b) 5 t + 28 = 10

हल

दिया गया है, 5 t + 28 = 10

28 को दोनों पक्षों से घटाने पर हम पाते हैं

5 t + 28 – 28 = 10 – 28

⇒ 5 t = – 18

दोनों पक्षों में 5 से भाग देने पर हम पाते हैं कि

^{5 t}/₅ = ^{– 18}/₅

⇒ t = ^{– 18}/₅ उत्तर

पक्षांतरण विधि या स्थानापन्न विधि से समीकरण का हल

दिया गया है, 5 t + 28 = 10

28 को दायीं ओर ले जाने पर

[जब किसी चर या अचर राशि को समीकरण में एक पक्ष से दूसरे पक्ष में ले जाया जाता है तो इसका चिन्ह बदल जाता है। अर्थात यदि यह धनात्मक हो तो ऋणात्मक हो जाता है और ऋणात्मक हो तो धनात्मक हो जाता है।]

अत: 28 को बायें पक्ष से दायें पक्ष में ले जाने पर इसका चिन्ह ऋणात्मक हो जायेगा अर्थात यह – 28 हो जायेगा

⇒ 5 t = 10 – 28

⇒5 t = – 18

5 को दायें पक्ष में ले जाने पर हम पाते हैं कि

जब किसी नम्बर या चर राशि, जो एक पक्ष में गुणात्मक रूप में हो, को एक पक्ष से दूसरी तरफ ले जाया जाता है यह दूसरी ओर जाकर हर के रूप में बदल जाता है।

अत: यहाँ 5 जो बायें पक्ष में t के साथ गुणा के रूप में है को दायें पक्ष में ले जाने पर¹/₅ में बदल कर गुणा हो जाता है।

⇒ t = – 18 × ¹/₅

अत: t = ^{– 18}/₅ उत्तर

प्रश्न संख्या (1) (c) ^a/₅ + 3 = 2

हल

दिया गया है, ^a/₅ + 3 = 2

दोनों पक्षों में 3 को घटाने पर हम पाते हैं कि

^a/₅ + 3 – 3 = 2 – 3

⇒ ^a/₅ = – 1

दोनों पक्षों को 5 से गुणा करने पर हम पाते हैं कि

^a/₅ × 5 = – 1 × 5

⇒ a = – 5 उत्तर

पक्षांतरण विधि या स्थानापन्न विधि से समीकरण का हल

दिया गया है, ^a/₅ + 3 = 2

3 को बायें पक्ष में ले जाने पर

[जब किसी चर या अचर राशि को समीकरण में एक पक्ष से दूसरे पक्ष में ले जाया जाता है तो इसका चिन्ह बदल जाता है। अर्थात यदि यह धनात्मक हो तो ऋणात्मक हो जाता है और ऋणात्मक हो तो धनात्मक हो जाता है।]

अत: यहाँ + 3 को दायें पक्ष में ले जाने पर यह – 3 में बदल जायेगा

⇒ ^a/₅ = 2 – 3

⇒ ^a/₅ = – 1

अब 5 को दायें पक्ष में ले जाने पर

[जब कोई चर या अचर राशि एक पक्ष में हर में हो, अर्थात भाग के रूप में हो, तो उसे दूसरे पक्ष में ले जाने पर अंश में गुणा हो जाता है]

यहाँ चूँकि 5 बायें पक्ष में हर में है अत: दायें पक्ष में ले जाने पर यह गुणक के रूप में अर्थात अंश में गुणा हो जायेगा।

⇒ a = – 1 × 5

⇒ a = – 5 उत्तर

प्रश्न संख्या (1) (d) ^q/₄ + 7 = 5

हल

दिया गया है, ^q/₄ + 7 = 5

दोनों पक्षों में 7 को घटाने पर हम पाते हैं कि

^q/₄ + 7 – 7 = 5 – 7

^q/₄ = – 2

दोनों पक्षों को 4 से गुणा करने पर हम पाते हैं कि

^q/₄ × 4 = – 2 × 4

⇒ q = – 8 उत्तर

पक्षांतरण विधि या स्थानापन्न विधि से समीकरण का हल

दिया गया है, ^q/₄ + 7 = 5

बायें पक्ष से 7 को दायें पक्ष में ले जाने पर हम पाते हैं कि

[जब किसी चर या अचर राशि को समीकरण में एक पक्ष से दूसरे पक्ष में ले जाया जाता है तो इसका चिन्ह बदल जाता है। अर्थात यदि यह धनात्मक हो तो ऋणात्मक हो जाता है और ऋणात्मक हो तो धनात्मक हो जाता है।]

