चतुर्भुजों को समझना - आठवीं गणित
एनसीईआरटी प्रश्नावली 3.3 का हल
चतुर्भुजों को समझना एनसीईआरटी प्रश्नावली 3.3 का हल प्रश्न संख्या (1) ABCD एक समांतर चतुर्भुज है। प्रत्येक कथन को परिभाषा या प्रयोग किये गये गुण द्वारा पूरा कीजिए:
(i) AD = …….
(ii) ∠ DCB = …….
(iii) OC = ……..
(iv) m∠DAB + m∠CDA = ……
हल
(i) AD = BC
ब्याख्या चूँकि एक समांतर चतुर्भुज में सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।
(ii) ∠ DCB = ∠ DAB
ब्याख्या चूँकि एक समांतर चतुर्भुज में सम्मुख कोण बराबर होते हैं।
(iii) OC = OA
ब्याख्या चूँकि एक समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
(iv) m∠DAB + m∠CDA = 1800
ब्याख्या चूँकि एक समांतर चतुर्भुज में आसन्न कोण सम्पूरक कोण होती हैं। अर्थात समांतर चतुर्भुज में आसन्न कोणों की माप का योग 1800 होता है।
चतुर्भुजों को समझना एनसीईआरटी प्रश्नावली 3.3 का हल प्रश्न संख्या (2) निम्न समांतर चतुर्भुजों में अज्ञात x, y, z के मानों को ज्ञात कीजिए।
(i)
हल
दिया गया है, ABCD समांतर चतुर्भुज है।
तथा, ∠ B = 1000
अत:, x, y और z = ?
∠A और ∠B में
चूँकि एक चतुर्भुज के आसन्न कोण सम्पूरक कोण होते हैं,
अत: ∠A + ∠B = 1800
⇒ z + 1000 = 1800
⇒ z = 1800 – 1000
⇒ z = 800
∠B और ∠D में,
दोनो ∠B और ∠D दिये गये समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण हैं, तथा एक समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।
अत:, ∠D = ∠B
⇒ y = 1000
∠A और ∠C में
दोनों ∠A और ∠C दिये गये समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण हैं।
तथा हम जानते हैं कि एक समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।
अत:, ∠D = ∠B
⇒ z = 800
अत:, x = 800, y = 1000 और z = 800 उत्तर
(ii)
हल
दिया गया है, ABDE एक समांतर चतुर्भुज है, जिसमें
∠ E = 500
अत:, x, y और z = ?
∠ E और ∠ABD में
हम जानते हैं कि एक समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण आपस में बराबर होते हैं।
अत:, ∠ E = ∠ ABD = 500
∠ ABD और z में
चूँक़ि ∠ ABD और z एक रैखिक युग्म बनाते हैं, तथा एक रैखिक युग्म के कोण संपूरक होते हैं। अर्थात दोनों कोणों की माप का योग =180o
अत:, ∠ ABD + z = 1800
⇒ 500 + z = 1800
⇒ z = 1800 – 500
⇒ z = 1300
अब हम जानते हैं कि एक चतुर्भुज के सभी अंत: कोणों का योग = 3600
अत: दिये गये चतुर्भुज में
∠E + x + ∠ABD + y = 3600
⇒ 500 + x + 500 + y = 3600
⇒ 1000 + x + x = 3600
[∵ x और y दिए गये समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण हैं, तथा समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण आपस में बराबर होते हैं, अत: x = y]
⇒ 1000 + 2x = 3600
⇒ 2x = 3600 – 100
⇒ 2x = 2600
`=>x=260^o/2`
⇒ x = 1300
अत:, x = y = 1300
अत:, x = y = z = 1300 उत्तर
(iii)
हल
दिया गया, ABCD एक समांतर चतुर्भुज है जिसमें
∠ B = 300
और ∠ DOA = 900
अत:, x, y और z = ?
यहाँ, ∠ DOA = 900
चूँकि ∠ DOA और ∠ COB उर्ध्वाधर सम्मुख कोण हैं, अत: आपस में बराबर हैं।
अत: ∠ DOA = ∠ COB = 900
अब, त्रिभुज COB में
हम जानते हैं कि एक त्रिभुज के तीनों कोणों का योग = 1800
अत:, x + y + 300 = 1800
⇒ 900 + y + 300 = 1800
⇒ 1200 + y = 1800
⇒ y = 1800 – 1200
⇒ y = 600
अब, ∠DAO और ∠ OCB में,
DA || CB [∵दिये गये समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ हैं।]
तथा AC एक तिर्यक रेखा है जो DA और CB को काटती है।
अत:, ∠ DAO = ∠ OCB
[∵ ∠DAO और ∠OCB संगत कोणों के युग्म हैं]
⇒ z = y = 600
अत:, x = 900, z = y = 600 उत्तर
(iv)
हल
दिया गया है, ABCD एक समांतर चतुर्भुज है, जिसमें
∠ B = 800
अत: x, y और z = ?
