सरल समीकरण
एनसीईआरटी प्रश्नावली 4.4 का हल
प्रश्न संख्या (1) निम्नलिखित स्थितियों के लिए समीकरण बनाइए और फिर उन्हें हल करके अज्ञात संख्याएँ ज्ञात कीजिए:
(a) एक संख्या के आठ गुने में 4 जोड़िये; आपको 60 प्राप्त होगा।
हल
दिया गया है, एक संख्या के आठ गुने में 4 जोड़िये; आपको 60 प्राप्त होता है।
मान लिया कि अज्ञात संख्या = m
अत: इस संख्या का आठ गुणा = 8 m
साथ ही दिया गया है कि, इस संख्या का आठ गुणा + 4 = 60
⇒ 8 m + 4 = 60
इस तरह हमें यह समीकरण प्राप्त होता है,
अब प्राप्त समीकरण के दोनों पक्षों में से 4 को घटाने पर
⇒ 8 m + 4 – 4 = 60 – 4
⇒ 8 m = 56
दोनों पक्षों को 8 से विभाजित करने पर
⇒ 8m/8 = 56/8
⇒ m = 7
अत: वांछित संख्या = 7 उत्तर
दिये गये समीकरण को हल करने की वैकल्पिक विधि (स्थानापन्न विधि)
दिया गया है, एक संख्या के आठ गुने में 4 जोड़िये; आपको 60 प्राप्त होता है।
मान लिया कि अज्ञात संख्या = m
अत: इस संख्या का आठ गुणा = 8 m
साथ ही दिया गया है कि, इस संख्या का आठ गुणा + 4 = 60
⇒ 8 m + 4 = 60
इस तरह हमें यह समीकरण प्राप्त होता है,
इस प्राप्त समीकर के बायें पक्ष से 4 को दायें पक्ष में ले जाने पर
[जब किसी चर या अचर राशि को एक पक्ष से दूसरे पक्ष में ले जाया जाता है, तो इसका चिन्ह बदल जाता है, अर्थात यदि कोई राशि एक पक्ष में धनात्मक हो, तो दूसरे पक्ष में ले जाने पर यह ऋणात्मक हो जाता है। तथा यदि कोई राशि एक पक्ष में ऋणात्मक रूप में हो, तो दूसरे पक्ष में ले जाने पर यह धनात्मक रूप में बदल जाता है।]
अत: यहाँ + 4 को दायें पक्ष में ले जाने पर यह – 4 हो जाता है।
⇒ 8 m = 60 – 4
⇒ 8 m = 56
अब 8 को दायें पक्ष में ले जाने पर
जब किसी नम्बर या चर राशि, जो एक पक्ष में गुणात्मक रूप में हो, को एक पक्ष से दूसरी तरफ ले जाया जाता है यह दूसरी ओर जाकर हर के रूप में बदल जाता है।
अत: यहाँ 8 जो बायें पक्ष में m के साथ गुणा के रूप में है को दायें पक्ष में ले जाने पर 1/5 हो जायेगा।
⇒ m = 56/8
⇒ m = 7
अत: वांछित संख्या = 7 उत्तर
(b) एक संख्या का 1/5 घटा 4, संख्या 3 देता है।
हल
दिया गया है, एक संख्या का 1/5 घटा 4, संख्या 3 देता है
मान लिया कि वांछित संख्या = m
अत: संख्या का 1/5 = 1/5 m
अत: प्रश्न के अनुसार
संख्या का 1/5 – 4 = 3
⇒ 1/5m – 4 = 3
दोनों पक्षों में 4 को जोड़ने पर
⇒ 1/5 m – 4 + 4 = 3 + 4
⇒ 1/5 m = 7
दोनों पक्षों को 5 से गुणा करने पर
⇒ 1/5 m × 5 = 7 × 5
⇒ m = 35
अत: संख्या = 35 उत्तर
दिये गये समीकरण को हल करने की वैकल्पिक विधि (स्थानापन्न विधि)
दिया गया है, एक संख्या का 1/5 घटा 4, संख्या 3 देता है
मान लिया कि वांछित संख्या = m
अत: संख्या का 1/5 = 1/5 m
अत: प्रश्न के अनुसार
