चतुर्भुजों को समझना - आठवीं गणित

बहुभुज को अंग्रेजी में पॉलिगन (polygon) कहा जाता है। पॉलिगन (polygon) शब्द ग्रीक को दो अक्षरों "पॉलस (Polus)" और "गोनिया (gonia)" से मिलकर बना है। "पॉलस (Polus)" का अर्थ होता है "अनेक (many)" और "गोनिया (gonia)" का अर्थ होता है "किनारा या कोण (corner or angle)"। हिन्दी में बहुभुज का अर्थ होता है अनेक भुजाओं वाला।

दूसरे शब्दों में एक अनेक भुजाओं या कोणों वाली आकृति को बहुभुज कहते हैं। जैसे त्रिभुज, चतुर्भुज, पंचभुज, आदि।

दूसरे शब्दों में "केवल एक ही रेखा से बना एक सरल वक्र को बहुभुज कहा जाता है।"

बहुभुज के प्रकार (टाइप्स ऑफ पॉलिगन)

बहुभुज को उनके भुजाओं की संख्या के आधार पर वर्गीकृत किया जा सकता है।

(a) त्रिभुज : एक त्रिभुज में तीन भुजाएँ होती हैं। अत: त्रिभुज एक प्रकार का बहुभुज है। दूसरे शब्दों में तीन भुजाओं वाले बहुभुज को त्रिभुज कहा जाता है।

"त्रिभुज" शब्द "त्रि + भुजा" से मिलकर बना है। जिसका अर्थ है तीन भुजाओं वाला।

(b) चतुर्भुज : एक बहुभुज जिसकी चार भुजाएँ होती हैं, चतुर्भुज (क्वाडिलैटरल) कहलाता है।

(c) पंचभुज: एक बहुभुज जिसकी पाँच भुजाएँ होती हैं, पंचभुज (पेंटागन) कहलाता है।

यहाँ अंग्रेजी का शब्द "पेंटा (penta)" का अर्थ "पाँच" होता है।

(d) षष्टभुज (हेक्सागन): छ: भुजाओं वाले बहुभुज को षष्टभुज (हेक्सागन) कहा जाता है।

यहाँ अंग्रेजी के शब्द "हेक्सा (hexa)" का अर्थ "छ:" होता है।

(e) सप्तभुज [हेप्टागन (Heptagon)]: सात भुजाओं वाले बहुभुज को सप्तभुज कहा जाता है। सप्तभुज को अंग्रेजी में हेप्टागन (Heptagon) कहा जाता है। यहाँ अंग्रेजी के शब्द "हेप्टा (hepta)" का अर्थ सात होता है।

(f) अष्टभुज [ऑक्टागन (Octagon)]: आठ भुजाओं वाले बहुभुज को अष्टभुज कहा जाता है। अष्टभुज को अंग्रेजी में ऑक्टागन (Octagon) कहा जाता है। यहाँ अंग्रेजी के शब्द "ऑक्टा (Octa)" का अर्थ आठ होता है।

(g) नवभुज [नोनागन (Nonagon)]: नौ भुजाओं वाले बहुभुज को नवभुज कहा जाता है। नवभुज को अंग्रेजी में नोनागन (Nonagon) कहा जाता है। यहाँ अंग्रेजी के शब्द "नोना (Nona)" का अर्थ नौ होता है।

विकर्ण (डायगनल)

रेखाखंड, जो किसी बहुभुज के आसन्न शीर्षों को छोड़कर किन्हीं दो शीर्षों को जोड़ती हैं, को विकर्ण कहते हैं। विकर्ण को अंग्रेजी में डायगनल (Diagonal) कहा जाता है।

उदाहरण:

(a) चित्र में दिये गये आयत ABCD, में AC और DB विकर्ण हैं।

(b) चित्र में दिये गये पंचभुज EFGHL, में EG, EH, LF और LG विकर्ण हैं।

(c) चित्र में दिये गये चतुर्भुज MONP में, PO और MN दो विकर्ण हैं जिसमें MN बाह्य विकर्ण है चूँकि यह दिये गये बहुभुज के बाहर है।

