एक चर वाले रैखिक समीकरण - आठवीं गणित

प्रश्न संख्या (6) महूली गाँव में, एक तंग आयताकार भूखंड विद्यालय बनाने के लिए सुरक्षित है। इस भूखंड की लम्बाई और चौड़ाई में 11:4 का अनुपात है। गाँव पंचायत को इस भूखंड की बाड़ (fence) कराने में, ₹100 प्रति मीटर की दर से ₹75000 व्यय करने होंगे। भूखंड की माप (dimensions) ज्ञात कीजिए।

हल:

दिया गया है, आयताकार भूखंड की लम्बाई और चौड़ाई का अनुपात = 11:4

और ₹100 प्रति मीटर की दर से भूखंड की बाड़ (fence) बनाने का खर्च = ₹75000

अत: भूखंड की माप =?

चूँकि भूखंड की बाड़ लगाने का खर्च = ₹75000 और भूखंड पर बाड़ लगाने की दर = ₹100 प्रति मीटर

अत: बाड़ की कुल लम्बाई = भूखंड की परिमाप (परिमिति)

= भूखंड पर बाड़ लगाने की कुल लागत /बाड़ लगाने की दर

=₹75000/₹100/मीटर

= 750 मीटर

अत: भूखंड की परिमाप = 750 मीटर

चूँकि भूखंड के लम्बाई और चौड़ाई का अनुपात = 11:4

अत: मान लिया की भूखंड की लम्बाई = 11x

और भूखंड की चौड़ाई = 4x

अब हम जानते हैं कि एक आयत की परिमाप (परिमिति) = 2(लम्बाई + चौड़ाई)

अत: दी गयी भूखंड की परिमिति,

⇒ 750 m = 2(11x + 4x)

⇒ 750m = 2 × 15x

⇒ 750m = 30x

उपर के ब्यंजक को पुनर्व्यवस्थित करने पर हम पाते हैं कि

30x = 750m

अब 30 को दायाँ पक्ष (RHS) में ले जाने पर हम पाते हैं कि

x = 750 m/30

⇒ x = 25 m

अब चूँकि भूखंड की लम्बाई = 11x

अत: इससे x = 25m के मान को रखने पर हम पाते हैं कि

अत: भूखंड की लम्बाई = 11 × 25m = 275m

उसी प्रकार चूँकि भूखंड की चौड़ाई = 4x

अत: इससे x = 25m के मान को रखने पर हम पाते हैं कि

अत: भूखंड की चौड़ाई = 4 × 25m = 100m

अत: भूखंड की लम्बाई = 275m और भूखंड की चौड़ाई = 100m उत्तर

प्रश्न संख्या (7) हसन स्कूल की वर्दी बनाने के लिए दो प्रकार का कपड़ा खरीदता है। इसमें कमीज के कपड़े का भाग ₹50 प्रति मीटर तथा पतलून के कपड़े का बाग ₹90 प्रति मीटर है। वह कमीज के प्रत्येक 3 मीटर कपड़े के लिए पतलून का 2 मीटर कपड़ा खरीदता है। वह इस कपड़े को क्रमश: 12% और 10% लाभ पर बेचकर ₹36,600 प्राप्त करता है। उसने पतलूनों के लिए कितना कपड़ा खरीदा?

हल:

दिया गया है,

कमीज के कपड़ी की दर = ₹50 प्रति मीटर और उस कमीज के कपड़े पर लाभ = 12%

पतलून के कपड़े की दर = ₹90 प्रति मीटर और उस पतलून के कपड़े पर लाभ = 10%

प्रत्येक 3 मीटर कमीज के कपड़े पर खरीदा गया पतलून का कपड़ा = 2 मीटर

बिक्री से प्राप्त कुल राशि = ₹36600

अत: पतलून के लिए खरीदा गया कुल कपड़ा = ?

चूँकि कमीज के कपड़े की दर = ₹50 प्रति मीटर और उसपर लाभ = 12%

अत: कमीज के कपड़े का बिक्रय मूल्य = कमीज के कपड़ी की दर + 12% × कमीज के कपड़े की दर

=`50+12/100xx50`

= 50 + 6 = 56

अत: कमीज के कपड़े के बिक्रय मूल्य की दर 12% लाभ पर = ₹56 प्रति मीटर

उसी प्रकार पतलून के कपड़े की दर = ₹90, तथा उसपर लाभ = 10%

अत: पतलून के कपड़े का बिक्रय मूल्य लाभ के बाद = पतलून के कपड़े के खरीद की दर + 10% × पतलून के कपड़े के खरीद की दर

=`90+10/100xx90`

= 90 + 9

अत: 10% लाभ के बाद पतलून के कपड़े का बिक्रय मूल्य = ₹99 प्रति मीटर

अब प्रश्न के अनुसार बिक्रय के बाद प्राप्त कुल राशि = ₹36000

अब पुन: प्रश्न में दिया गया है कि कमीज के प्रत्येक 3 मीटर कपड़े के लिये खरीदा जाने वाला पतलून का कपड़ा = 2 मीटर

अत: मान लिया कि कमीज के लिए खरीदा जाने वाला कपड़ा = 3x

और पतलून के लिए खरीदा जाने वाला कपड़ा = 2x

अत: प्रश्न के अनुसार,

कुल बिक्रय मूल्य = कमीज के कपड़ों का कुल बिक्रय मूल्य + पतलून के कपड़ों का कुल बिक्रय मूल्य

₹36600=(3x × ₹56) + (2x × ₹99)

⇒ ₹36600 = ₹168x + ₹198x

⇒ ₹36600 = ₹366x

उपर के ब्यंजक को पुनर्व्यवस्थित करने पर

₹366x = ₹36600

अब 366 को दायाँ पक्ष (RHS) में ले जाने पर हम पाते हैं कि

x = 36600/366= 100

चूँकि पतलून के लिए खरीदा गया कपड़ा = 2x

अत: इसमें x = 100 रखने पर हम पाते हैं कि

⇒ पतलून के लिए खरीदा गया कपड़ा =2 × 100 = 200m

अत: हसन द्वारा पतलून के लिए खरीदा गया कपड़ा = 200 m उत्तर

प्रश्न संख्या (8) हिरणों के एक झुंड का आधा भाग मैदान में चर रहा है और शेष का तीन चौथाई पड़ोस में ही खेल कूद रहा है। शेष बचे 9 हिरण एक तालाब में पानी पी रहे हैं। झुंड में हिरणों की संख्या ज्ञात कीजिए।

हल:

दिया गया है, हिरणों के झुँड से मैदान में चर रहे हिरणों की संख्या= झुंड का 1/2 भाग

पाद खेलकूद रहे हिरणों की संख्या = शेष का 3/4 भाग

पानी पी रहे हिरणों की संख्या = 9

अत: झुंड में हिरणों की कुल संख्या = ?

मान लिया की झुंड में हिरणों की कुल संख्या = d

अब चूँकि झुंड में हिरणों की संख्या का 1/2 भाग मैदान में चर रहा है,

अत: मैदान में चर रहे हिरणों की संख्या `=d/2`

अब हिरणों की शेष संख्या = d/2

पुन: दिया गया है कि हिरणों की शेष संख्या का 3/4 भाग पास में खेल रहा है।

अत: पास में खेल रहे हिरणों की संख्या `=d/2xx3/4`

अत: पास में खेल रहे हिरणों की संख्या `=( 3d)/8`

पुन: दिया गया है पानी पी रहे हिरणों की संख्या = 9

अत: हिरणों की कुल संख्या

= घास चर रहे हिरणों की संख्या + पास में खेल रहे हिरणों की संख्या + पानी पी रहे हिरणों की संख्या

बज्र गुणन के बाद हम पाते हैं कि

8d = 4d + 3d +72

⇒ 8d = 7d + 72

अब 7d को दायाँ पक्ष (RHS) में ले जाने पर हम पाते हैं कि

⇒ 8d – 7d = 72

⇒ d = 72

अत: झुंड में हिरणों की कुल संख्या = 72 उत्तर

प्रश्न संख्या (9) दादाजी की आयु अपनी पौत्री की आयु की दस गुनी है। यदि उअनकी आयु पौत्री की आयु से 54 वर्ष अधिक है तो उन दोनों की आयु ज्ञात कीजिए।

हल:

दिया गया है, दादाजी की आयु = 10 × उनकी पौत्री की आयु

पुन: दिया गया है दादाजी की आयु = उनकी पौत्री की आयु + 54

अत: उन दोनों की आयु = ?

मान लिया कि पौत्री की आयु = g

अत: प्रश्न के अनुसार दादाजी की आयु = 10g

तथा पुन: दिया गया है, दादाजी की आयु = पौत्री की आयु + 54

⇒ 10g = g + 54

अब g को बायाँ पक्ष (LHS) में ले जाने पर, हम पाते हैं कि

10g – g = 54

⇒ 9g = 54

अब 9 को दायाँ पक्ष (RHS) में ले जाने पर हम पाते हैं कि

g = 54/9 = 6

अत: पौत्री की आयु = 6 वर्ष

अब चूँकि दादाजी की आयु = 10g

अत: इसमें g = 6 रखने पर हम पाते हैं कि

अत: दादाजी की आयु = 10 × 6 = 60 वर्ष

अत: पौत्री की आयु = 6 वर्ष और दादाजी की आयु = 60 वर्ष उत्तर

प्रश्न संख्या (10) अमन की आयु उसके पुत्र की आयु की तीन गुनी है। 10 वर्ष पहले उसकी आयु पुत्र की आयु की पाँच गुनी थी। दोनों की वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।

हल:

दिया गया है, अमन की आयु = 3 × उसके पुत्र की आयु

पुन: दिया गया है अब से 10 बर्ष पहले अमन की आयु = 5 × उसके पुत्र की आयु

अत: उनकी वर्तमान आयु = ?

मान लिया कि अमन के पुत्र की वर्तमान आयु = s

अतएव अमन की वर्तमान आयु = 3s

अब से दस वर्ष पहले,

अमन की वर्तमान आयु – 10 वर्ष = (अमन के पुत्र की वर्तमान आयु – 10)5

⇒ 3s – 10 = (s – 10) × 5

⇒ 3s – 10 = 5s – 50

अब 3s को दायाँ पक्ष (RHS) में ले जाने पर हम पाते हैं कि

–10 = 5s – 50 – 3s

अब –50 को बायाँ पक्ष (LHS) में ले जाने पर, हम पाते हैं कि

⇒ –10 + 50 = 5s – 3s

⇒ 40 = 2s

उपर के ब्यंजक को पुनर्व्यवस्थित करने पर हम पाते हैं कि

2s = 40

अब 2 को दायाँ पक्ष (RHS) में ले जाने पर हम पाते हैं कि

s = 40/2 = 20

अत: अमन के पुत्र की वर्तमान आयु = 20 वर्ष

अब चूँकि अमन की वर्तमान आयु = अमन के पुत्र की वर्तमान आयु × 3

अत: अमन की वर्तमान आयु = 20 × 3 = 60 वर्ष

अत: अमन की वर्तमान आयु = 60 वर्ष

अत: अमन के पुत्र की वर्तमान आयु = 20 वर्ष और अमन की वर्तमान आयु = 60 वर्ष उत्तर

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