संख्या का 1/5 m – 4 = 3
⇒ 1/5m – 4 = 3
इस प्राप्त समीकरण में – 4 को दायें पक्ष में ले जाने पर
[जब किसी चर या अचर राशि को एक पक्ष से दूसरे पक्ष में ले जाया जाता है, तो इसका चिन्ह बदल जाता है, अर्थात यदि कोई राशि एक पक्ष में धनात्मक हो, तो दूसरे पक्ष में ले जाने पर यह ऋणात्मक हो जाता है। तथा यदि कोई राशि एक पक्ष में ऋणात्मक रूप में हो, तो दूसरे पक्ष में ले जाने पर यह धनात्मक रूप में बदल जाता है।]
अत: यहाँ – 4 को दायें पक्ष में ले जाने पर यह + 4 हो जाता है।
⇒ 1/5 m = 3 + 4
⇒ 1/5 m = 7
अब 5 को दायें पक्ष में ले जाने पर
[जब कोई चर या अचर राशि एक पक्ष में हर में हो, अर्थात भाग के रूप में हो, तो उसे दूसरे पक्ष में ले जाने पर गुणा में अर्थात अंश में चला जाता है]
यहाँ चूँकि 5 बायें पक्ष में हर में है अत: दायें पक्ष में ले जाने पर यह गुणक के रूप में अर्थात अंश में चला जायेगा।
⇒ m = 7 × 5
⇒ m = 35
अत: संख्या = 35 उत्तर
(c) यदि मैं किसी संख्या का तीन चौथाई लेकर इसमें 3 जोड़ दूँ, तो मुझे 21 प्राप्त होते हैं।
हल
दिया गया है, संख्या का तीन चौथाई में 3 जोड़ने पर 21 प्राप्त होता है, तो संख्या = ?
मान लिया कि संख्या = m
अब प्रश्न के अनुसार
संख्या का 3/4 + 3 = 21
अर्थात, m × 3/4 + 3 = 21
⇒ 3/4 m + 3 = 21
अब इस प्राप्त समीकरण के दोनों पक्षों में 3 को घटाने पर
⇒ 3/4 m + 3 – 3 = 21 – 3
⇒ 3/4 m = 18
दोनों पक्षों को 4 से गुणा करने पर हम पाते हैं कि
⇒ 3/4 m × 4 = 18 × 4
⇒ 3 m = 72
दोनों पक्षों में 3 से भाग देने पर हम पाते हैं कि
⇒ 3m/3 = 72/3
⇒ m = 24
अत: संख्या = 24 उत्तर
दिये गये समीकरण को हल करने की वैकल्पिक विधि (स्थानापन्न विधि से हल)
दिया गया है, संख्या का तीन चौथाई में 3 जोड़ने पर 21 प्राप्त होता है, तो संख्या = ?
मान लिया कि संख्या = m
अब प्रश्न के अनुसार
संख्या का 3/4 + 3 = 21
अर्थात, m × 3/4 + 3 = 21
⇒ 3/4 m + 3 = 21
अब 3 को दायें पक्ष में ले जाने पर
[जब किसी चर या अचर राशि को एक पक्ष से दूसरे पक्ष में ले जाया जाता है, तो इसका चिन्ह बदल जाता है, अर्थात यदि कोई राशि एक पक्ष में धनात्मक हो, तो दूसरे पक्ष में ले जाने पर यह ऋणात्मक हो जाता है। तथा यदि कोई राशि एक पक्ष में ऋणात्मक रूप में हो, तो दूसरे पक्ष में ले जाने पर यह धनात्मक रूप में बदल जाता है।]
अत: यहाँ +3 को दायें पक्ष में ले जाने पर यह – 3 हो जाता है।
⇒ 3/4 m = 21 – 3
⇒ 3/4 m = 18
अब 4 को दायें पक्ष में ले जाने पर
[जब कोई चर या अचर राशि एक पक्ष में हर में हो, अर्थात भाग के रूप में हो, तो उसे दूसरे पक्ष में ले जाने पर गुणा में अर्थात अंश में चला जाता है]