सम तथा विषम बहुभुज (रेगुलर और इर्रेगुलर बहुभुज)

बहुभुज जिनके कोण तथा भुजाएँ आपस में बराबर हों, सम बहुभुज कहलाते हैं। इसका अर्थ है कि एक सम बहुभुज समभुज तथा समकोणिक होता है।

और बहुभुज जिनके कोण या भुजाएँ आपस में बराबर नहीं हों, विषम बहुभुज कहलाते हैं।

उदाहरण:

(a) एक समबाहु त्रिभुज की भुजाएँ और कोण आपस में बराबर होते हैं, अत: समबाहु त्रिभुज एक सम बहुभुज है। उसी प्रकार एक वर्ग एक सम बहुभुज है, चूँकि एक वर्ग की सभी भुजाएँ तथा कोण बराबर होते हैं।

(b) एक आयत के सभी कोण आपस में बराबर होते हैं परंतु भुजाएँ बराबर नहीं होती हैं, अत: आयत एक विषम बहुभुज है।

चतुर्भुज के प्रकार

समांतर चतुर्भुज [पैरेलेलोग्राम (Parallelogram)]

चतुर्भुज जिसकी आमने सामने की भुजाएँ समांनांतर हों, को समांतर चतुर्भुज कहते हैं।

समांतर चतुर्भुज के गुण

दिये गये समांतर चतुर्भुज ABCD में

भुजा AB || DC और भुजा AD || BC

कोण A = कोण C और कोण B = कोण C

भुजा AB = भुजा DC और भुज AD = भुजा BC

OA = OC और OB = OD

कोण A + कोण D = 180⁰

और कोण A + कोण B = 180⁰

और कोण B + कोण C = 180⁰

और कोण C + कोण D = 180⁰

(a) समांतर चतुर्भुज की आमने सामने की भुजाएँ (सम्मुख भुजाएँ) समानांतर होती हैं।

(b) समांतर चतुर्भुज की आमने सामने की भुजाएँ (सम्मुख भुजाएँ) आपस में बराबर होती हैं।

(c) समांतर चतुर्भुज के आमने सामने के कोण (सम्मुख कोण) आपस में बराबर होते हैं।

(d) समांतर चतुर्भुज में आसन्न कोण सम्पूरक होते हैं। अर्थात समांतर चतुर्भुज के दो आसन्न कोणों का योग 180⁰ होता है।

(e) समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को दो बराबर भागों में बाँटते हैं।

(f) समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = 1/2 × आधार × ऊँचाई

(g) समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = 1/2 × विकर्ण 1 × विकर्ण 2

(g) समांतर चतुर्भुज का परिमाप = 2(आधार + आधार की आसन्न भुजा)

वर्ग [स्क्वायर (Square)]

एक बहुभुज जिसकी सभी भुजाएँ और कोण आपस में बराबर हों, को वर्ग कहते हैं।

वर्ग के गुण

दिये गये वर्ग में,

भुजा AB = BC = DC = AD

विकर्ण AC = DB

विकर्ण `AC_|_DB `

और, AO = OC = DO = OB

और, `/_A=/_ B=/_C=/_D=90^o`

और, `/_AOB=/_BOC =/_DOC=/_AOD=90^o`

(a) एक वर्ग की सभी चारों भुजाएँ बराबर होती हैं।

(b) एक वर्ग के चारों कोण बराबर तथा समकोण होते हैं।

(c) एक वर्ग के दोनों विकर्ण बराबर होते हैं।

(d) एक वर्ग के दोनों विकर्ण एक दूसरे पर लम्ब होते हैं।

(e) चूँकि एक वर्ग की सम्मुख भुजाएँ समांतर होती हैं तथा विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं, अत: वर्ग एक प्रकार का समांतर चतुर्भुज है।