अत: यहाँ + 7 को दायें पक्ष में ले जाने पर यह – 7 में बदल जायेगा

⇒ ^q/₄ = 5 – 7

⇒ ^q/₄ = – 2

बायें पक्ष में अवस्थित 4 को दायें पक्ष में ले जाने पर हम पाते हैं कि

[जब कोई चर या अचर राशि एक पक्ष में हर में हो, अर्थात भाग के रूप में हो, तो उसे दूसरे पक्ष में ले जाने पर अंश में गुणा हो जाता है]

यहाँ चूँकि 4 बायें पक्ष में हर में है अत: दायें पक्ष में ले जाने पर यह गुणक के रूप में अर्थात अंश में गुणा हो जायेगा।

⇒ q = – 2 × 4

⇒ q = – 8 उत्तर

प्रश्न संख्या (1) (e) ⁵/ ₂ x = 10

हल

दिया गया है, ⁵/₂ x = 10

दोनों पक्षों को 2 से गुणा करने पर हम पाते हैं कि

⁵/₂ x × 2 = 10 × 2

⇒ 5 x = 20

दोनों पक्षों को 5 से भाग देने पर हम पाते हैं कि

^{5 x}/₅ = ^{20 4}/₅

⇒ x = 4 उत्तर

पक्षांतरण विधि या स्थानापन्न विधि से समीकरण का हल

दिया गया है, ⁵/₂ x = 10

बायें पक्ष में अवस्थित 2 को दायें पक्ष में ले जाने पर हम पाते हैं कि

[जब कोई चर या अचर राशि एक पक्ष में हर में हो, अर्थात भाग के रूप में हो, तो उसे दूसरे पक्ष में ले जाने पर गुणा में अर्थात अंश में चला जाता है]

यहाँ चूँकि 2 बायें पक्ष में हर में है अत: दायें पक्ष में ले जाने पर यह अंश के साथ गुणा हो जायेगा।

⇒ 5 x = 10 × 2

5 x = 20

बायें पक्ष में अवस्थित 5 को दायें पक्ष में ले जाने पर हम पाते हैं कि

जब किसी नम्बर या चर राशि, जो एक पक्ष में गुणात्मक रूप में हो, को एक पक्ष से दूसरी तरफ ले जाया जाता है यह दूसरी ओर जाकर हर के रूप में बदल जाता है।

अत: यहाँ 5 जो बायें पक्ष में x के साथ गुणा के रूप में है को दायें पक्ष में ले जाने पर ¹/₅ हो जायेगा।

⇒ x = 20 4 × ¹/₅

⇒ x = 4 उत्तर

प्रश्न संख्या (1) (f) ⁵/₂ x = ²⁵/₄

हल

दिया गया है, ⁵/₂ x = ²⁵/₄

दोनों पक्षों को 2 से गुणा करने पर हम पाते हैं कि

⇒ ⁵/₂ x × 2 = ²⁵/₄ × 2

⇒ 5 x = ²⁵/₂

दोनों पक्षों में 5 से भाग देने पर हम पाते हैं कि

^{5 x}/₅ = ^{25 5}/₂ × ¹/₅

⇒ x = ⁵/₂

⇒ x = ⁵/₂ उत्तर

पक्षांतरण विधि या स्थानापन्न विधि से समीकरण का हल

दिया गया है, ⁵/₂ x = ²⁵/₄

बायें पक्ष से 2 को दायें पक्ष में ले जाने पर हम पाते हैं कि

[जब कोई चर या अचर राशि एक पक्ष में हर में हो, अर्थात भाग के रूप में हो, तो उसे दूसरे पक्ष में ले जाने पर अंश में गुणा हो जाता है]

यहाँ चूँकि 2 बायें पक्ष में हर में है अत: दायें पक्ष में ले जाने पर यह अंश में गुणा जायेगा।

⇒ 5 x = ^{25 × 2}/₄

⇒ 5 x = ⁵⁰/₄

बायें पक्ष में अवस्थित 5 को दायें पक्ष में ले जाने पर हम पाते हैं कि

जब किसी नम्बर या चर राशि, जो एक पक्ष में गुणात्मक रूप में हो, को एक पक्ष से दूसरी तरफ ले जाया जाता है यह दूसरी ओर जाकर इसका व्युत्क्रम दूसरे पक्ष से गुणा हो जाता है।