यहाँ चूँकि 4 बायें पक्ष में हर में है अत: दायें पक्ष में ले जाने पर यह गुणक के रूप में अर्थात अंश में चला जायेगा।
⇒ 3 m = 18 × 4
⇒ 3 m = 72
अब 3 को दायें पक्ष में ले जाने पर
जब किसी नम्बर या चर राशि, जो एक पक्ष में गुणात्मक रूप में हो, को एक पक्ष से दूसरी तरफ ले जाया जाता है यह दूसरी ओर जाकर हर के रूप में बदल जाता है।
अत: यहाँ 3 जो बायें पक्ष में t के साथ गुणा के रूप में है को दायें पक्ष में ले जाने पर 1/3 हो जायेगा।
⇒ m = 72/3
⇒ m = 24
अत: वांछित संख्या = 24 उत्तर
(d) जब मैं किसी संख्या के दुगुने में से 11 को घटाया, तो परिणाम 15 प्राप्त हुआ।
हल
दिया गया है, किसी संख्या के दोगुने से 11 को घटाने पर 15 प्राप्त होता है।
मान लिया कि संख्या = p है।
अब प्रश्न के अनुसार,
संख्या × 2 – 11 = 15
⇒ 2p – 11 = 15
दोनों पक्षों में 11 को जोड़ने पर
⇒ 2 p – 11 + 11 = 15 + 11
⇒ 2p = 26
दोनों पक्षों में 2 से भाग देने पर
⇒ 2p/2 = 26/2
⇒ p = 13
अत: संख्या = 13 उत्तर
दिये गये समीकरण को हल करने की वैकल्पिक विधि (स्थानापन्न विधि)
दिया गया है, किसी संख्या के दोगुने से 11 को घटाने पर 15 प्राप्त होता है।
मान लिया कि संख्या = p है।
अब प्रश्न के अनुसार,
संख्या × 2 – 11 = 15
⇒ 2p – 11 = 15
अब बायें पक्ष से – 11 को दायें पक्ष में ले जाने पर
[जब किसी चर या अचर राशि को एक पक्ष से दूसरे पक्ष में ले जाया जाता है, तो इसका चिन्ह बदल जाता है, अर्थात यदि कोई राशि एक पक्ष में धनात्मक हो, तो दूसरे पक्ष में ले जाने पर यह ऋणात्मक हो जाता है। तथा यदि कोई राशि एक पक्ष में ऋणात्मक रूप में हो, तो दूसरे पक्ष में ले जाने पर यह धनात्मक रूप में बदल जाता है।]
अत: यहाँ – 11 को दायें पक्ष में ले जाने पर यह + 11 हो जाता है।
⇒ 2p = 15 + 11
⇒ 2p = 26
अब 2 को दायें पक्ष में ले जाने पर
जब किसी नम्बर या चर राशि, जो एक पक्ष में गुणात्मक रूप में हो, को एक पक्ष से दूसरी तरफ ले जाया जाता है यह दूसरी ओर जाकर हर के रूप में बदल जाता है।
अत: यहाँ 2 जो बायें पक्ष में p के साथ गुणा के रूप में है को दायें पक्ष में ले जाने पर 1/2 हो जायेगा।
⇒ p = 26/2
⇒ p = 13
अत: संख्या = 13 उत्तर
(e) मुन्ना ने 50 में से अपनी अभ्यास पुस्तिकाओं की संख्या के तिगुने को घटाया, तो उसे परिणाम 8 प्राप्त होता है।
हल
दिया गया है, यदि 50 में से एक अभ्यास पुस्तिका की संख्या के तिगुने को घटाया जाता है, तो परिणाम 8 प्राप्त होता है।
मान लिया कि अभ्यास पुस्तिका की संख्या = n
अत: प्रश्न के अनुसार
50 – 3 × अभ्यास पुस्तिका की संख्या = 8
⇒ 50 – 3n = 8
अब दोनों पक्षों में से 50 को घटाने पर
⇒ 50 – 3 n – 50 = 8 – 50
⇒ – 3n = – 42
⇒ 3 n = 42
दोनों पक्षों में 3 से भाग देने पर
⇒ 3n/3 = 42/3
⇒ n = 14