(f) एक वर्ग को दोनों विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।

(g) चूँकि एक वर्ग के दोनों विकर्ण बराबर होतें हैं, अत: वर्ग एक प्रकार का आयत भी है।

(h) वर्ग का क्षेत्रफल = भुजा²

(i) वर्ग का क्षेत्रफल = 1/2 × विकर्ण²

(j) वर्ग का परिमाप = 4 × भुजा

(k) वर्ग का विकर्ण = भुजा× `sqrt(2)`

आयत

एक बहुभुज जिसकी सम्मुख भुजाएँ बराबर तथा कोण समकोण होता है, को आयत कहते हैं।

आयत की परिभाषा आयत एक समांतर चतुर्भुज है जिसके कोण समकोण होते हैं।

आयत की परिभाषा-2 आयत एक समांतर चतुर्भुज होता है जिसकी सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।

आयत के दिये गये चित्र में

(i) भुजा AB = भुजा DC

(ii) और भुजा AD = भुजा BC

(iii) कोण A = कोण B = कोण C = कोण D = 90⁰

(iv) विकर्ण AC = विकर्ण DB

(v) तथा, OA = OC = OD = OB

(vi) कोण AOB = कोण DOC और कोण AOD = कोण COB

आयत के गुण [प्रोपर्टीज ऑफ अ रेक्टैंगल (Properties of a Rectangle)]

(a) एक आयत की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।

(b) एक आयत की सम्मुख भुजाएँ समांतर होती हैं।

(c) एक आयत की आसन्न भुजाओं के कोण समकोण होते हैं। अर्थात एक आयत की आसन्न भुजाओं से बने कोण 90⁰ होते हैं।

(d) एक आयत के विकर्ण बराबर होते हैं।

(e) एक आयत के विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।

(f) एक आयत के विकर्ण के मिलन बिन्दु पर सम्मुख कोण बराबर होते हैं।

(g) एक आयत के विकर्ण एक दूसरे पर लम्ब होते हैं।

(h) आयत का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई

(i) आयत का क्षेत्रफल = 1/2 × विकर्ण²

(j) आयत का परिमाप = 2(लम्बाई + चौड़ाई)

पतंग [काइट (Kite)]

पतंग एक चतुर्भुज होता है जिसकी आसन्न भुजाओं के युग्म आपस में बराबर होती हैं।

दिये गये पतंग (kite) के चित्र में,

(i) भुजा AB = भुजा BC

(ii) और भुजा AD = भुजा DC

(iii) कोण A = कोण C

(iv) लेकिन कोण B ≠ कोण D

(v) विकर्ण AC ⊥ BD

पतंग (kite) के गुण

(a) एक पतंग (kite) में दो आसन्न भुजाएँ आपस में बराबर होती हैं।

(b) एक पतंग (kite) का एक विकर्ण दूसरे विकर्ण को समद्विभाजित करता है।

(c) एक पतंग (kite) के विकर्ण एक दूसरे पर लम्ब होते हैं।

(d) एक पतंग (kite) में आसन्न भुजाओं से बने सम्मुख कोण बराबर होते हैं।

(e) पतंग (kite) का क्षेत्रफल = 1/2 × product of diagonals.

(f) पतंग (kite) का परिमाप= 2(side1 + side2)

समचतुर्भुज [रॉम्बस (Rhombus)]

समचतुर्भुज की परिभाषा समांतर चतुर्भुज जिसकी सभी चारों भुजाएँ आपस में बराबर हों, समचतुर्भुज कहलाता है।

समचतुर्भुज की परिभाषा-2 एक चतुर्भुज जिसकी सम्मुख भुजाएँ समांतर होते हैं तथा सभी भुजाएँ बराबर होती हैं, को समचतुर्भुज कहते हैं।