अत: यहाँ 5 जो बायें पक्ष में x के साथ गुणा के रूप में है को दायें पक्ष में ले जाने पर ¹/₅ में बदल कर गुणा हो जायेगा।

x = ⁵⁰/₄ × ¹/₅

⇒ x = ^{10 5}/_{4 2}

⇒ x = ⁵/₂ उत्तर

प्रश्न संख्या (1) (g) 7 m + ¹⁹/₂ = 13

हल

दिया गया है, 7 m + ¹⁹/₂ = 13

दोनों पक्षों में ¹⁹/₂ को घटाने पर हम पाते हैं कि

⇒ 7 m + ¹⁹/₂ – ¹⁹/₂ = 13 – ¹⁹/₂

⇒ 7 m = ^{26 – 19}/₂

= 7 m = ⁷/₂

दोनों पक्षों को 7 से भाग देने पर हम पाते हैं कि

⇒ ^{7 m}/₇ = ⁷/_{2 × 7}

⇒ m = ¹/₂ उत्तर

पक्षांतरण विधि या स्थानापन्न विधि से समीकरण का हल

दिया गया है, 7 m + ¹⁹/₂ = 13

बायें पक्ष में अवस्थित ¹⁹/₂ को दायें पक्ष में ले जाने पर हम पाते हैं कि

[जब किसी चर या अचर राशि को एक पक्ष से दूसरे पक्ष में ले जाया जाता है, तो इसका चिन्ह बदल जाता है, अर्थात यदि कोई राशि एक पक्ष में धनात्मक हो, तो दूसरे पक्ष में ले जाने पर यह ऋणात्मक हो जाता है। तथा यदि कोई राशि एक पक्ष में ऋणात्मक रूप में हो, तो दूसरे पक्ष में ले जाने पर यह धनात्मक रूप में बदल जाता है।]

अत: यहाँ ¹⁹/₂ को दायें पक्ष में ले जाने पर यह – ¹⁹/₂ हो जाता है।

⇒ 7 m = 13 – ¹⁹/₂

⇒ 7 m = ^{26 – 19}/₂

⇒ 7 m = ⁷/₂

बायें पक्ष में अवस्थित 7 को दायें पक्ष में ले जाने पर हम पाते हैं कि

[जब किसी नम्बर या चर राशि, जो एक पक्ष में गुणात्मक रूप में हो, को एक पक्ष से दूसरी तरफ ले जाया जाता है यह दूसरी ओर जाकर व्युतक्रमित होकर गुणा हो जाता है।

अत: यहाँ 7 जो बायें पक्ष में m के साथ गुणा के रूप में है को दायें पक्ष में ले जाने पर ¹/₇ हो जायेगा तथा दायें पक्ष में गुणा हो जायेगा।

⇒ m = ⁷/₂ × ¹/₇

⇒ m = ¹/₂ उत्तर

प्रश्न संख्या (1) (h) 6 z + 10 = – 2

हल

दिया गया है, 6z + 10 = – 2

दोनों पक्षों में से 10 को घटाने पर हम पाते हैं कि

⇒ 6 z + 10 – 10 = – 2 – 10

⇒ 6 z = – 12

दोनों पक्षों को 6 से भाग देने पर हम पाते हैं कि

^{6 z}/₆ = ^{– 12 2}/₆

⇒ z = – 2 उत्तर

पक्षांतरण विधि या स्थानापन्न विधि से समीकरण का हल

दिया गया है, 6 z + 10 = – 2

दिये गये समीकरण में बायें पक्ष में अवस्थित 10 को दायें पक्ष में ले जाने पर

[जब किसी चर या अचर राशि को एक पक्ष से दूसरे पक्ष में ले जाया जाता है, तो इसका चिन्ह बदल जाता है, अर्थात यदि कोई राशि एक पक्ष में धनात्मक हो, तो दूसरे पक्ष में ले जाने पर यह ऋणात्मक हो जाता है। तथा यदि कोई राशि एक पक्ष में ऋणात्मक रूप में हो, तो दूसरे पक्ष में ले जाने पर यह धनात्मक रूप में बदल जाता है।]

अत: यहाँ 10 को दायें पक्ष में ले जाने पर यह – 10 हो जाता है।

⇒ 6 z = – 2 – 10

⇒ 6 z = – 12

इस समीकरण में 6 को दायें पक्ष में ले जाने पर

जब किसी नम्बर या चर राशि, जो एक पक्ष में गुणात्मक रूप में हो, को एक पक्ष से दूसरी तरफ ले जाया जाता है यह दूसरी ओर जाकर इसका व्युत्क्रम दूसरे पक्ष में गुणा हो जाता है।

अत: यहाँ 6 जो बायें पक्ष में z के साथ गुणा के रूप में है को दायें पक्ष में ले जाने पर ¹ /₆ में बदल कर गुणा हो जायेगा।