अत: अभ्यास पुस्तिका की संख्या = 14 उत्तर
दिये गये समीकरण को हल करने की वैकल्पिक विधि (स्थानापन्न विधि)
दिया गया है, यदि 50 में से एक अभ्यास पुस्तिका की संख्या के तिगुने को घटाया जाता है, तो परिणाम 8 प्राप्त होता है।
मान लिया कि अभ्यास पुस्तिका की संख्या = n
अत: प्रश्न के अनुसार
50 – 3 × अभ्यास पुस्तिका की संख्या = 8
⇒ 50 – 3n = 8
इस प्राप्त समीकरण में 50 को दायें पक्ष में ले जाने पर, अर्थात स्थानापन्न के बाद
[जब किसी चर या अचर राशि को एक पक्ष से दूसरे पक्ष में ले जाया जाता है, तो इसका चिन्ह बदल जाता है, अर्थात यदि कोई राशि एक पक्ष में धनात्मक हो, तो दूसरे पक्ष में ले जाने पर यह ऋणात्मक हो जाता है। तथा यदि कोई राशि एक पक्ष में ऋणात्मक रूप में हो, तो दूसरे पक्ष में ले जाने पर यह धनात्मक रूप में बदल जाता है।]
अत: यहाँ 50 को दायें पक्ष में ले जाने पर यह – 50 हो जाता है।
⇒ – 3n = 8 – 50
⇒ – 3n = – 42
⇒ 3n = 42
अब उपरोक्त समीकरण में 3 को दायें पक्ष में ले जाने पर
जब किसी नम्बर या चर राशि, जो एक पक्ष में गुणात्मक रूप में हो, को एक पक्ष से दूसरी तरफ ले जाया जाता है यह दूसरी ओर जाकर हर के रूप में बदल जाता है।
अत: यहाँ 3 जो बायें पक्ष में n के साथ गुणा के रूप में है को दायें पक्ष में ले जाने पर 1/3 हो जायेगा।
⇒ n = 42/3
⇒ n = 14
अत: वांछित संख्या, अर्थात अभ्यास पुस्तिकाओं की संख्या = 14 उत्तर
(f) इबेनहल एक संख्या सोचती है। वह इसमें 19 जोड़कर योग को 5 से भाग देती है, उसे 8 प्राप्त होता है।
हल
दिया गया है, इबेनहल द्वारा सोची गयी संख्या में 19 जोड़कर इसमें 5 से भाग देने पर 8 प्राप्त होता है।
मान लिया कि इबेनहल द्वारा सोची गयी संख्या = n
अत: प्रश्न के अनुसार
संख्या + 19/5 = 8
⇒ n + 19/5 = 8
अब दोनों पक्षों में 5 से गुणा करने पर
⇒ n + 19/5 ×5 = 8 × 5
⇒ n + 19 = 40
अब दोनों पक्षों में से 19 को घटाने पर
⇒ n + 19 – 19 = 40 – 19
⇒ n = 21
अत: इबेनहल द्वारा सोची गयी संख्या = 21 उत्तर
दिये गये समीकरण को हल करने की वैकल्पिक विधि (स्थानापन्न विधि)
दिया गया है, इबेनहल द्वारा सोची गयी संख्या में 19 जोड़कर इसमें 5 से भाग देने पर 8 प्राप्त होता है।
मान लिया कि इबेनहल द्वारा सोची गयी संख्या = n
अत: प्रश्न के अनुसार
सख्या + 19/5 = 8
⇒ n + 19/5 = 8
उपर प्राप्त समीकरण में 5 को दायें पक्ष में ले जाने पर
[जब कोई चर या अचर राशि एक पक्ष में हर में हो, अर्थात भाग के रूप में हो, तो उसे दूसरे पक्ष में ले जाने पर गुणा में अर्थात अंश में चला जाता है]
यहाँ चूँकि 5 बायें पक्ष में हर में है अत: दायें पक्ष में ले जाने पर यह गुणक के रूप में अर्थात अंश में चला जायेगा।
⇒ n + 19 = 8 × 5
⇒ n + 19 = 40
अब 19 को दायें पक्ष में ले जाने अर्थात स्थानापन्न करने पर
[जब किसी चर या अचर राशि को एक पक्ष से दूसरे पक्ष में ले जाया जाता है, तो इसका चिन्ह बदल जाता है, अर्थात यदि कोई राशि एक पक्ष में धनात्मक हो, तो दूसरे पक्ष में ले जाने पर यह ऋणात्मक हो जाता है। तथा यदि कोई राशि एक पक्ष में ऋणात्मक रूप में हो, तो दूसरे पक्ष में ले जाने पर यह धनात्मक रूप में बदल जाता है।]
अत: यहाँ + 19 को दायें पक्ष में ले जाने पर यह – 19 हो जाता है।
⇒ n = 40 – 19
⇒ n = 21
अत: इबेनहल द्वारा सोची गयी संख्या = 21 उत्तर
(g) अनवर एक संख्या सोचता है। यदि वह इस संख्या के 5/2 में से 7 निकाल दे, तो वह परिणाम 23 है।
हल
दिया गया है, अनवर द्वारा सोची गयी संख्या का 5/2 में से 7 निकालने पर 23 प्राप्त होता है।
प्रश्न के अनुसार
5/2 × अनवर द्वारा सोची गयी संख्या – 7 = 23
मान लिया कि अनवर द्वारा सोची गयी संख्या = n
अत: 5/2 n – 7 = 23
दोनों पक्षों में 7 को जोड़ने पर
⇒ 5/2n –7 + 7 = 23 + 7
⇒ 5/2 n = 30
दोनों पक्षों को 2 से गुणा करने पर
⇒ 5/2 n × 2 = 30 × 2
⇒ 5n = 60
अब दोनों पक्षों को 5 से भाग देने पर
⇒ 5n/5 = 30/5
⇒ n = 12
अत: संख्या = 12 उत्तर
दिये गये समीकरण को हल करने की वैकल्पिक विधि (स्थानापन्न विधि)
दिया गया है, अनवर द्वारा सोची गयी संख्या का 5/2 में से 7 निकालने पर 23 प्राप्त होता है।
प्रश्न के अनुसार
5/2 × अनवर द्वारा सोचा गया संख्या – 7 = 23
मान लिया कि अनवर द्वारा सोची गयी संख्या = n
अत: 5/2 n – 7 = 23
अब – 7 को दायें पक्ष में ले जाने पर अर्थात स्थानापन्न करने पर
[जब किसी चर या अचर राशि को एक पक्ष से दूसरे पक्ष में ले जाया जाता है, तो इसका चिन्ह बदल जाता है, अर्थात यदि कोई राशि एक पक्ष में धनात्मक हो, तो दूसरे पक्ष में ले जाने पर यह ऋणात्मक हो जाता है। तथा यदि कोई राशि एक पक्ष में ऋणात्मक रूप में हो, तो दूसरे पक्ष में ले जाने पर यह धनात्मक रूप में बदल जाता है।]
अत: यहाँ – 7 को दायें पक्ष में ले जाने पर यह + 7 हो जाता है।
⇒ 5/2 n = 23 + 7
⇒ 5/2 n = 30
अब 2 को दायें पक्ष में ले जाने पर अर्थात स्थानापन्न करने पर
[जब कोई चर या अचर राशि एक पक्ष में हर में हो, अर्थात भाग के रूप में हो, तो उसे दूसरे पक्ष में ले जाने पर गुणा में अर्थात अंश में चला जाता है]
यहाँ चूँकि 2 बायें पक्ष में हर में है अत: दायें पक्ष में ले जाने पर यह गुणक के रूप में अर्थात अंश में चला जायेगा।
⇒ 5 n = 30 × 2
⇒ 5n = 60
अब 5 को दायें पक्ष में ले जाने पर अर्थात स्थानापन्न करने पर
जब किसी नम्बर या चर राशि, जो एक पक्ष में गुणात्मक रूप में हो, को एक पक्ष से दूसरी तरफ ले जाया जाता है यह दूसरी ओर जाकर हर के रूप में बदल जाता है।