समचतुर्भुज [रॉम्बस (Rhombus)] के दिये गये चित्र में

(i) AB || DC और AD || BC

(ii) तथा AB = BC = CD = AD

(iii) कोण A = कोण C और कोण D = कोण B

(iv) AO = OC and OD = OB

समचतुर्भुज [रॉम्बस (Rhombus)] के गुण

(a) समचतुर्भुज [रॉम्बस (Rhombus)] की सम्मुख भुजाएँ समांतर होती हैं।

(b) समचतुर्भुज [रॉम्बस (Rhombus)] की सभी भुजाएँ आपस में बराबर होती हैं।

(c) समचतुर्भुज [रॉम्बस (Rhombus)] के विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं तथा एक दूसरे पर लम्ब होते हैं।

(d) समचतुर्भुज [रॉम्बस (Rhombus)] की आसन्न भुजाओं से बने कोण समपूरक होते हैं, अर्थात समचतुर्भुज [रॉम्बस (Rhombus)] की आसन्न भुजाओं से बने आसन्न कोणों का योग 180⁰ होता है।

(e) चूँकि समचतुर्भुज [रॉम्बस (Rhombus)] की आसन्न भुजाएँ बराबर होती हैं अत: समचतुर्भुज [रॉम्बस (Rhombus)] एक प्रकार का पतंग है।

(e) समचतुर्भुज [रॉम्बस (Rhombus)] का क्षेत्रफल = भुजा²

(f) समचतुर्भुज [रॉम्बस (Rhombus)] का क्षेत्रफल = 1/2 × विकर्ण²

(g) समचतुर्भुज [रॉम्बस (Rhombus)] का परिमाप = 4 × भुजा

समलम्ब चतुर्भुज [ट्रेपेजियम (Trapezium)]

समलम्ब चतुर्भुज [ट्रेपेजियम (Trapezium)] का चित्र

समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज

समलम्ब चतुर्भुज जिसकी असमांतर भुजाएँ लम्बाई में बराबर हों, उसे समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज कहते हैं।

दिये गये समलम्ब चतुर्भुज के चित्र में

(i) भुजा AB || DC

(ii) DE समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई है।

(iii) जब किसी समलम्ब चतुर्भुज की दो भुजाएँ बराबर होती हैं, तो इसे समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज कहते हैं।

(iv) चित्र में दिये गये तीर का निशान समांतर भुजाओं को दर्शाते हैं।

असमांतर चतुर्भुज और समलम्ब चतुर्भुज [ट्रैपेजियम एवं ट्रैपेजोआयड (Trapezium and Trapezoid)]

इंगलैंड में ट्रैपेजियम को असमांतर चतुर्भुज होता है। अर्थात इंगलैंड में टैपेजियम वैसा चतुर्भुज होता है जिसकी कोई भी भुजा किसी दूसरी भुजा के समांतर नहीं होती है। जबकि इंगलैंड में ट्रैपेजोआयड को समलम्ब चतुर्भुज कहा जाता है, जिसकी कोई दो भुजा समांतर होती है।

वहीं दूसरी ओर यूनाइटेड स्टेट्स ऑफ अमेरिका में ट्रेपेजोआयड (Trapezoid) को असमांतर चतुर्भुज होता है। अर्थात यूनाइटेड स्टेट्स ऑफ अमेरिका में ट्रेपेजोआयड (Trapezoid) वैसा चतुर्भुज होता है जिसकी कोई भी भुजा किसी दूसरी भुजा के समांतर नहीं होती है। जबकि यूनाइटेड स्टेट्स ऑफ अमेरिका ट्रैपेजियम (Trapezium) को समलम्ब चतुर्भुज कहा जाता है, जिसकी कोई दो भुजा समांतर होती है।

ट्रैपेजियम (Trapezium) के गुण

(a) ट्रैपेजियम (Trapezium) में कोई दो भुजा समांतर होती हैं।

(b) वैसा ट्रैपेजियम (Trapezium) जिसकी कोई दो भुजाएँ बराबर हों, को समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज कहते हैं।

(c) ट्रैपेजियम (Trapezium) का क्षेत्रफल = 1/2 (समांतर भुजाओं का योग)

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