⇒ z = – 12 2 × ¹/₆

⇒ z = – 2 उत्तर

प्रश्न संख्या (1) (i) ^{3 ℓ}/₂ = ²/₃

हल

दिया गया है, ^{3 ℓ}/₂ = ²/₃

दोनों पक्षों में 2 से गुणा करने पर हम पाते हैं कि

^{3 ℓ}/₂ × 2 = ²/₃ × 2

⇒ 3 ℓ = ⁴/₃

दोनों पक्षों को 3 से भाग देने पर हम पाते हैं

⇒^{3 ℓ}/₃ = ⁴/_{3 × 3}

⇒ ℓ = ⁴/₉ उत्तर

पक्षांतरण विधि या स्थानापन्न विधि से समीकरण का हल

दिया गया है, ^{3 ℓ}/₂ = ²/₃

दिये गये समीकरण में 2 को दायें पक्ष में ले जाने पर

[जब कोई चर या अचर राशि एक पक्ष में हर में हो, अर्थात भाग के रूप में हो, तो उसे दूसरे पक्ष में ले जाने पर अंश में गुणा हो जाता है।]

[यहाँ चूँकि 2 बायें पक्ष में हर में है अत: दायें पक्ष में ले जाने पर यह अंश में अवस्थित 2 से गुणा हो जायेगाचला जायेगा।]

⇒ 3 ℓ = ^{2 × 2}/₃

⇒ 3 ℓ = ⁴/₃

बायें पक्ष में अवस्थित 3 को दायें पक्ष में पक्षांतरित करने पर

जब किसी नम्बर या चर राशि, जो एक पक्ष में गुणात्मक रूप में हो, को एक पक्ष से दूसरी तरफ ले जाया जाता है यह दूसरी ओर जाकर इसका व्युत्क्रम दूसरे पक्ष से गुणा हो जाता है।

अत: यहाँ 3 जो बायें पक्ष में ℓ के साथ गुणा के रूप में है को दायें पक्ष में ले जाने पर ¹/₃ में बदल जायेगा तथा दूसरे पक्ष में गुणा हो जायेगा।

⇒ ℓ = ⁴/₃ × ¹/₃

⇒ ℓ = ⁴/_{3 × 3}

⇒ ℓ = ⁴/₉ उत्तर

प्रश्न संख्या (1) (j) ^{2 b}/₃ – 5 = 3

हल

दिया गया है, ^{2 b}/₃ – 5 = 3

दिये गये समीकरण में के दोनों पक्षों में 5 जोड़ने पर हम पाते हैं कि

⇒ ^{2 b}/₃ – 5 + 5 = 3 + 5

⇒ ^{2 b}/₃ = 8

दोनों पक्षों को 3 से गुणा करने पर

⇒ ^{2 b}/₃ × 3 = 8 × 3

⇒ 2 b = 24

दोनों पक्षों को 2 से भाग देने पर

⇒^{2 b}/₂ = ^{24 12}/₂

⇒ b = 12 उत्तर

पक्षांतरण विधि या स्थानापन्न विधि से समीकरण का हल

दिया गया है, ^{2 b}/₃ – 5 = 3

दिये गये समीकरण में बायें पक्ष से – 5 को दायें पक्ष में ले जाने पर

[जब किसी चर या अचर राशि को एक पक्ष से दूसरे पक्ष में ले जाया जाता है, तो इसका चिन्ह बदल जाता है, अर्थात यदि कोई राशि एक पक्ष में धनात्मक हो, तो दूसरे पक्ष में ले जाने पर यह ऋणात्मक हो जाता है। तथा यदि कोई राशि एक पक्ष में ऋणात्मक रूप में हो, तो दूसरे पक्ष में ले जाने पर यह धनात्मक रूप में बदल जाता है।]

अत: यहाँ –5 को दायें पक्ष में ले जाने पर यह 5 हो जाता है।

– ^{2 b}/₃ = 3 + 5

⇒ ^{2 b}/₃ = 8

अब बायें पक्ष से 3 को दायें पक्ष में ले जाने पर

[जब कोई चर या अचर राशि एक पक्ष में हर में हो, अर्थात भाग के रूप में हो, तो उसे दूसरे पक्ष में ले जाने पर अंश में गुणा हो जाता है]

[यहाँ चूँकि 3 बायें पक्ष में हर में है अत: दायें पक्ष में ले जाने पर यह अंश में गुणा हो जायेगा।]

⇒ 2 b = 8 × 3

⇒ 2 b = 24

बायें पक्ष में अवस्थित 2 को दायें पक्ष में पक्षांतरित करने पर

जब किसी नम्बर या चर राशि, जो एक पक्ष में गुणात्मक रूप में हो, को एक पक्ष से दूसरी तरफ ले जाया जाता है यह दूसरी ओर जाकर इसका व्युत्क्रम दूसरे पक्ष से गुणा हो जाता है।

अत: यहाँ 2 जो बायें पक्ष में b के साथ गुणा के रूप में है को दायें पक्ष में ले जाने पर ¹/₂ में बदल जायेगा तथा दूसरे पक्ष में गुणा हो जायेगा।

⇒ b = 24 12 × ¹/₂

⇒ b = 12 उत्तर

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संदर्भ (Reference):