अत: यहाँ 5 जो बायें पक्ष में n के साथ गुणा के रूप में है को दायें पक्ष में ले जाने पर 1/5 हो जायेगा।
⇒ n = 60/5
⇒ n = 12
अत: अनवर द्वारा सोची गयी संख्या = 12 उत्तर
(h) अनवर एक संख्या सोचता है। यदि वह इस संख्या के 5/2 में से 7 निकाल दे, तो वह परिणाम 11/2 है। [अंग्रेजी माध्यम की किताब में दिये गये प्रश्न का हिंदी रूपान्तरण]
हल
दिया गया है, अनवर द्वारा सोची गयी संख्या का 5/2 में से 7 निकालने पर 11/2 प्राप्त होता है।
प्रश्न के अनुसार
5/2 × अनवर द्वारा सोची गयी संख्या – 7 = 11/2
मान लिया कि अनवर द्वारा सोची गयी संख्या = n
अत: 5/2 n – 7 = 11/2
दोनों पक्षों में 7 को जोड़ने पर
⇒ 5/2 n – 7 + 7 = 11/2 + 7
⇒ 5/2 n = 11 + 14/2
⇒ 5/2 n = 25/2
दोनों पक्षों को 2 से गुणा करने पर
⇒ 5/2 n × 2= 25/2 × 2
⇒ 5n = 25
अब दोनों पक्षों को 5 से भाग देने पर
⇒ 5n/5 = 25/5
⇒ n = 5
अत: अनवर द्वारा सोची गयी संख्या = 5 उत्तर
दिये गये समीकरण को हल करने की वैकल्पिक विधि (स्थानापन्न विधि)
दिया गया है, अनवर द्वारा सोची गयी संख्या का 5/2 में से 7 निकालने पर 11/2 प्राप्त होता है।
प्रश्न के अनुसार
5/2 × अनवर द्वारा सोचा गया संख्या – 7 = 11/2
मान लिया कि अनवर द्वारा सोची गयी संख्या = n
अत: 5/2 n – 7 = 11/2
अब – 7 को दायें पक्ष में ले जाने पर अर्थात स्थानापन्न करने पर
[जब किसी चर या अचर राशि को एक पक्ष से दूसरे पक्ष में ले जाया जाता है, तो इसका चिन्ह बदल जाता है, अर्थात यदि कोई राशि एक पक्ष में धनात्मक हो, तो दूसरे पक्ष में ले जाने पर यह ऋणात्मक हो जाता है। तथा यदि कोई राशि एक पक्ष में ऋणात्मक रूप में हो, तो दूसरे पक्ष में ले जाने पर यह धनात्मक रूप में बदल जाता है।]
अत: यहाँ – 7 को दायें पक्ष में ले जाने पर यह + 7 हो जाता है।
⇒ 5/2 n = 11/2 + 7
⇒ 5/2 n = 11 + 14/2
⇒ 5/2 n = 25/2
अब 2 को दायें पक्ष में ले जाने पर अर्थात स्थानापन्न करने पर
[जब कोई चर या अचर राशि एक पक्ष में हर में हो, अर्थात भाग के रूप में हो, तो उसे दूसरे पक्ष में ले जाने पर गुणा में अर्थात अंश में चला जाता है]
यहाँ चूँकि 2 बायें पक्ष में हर में है अत: दायें पक्ष में ले जाने पर यह गुणक के रूप में अर्थात अंश में चला जायेगा।
⇒ 5n = 25/2 × 2
⇒ 5n = 25
अब 5 को दायें पक्ष में ले जाने पर अर्थात स्थानापन्न करने पर
जब किसी नम्बर या चर राशि, जो एक पक्ष में गुणात्मक रूप में हो, को एक पक्ष से दूसरी तरफ ले जाया जाता है यह दूसरी ओर जाकर हर के रूप में बदल जाता है।
अत: यहाँ 5 जो बायें पक्ष में n के साथ गुणा के रूप में है को दायें पक्ष में ले जाने पर 1/5हो जायेगा।
⇒ n = 25/5
⇒ n = 5
अत: अनवर द्वारा सोची गयी संख्या = 5 उत्तर
संदर्भ (Reference):