∠B और ∠D में
चूँकि ∠B and ∠D दिये गये समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण हैं, अत: आपस में बराबर हैं।
अत: ∠D = ∠B
⇒ y = 800
∠B और ∠A में
चूँक़ि ∠B और ∠A दिये गये समांतर चतुर्भुज के आसन्न कोण हैं, अत: ये सम्पूरक कोण हैं।
अत:, ∠ A + ∠ B = 1800
⇒ x + 800 = 1800
⇒ x = 1800 – 800
⇒ x = 1000
∠B और ∠DCE में
एक ही समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ है, अत: AB||DC
तथा, BC एक तिर्यक रेखा इन दोनों समांतर भुजाओं को काटती है
अत: ∠B और ∠DCE एक संगत कोण के युग्म बनाते हैं, अत: आपस में बराबर हैं।
अत:, ∠DCE = ∠B
⇒ z = 800
अत:, x = 1000, और y = z = 800 उत्तर
(v)
हल
दिया गया है, ABCD एक समांतर चतुर्भुज है, जिसमें
AC एक विकर्ण है
तथा, ∠ B = 1120
और, ∠DAC = 400
अत: z, y और x = ?
∠B और ∠D में
∠B और ∠D दिये गये समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण हैं।
तथा हम जानते हैं कि समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण आपस में बराबर होते हैं।
अत:, ∠ D = ∠ B
⇒ y = 1120
अब त्रिभुज ADC में
हम जानते हैं किए एक त्रिभुज के तीनों कोणों का योग = 1800
अत: दिये गय त्रिभुज ADC में
∠DAC + ∠D + ∠ACD = 1800
⇒ 400 + 1120 + x = 1800
⇒ 1520 + x = 1800
⇒ x = 1800 – 1520
⇒ x = 280
अब दिये गये समांतर चतुर्भुज ABCD में
AB||DC और AC एक तिर्यक रेखा है, जो दोनों समांतर रेखाओं को काटती है।
अब, ∠z और ∠x अंत: एकांतर कोणों के युग्म हैं अत: आपस में में बराबर हैं।
अत:, ∠z = ∠x = 280
अत:, x = z = 280 और y = 1120 उत्तर
चतुर्भुजों को समझना एनसीईआरटी प्रश्नावली 3.3 का हल प्रश्न संख्या (3) क्या एक चतुर्भुज ABCD समांतर चतुर्भुज हो सकता है यदि
(i) ∠D + ∠B = 1800
हल
मान लिया कि ABCD एक चतुर्भुज है
यदि (i) if ∠D + ∠B = 1800
तो ABCD समांतर चतुर्भुज है अथवा नहीं?
चूँकि ABCD एक चतुर्भुज है, अत: ∠ D और ∠ B इस चतुर्भुज के सम्मुख कोण हैं।
हम जानते हैं कि एक चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का माप = 1800
तथा एक आयत में सम्मुख कोण बराबर होते हैं तथा एक कोण 900 होता है।
अत: यदि किसी चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग 1800 है,
यह समांतर चतुर्भुज हो भी सकता है और नहीं भी। उत्तर
(ii) AB = DC = 8cm, और AD = 4cm और BC = 4.4 cm
एक समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।
यहाँ चूँकि दिये गये भुजाओं में मात्र एक ही युग्म बराबर है, अर्थात AB = DC
तथा भुजाओं का दूसरा युग्म AD और BC बराबर नहीं है
अत: दिया गया चतुर्भुज समांतर चतुर्भुज नहीं हो सकता है। उत्तर
(iii) &8736;A = 700 और ∠C = 650
यहाँ दिये गये चतुर्भुज की आमने सामने के कोण &8736;A और &8736;C बराबर नहीं हैं
तथा हम जानते हैं कि एक समांतर चतुर्भुज में सम्मुख कोण बराबर होते हैं।
अत: दिया गया चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज नहीं है। उत्तर
चतुर्भुजों को समझना एनसीईआरटी प्रश्नावली 3.3 का हल प्रश्न संख्या (4) एक चतुर्भुज की कच्ची आकृति खींचिए जो समांतर चतुर्भुज न हो परंतु जिसके दो सम्मुख कोणों के माप बराबर हों।
हल
पतंग एक चतुर्भुज होता है जिसके आमने सामने के कोण बराबर होते हैं। लेकिन पतंग एक समांतर चतुर्भुज नहीं होता है क्योंकि पतंग की सम्मुख भुजाएँ बराबर नहीं होती हैं। उत्तर
चतुर्भुजों को समझना एनसीईआरटी प्रश्नावली 3.3 का हल प्रश्न संख्या (5) किसी समांतर चतुर्भुज के दो आसन्न कोणों का अनुपात 3:2 है। समांतर चतुर्भुज के सभी कोणों की माप ज्ञात कीजिए।
उत्तर
मान लिया कि दिये गये समांतर चतुर्भुज के दो आसन्न कोणि = 3x और 2x
हम जानते हैं कि एक समांतर चतुर्भुज के आसन्न कोणों का योग = 1800
⇒ 3x + 2x = 1800
⇒ 5x = 1800
`=>x=180^o/5`
⇒ x = 360
अत:, 2x = 2 × 360
= 720
और, 3x = 3 × 360
= 1080
अत: दिये गये समांतर चतुर्भुज के दो आसन्न कोण क्रमश: 1080 और 720 हैं। उत्तर
Reference: